2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題7.5 銳角三角函數(shù)章末題型過關(guān)卷（蘇科版）含解析

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列第7章銳角三角函數(shù)章末題型過關(guān)卷【蘇科版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·安徽淮南·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，2cosA?22+1?A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形2．（3分）（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b為∠B的對(duì)邊，a為∠A的對(duì)邊，若b與∠A已知，則下列各式正確的是（

）A．a(chǎn)=bsin∠A B．a(chǎn)=bcos∠A C．a(chǎn)=btan∠A D．a(chǎn)=b÷tan∠A3．（3分）（2022·浙江溫州·三模）如圖，架在消防車上的云梯AB長(zhǎng)為15m，BD∥CE，∠ABD=α，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長(zhǎng)為（A．(2+15sinα)m B．(2+15tanα)m4．（3分）（2022·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，連結(jié)CD．下列各組線段的比值一定與cosA相等的是（

）A．DEAD B．DEAE C．CEBD5．（3分）（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)CF，則tan∠ECF的值為（A．52 B．255 C．26．（3分）（2022·浙江·溫州外國(guó)語學(xué)校二模）矩形紙片ABCD按如圖1的方式分割成三個(gè)直角三角形①、②、③，又把這三個(gè)三角形按如圖2的方式重疊放置在一起，陰影分別為①、②與③的重疊部分，且①的斜邊一端點(diǎn)恰好落在②的斜邊上，則ABBC的值為（

A．32 B．2 C．43 7．（3分）（2022·陜西·西安市中鐵中學(xué)三模）如圖，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-28．（3分）（2022·江蘇南通·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AC和BD的端點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．若AC與BD相交于點(diǎn)E，則tan∠AEB的值為(

)A．33 B．12 C．39．（3分）（2022·浙江嘉興·一模）如圖，在?ABCD中，AB=4,AD=10,∠B=60°．作AE⊥AB交BC邊于點(diǎn)E，連接DE，則sin∠EDC的值為（

A．2114 B．12 C．7710．（3分）（2022·廣東·景中實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD邊上，∠GAE=∠BAE，AG交BF于點(diǎn)H，連接EH,EG,CH．下列結(jié)論：①△AHE≌△BCF；②GE∥BF；③sin∠ABF=255；④A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·廣東·東莞市粵華學(xué)校二模）在△ABC中，sinB=12，AC＝22，AD是BC邊上的高，∠12．（3分）（2022·江蘇連云港·一模）已知sina=51313．（3分）（2022·貴州·銅仁市第十一中學(xué)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB交AC于點(diǎn)E.且tan∠BEC＝34，則tanA14．（3分）（2022·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F，連接DF交AB于點(diǎn)E，連接AF，BF．當(dāng)△BFD是直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為_______．15．（3分）（2022·河南鄭州·一模）如圖，先將矩形紙片ABCD沿EF折疊（AB邊與DE在CF的異側(cè)），AE交CF于點(diǎn)G；再將紙片折疊，使CG與AE在同一條直線上，折痕為GH．若∠AEF=α，紙片寬AB=2cm，則HE＝16．（3分）（2022·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四邊形BCED的面積為8，tan∠C=7，AC=______．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)李海務(wù)街道辦事處中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)4cos(2)24?318．（6分）（2022·河北·邢臺(tái)市第六中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD上BC于點(diǎn)D，若AD=6，BC=12，tanC=32(1)CD的長(zhǎng)(2)cosB的值19．（8分）（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23(1)求CE的長(zhǎng)；(2)求∠ADE的余弦．20．（8分）（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=210m，AE=8m．(1)求點(diǎn)B距水平而AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,3≈1.732）21．（8分）（2022·山西·孝義市教育科技局教學(xué)研究室三模）如圖1是工人用升降機(jī)維修路燈的實(shí)物圖，圖2是升降機(jī)工作示意圖．學(xué)習(xí)興趣小組計(jì)劃通過此示意圖計(jì)算路燈AB的高度．他們通過測(cè)量和咨詢工人師傅了解到如下信息：路燈AB垂直于地面，機(jī)械臂DE=2米，CD=4米，路燈頂部A到工作臺(tái)的距離AC=1.5米，車廂上部EF到地面距離為1.5米，∠CDE=75°，∠DEF=55°．根據(jù)上述信息，請(qǐng)你求出路燈AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)值：sin55°≈0.82，cos35°≈0.82，sin20°≈0.3422．（8分）（2022·遼寧葫蘆島·二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是射線DC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)GF，連接GE，CG，以CG，CD為鄰邊作?CGHD，連接AE，M是AE的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，HM與AE的位置關(guān)系是______．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)DE=2CE時(shí)，連接HE，請(qǐng)直接寫出tan∠GHE23．（8分）（2022·四川成都·三模）如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，CD∥AB，將△COD以C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得△CEA（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合），連接BC．(1)如圖1，求∠CBE的度數(shù)；(2)如圖2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接OF，求tan∠FOB的值（保留根號(hào)）；(3)如圖3，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若BC＝8，M為線段BC上一點(diǎn)，連接OM，若OMBE＝2?1，求證：MF2＝12BD2﹣16tan∠第7章銳角三角函數(shù)章末題型過關(guān)卷【蘇科版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·安徽淮南·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，2cosA?22+1?A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得2cosA?23=0，1?tanB=0，從而得【詳解】解：∵2∴2cosA?∴2cosA?∴cosA=2∴∠A=45°，∠B=45°∴∠C=180°?∠A?∠B=90°，BC=AC∴△ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．2．（3分）（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b為∠B的對(duì)邊，a為∠A的對(duì)邊，若b與∠A已知，則下列各式正確的是（

）A．a(chǎn)=bsin∠A B．a(chǎn)=bcos∠A C．a(chǎn)=btan∠A D．a(chǎn)=b÷tan∠A【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義列出算式，然后變形計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示：tanA=ab則a=btan∠A．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2022·浙江溫州·三模）如圖，架在消防車上的云梯AB長(zhǎng)為15m，BD∥CE，∠ABD=α，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長(zhǎng)為（A．(2+15sinα)m B．(2+15tanα)m【答案】A【分析】證明四邊形BCED是矩形，得到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE=DE+AD=2+15sinα．【詳解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE，∴∠AEC=∠BCE=90°，∵BD∥CE，∴BD⊥AE，BD⊥BC，∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°，∴四邊形BCED是矩形，∴DE=BC=2，∵AD=ABsin∠ABD=15sinα，∴AE=DE+AD=2+15sinα．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判斷和性質(zhì)，正弦的定義和計(jì)算．4．（3分）（2022·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，連結(jié)CD．下列各組線段的比值一定與cosA相等的是（

）A．DEAD B．DEAE C．CEBD【答案】C【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求出答案．【詳解】∵ED是△ABC的中位線∴點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∵∠ACB=90°∴CD=BD=AD∴∠A=∠DCE∴cosA=cos∠DCE=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合問題，涉及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及特殊角銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．5．（3分）（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)CF，則tan∠ECF的值為（A．52 B．255 C．2【答案】B【分析】利用翻折的性質(zhì)，以及外角定理證得∠AEB=∠ECF，進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，BC=25∴BE＝CE=5，∴AE=AB由翻折變換的性質(zhì)得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=5，∴EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB=∠ECF，∴tan∠ECF=tan故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折變換的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出∠AEB=∠ECF是解決問題的關(guān)鍵．6．（3分）（2022·浙江·溫州外國(guó)語學(xué)校二模）矩形紙片ABCD按如圖1的方式分割成三個(gè)直角三角形①、②、③，又把這三個(gè)三角形按如圖2的方式重疊放置在一起，陰影分別為①、②與③的重疊部分，且①的斜邊一端點(diǎn)恰好落在②的斜邊上，則ABBC的值為（

A．32 B．2 C．43 【答案】C【分析】設(shè)DE=x，令A(yù)B=b，BC=a，然后根據(jù)同角的余角相等得到∠BAC=∠ADE，∠EDC=∠ACB，再利用等角的三角函數(shù)值相等，得到AE的長(zhǎng)度，列出方程化簡(jiǎn)得到a與b之間的關(guān)系，最后得到AB與BC的比值．【詳解】解：設(shè)DE=x，令A(yù)B=b，BC=a，如圖，∴AB?BC=AC?DE，即a2∴x=ab∵tan∠BAC=∵∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAC，同理可得，∠EDC=∠ACB，∴tan∠ADE=∴AE=DE?tan∵∠EDC=∠ACB，∴∠A'D'C=∠ACB，∴A'E'=BC?1∵CD'=ED，A'E'=AE，∴AE=BC?1∴a2化簡(jiǎn)得，4a3b=3a2b2，即ab∵a＞0，b＞0，∴ABBC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)設(shè)未知數(shù)建立方程．7．（3分）（2022·陜西·西安市中鐵中學(xué)三模）如圖，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分別解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，從而求得BC，設(shè)EF=x，在直角三角形EFC中表示出【詳解】如圖，作AD⊥BC于D，作EF⊥在Rt△ABD中，BD在Rt△ADC中，∠DAC=90∴BC在Rt△BEF中，設(shè)BF在Rt△EFC中，∠CF=由CF+3x∴x∴EC故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．8．（3分）（2022·江蘇南通·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AC和BD的端點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．若AC與BD相交于點(diǎn)E，則tan∠AEB的值為(

)A．33 B．12 C．3【答案】B【分析】由于BF是△AHC的中位線，BF=12CH=1.5,AF=FC=12AC=2.5；利用△BFE∽△DEC可得BFCD=FECE，設(shè)FE=x，求得CE=l，F(xiàn)E=BF，可得∠BEF=∠FBE，在【詳解】設(shè)BG與AC交于點(diǎn)F，如圖，∵AB＝BH＝2，BF∥CH，∴BF是△AHC的中位線．∴BF＝12CH＝1.5，AF＝FC＝12∵BF∥CH，∴△BFE∽∴BFCD設(shè)FE＝x，則CE＝2.5﹣x．∴1.51解得：x＝1.5．∴BF＝FE＝1.5．∴∠BEF＝∠FBE．∴tan∠AEB＝tan∠GBD．在Rt△BGD中，tan∠GBD＝GDGB＝2∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝12故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，三角形的中位線，三角形的相似的判定與性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定及性子是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2022·浙江嘉興·一模）如圖，在?ABCD中，AB=4,AD=10,∠B=60°．作AE⊥AB交BC邊于點(diǎn)E，連接DE，則sin∠EDC的值為（

A．2114 B．12 C．77【答案】A【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥ED于點(diǎn)G，根據(jù)三角函數(shù)以及勾股定理求出BE,AE,AF,EF,FD,ED,EC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積公式得出CG的長(zhǎng)度，結(jié)果可得．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥ED于點(diǎn)G，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∵AB=4,∠B=60°，∴AE=AB·tan60°=43∴EC=BC?BE=10?8=2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=∠BAD?∠BAE=120°?90°=30°，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∴EF=1∴AF=AE·cos∴FD=AD?AF=10?6=4，∴ED=E∴S即12∴CG=2∴sin故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形以及勾股定理是解本題的關(guān)鍵．10．（3分）（2022·廣東·景中實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD邊上，∠GAE=∠BAE，AG交BF于點(diǎn)H，連接EH,EG,CH．下列結(jié)論：①△AHE≌△BCF；②GE∥BF；③sin∠ABF=255；④A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)．【答案】B【分析】先證明△AHE≌△BCF（AAS），即可判斷①，由三角形的中位線定理可證GE∥BF，即可判斷②，由勾股定理可求BF的長(zhǎng)，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判斷③，由相似三角形的性質(zhì)可求FH，CH，AO的長(zhǎng)，即可求出16S【詳解】解：如圖，設(shè)BF與AE的交點(diǎn)為O，設(shè)AB＝4a，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，∴∠AOB＝90°＝∠AOH，又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，∴△AOH≌△AOB（ASA），∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，∴AE垂直平分BH，∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正確；∵AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABH，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CFB，∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，∴FG＝GH，∵HE＝BE＝CE，∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝90°，∴∠GHC＝∠GCH，∴CG＝GH，∴FG＝GC＝GH＝a，又∵CE＝BE，∴GE∥BF，故②正確；∵BF=B∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝BCBF故③正確；∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，∴△CFH∽△BFC，∴CFBF∴2a2∴CH=455∴BH=8∵sin∠ABF＝AOAB∴AO=8∵FG＝GC，∴S△GCH∵S△ABH∴16S故選：B．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形中位線定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·廣東·東莞市粵華學(xué)校二模）在△ABC中，sinB=12，AC＝22，AD是BC邊上的高，∠【答案】23+2【分析】分兩種情況討論：當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ACD中，∠∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝22，∴DC=在Rt△ABD中，∴sinB=AD∴AB=4，∴BD=∴BC=如圖，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ACD中，∠∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝22，∴DC=在Rt△ABD中，∴sinB=AD∴AB=4，∴BD=∴BC=綜上所述，BC的長(zhǎng)為23+2或故答案為：23+2【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022·江蘇連云港·一模）已知sina=513【答案】5【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵sinα=∴cosα=∴tanα=故答案為：512【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．13．（3分）（2022·貴州·銅仁市第十一中學(xué)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB交AC于點(diǎn)E.且tan∠BEC＝34，則tanA【答案】1【分析】在Rt△EBC中，先用含k的代數(shù)式表示出BC、CE、BE，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明BE與AE的關(guān)系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切.【詳解】解：在Rt△EBC中，∵tan∠BEC＝34＝BC設(shè)BC＝3k，CE＝4k.∴BE＝BC2+C∵D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB，∴BE＝AE＝5k.∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k.在Rt△ABC中，tanA＝BCAC故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”是解決本題的關(guān)鍵．14．（3分）（2022·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F，連接DF交AB于點(diǎn)E，連接AF，BF．當(dāng)△BFD是直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為_______．【答案】32或【分析】分三種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理及銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)．在Rt△ABC中，BC=A由翻折的性質(zhì)可知；AE＝AC＝3，DC＝DE，∠ACD＝∠AFD＝90°，則EB＝2．設(shè)DC＝ED＝x，則BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．解得：x=3∴DE＝如圖2所示：∠EDB＝90°時(shí)．由翻折的性質(zhì)可知：AC＝AF，∠C＝∠AFD＝90°．∵∠C＝∠AFD＝∠CDF＝90°，∴四邊形ACDF為矩形．又∵AC＝AF，∴四邊形ACDF為正方形．∴DF＝3＝CD，∴DB＝1，∵tan∠ABC∴1DE∴DE=3當(dāng)∠DBF＝90°時(shí)，則AC∥∴AC與BF的距離為BC＝4，又∵AC＝AF＝3＜4，故∠DBE不可能為直角．綜上所述：DE的長(zhǎng)為32或3【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2022·河南鄭州·一模）如圖，先將矩形紙片ABCD沿EF折疊（AB邊與DE在CF的異側(cè)），AE交CF于點(diǎn)G；再將紙片折疊，使CG與AE在同一條直線上，折痕為GH．若∠AEF=α，紙片寬AB=2cm，則HE＝【答案】1【分析】根據(jù)題意，證明四邊形GHEF是平行四邊形，運(yùn)用∠AEF的正弦和余弦的關(guān)系，求出HE．【詳解】如圖，分別過G、E作GM⊥HE,EN⊥GH，垂足分別為M、N則GM=2根據(jù)題意，∠AEF=α，因?yàn)檎郫B，則∠FEP=α∵四邊形ABCD是矩形∴GF∴∠GFE=α∴GF=GE同理HE=GE∴四邊形GHEF是平行四邊形∴∠GHE=α∵EN⊥GH，HE=GEHN=NG=∵HG=Rt△HNE中，HN∴HE==故答案為：1sin【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，理解題意作出輔助線，是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2022·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四邊形BCED的面積為8，tan∠C=7，AC=______．【答案】5【分析】過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，設(shè)CM=x，則AM=7x，AC=52x=AD，根據(jù)∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=42x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=42x，AE=32x，又四邊形BCED的面積為8，列出方程，解方程再計(jì)算即可求解．【詳解】解：過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，如圖：∵tan∠ACB=7，∴AMCM設(shè)CM=x，則AM=7x，∴AC=AM2∵∠ABM=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴BM=AM=7x，∴BC=BM+CM=8x，在Rt△BCN中，∠NBC=45°，∴△NBC是等腰直角三角形，∴CN=22BC=42x∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN，∴△DAE≌△CAN（AAS），∴DE=CN=42x，在Rt△DAE中，AE=AD∵四邊形BCED的面積為8，∴SΔ∴12BC?AM?1解得x=22或x=-2∴AC=52x=52×2=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，用含字母的式子表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)李海務(wù)街道辦事處中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)4cos(2)24?3【答案】(1)1?(2)6【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；（2）先進(jìn)行算式平方根、正切值、絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．（1）解：原式=4×=2=1?3（2）解：原式=2=2=6【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．18．（6分）（2022·河北·邢臺(tái)市第六中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD上BC于點(diǎn)D，若AD=6，BC=12，tanC=32(1)CD的長(zhǎng)(2)cosB的值【答案】(1)4(2)4【分析】（1）直接在Rt△ADC中根據(jù)正切的定義求解即可；（2）先求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，tanC∴CD=（2）解：由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=∴cosB【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，正確求出CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23(1)求CE的長(zhǎng)；(2)求∠ADE的余弦．【答案】(1)CE=2(2)∠ADE的余弦為4【分析】（1）利用正切函數(shù)求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；（2）取CD的中點(diǎn)F，利用梯形中位線定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函數(shù)的定義即可求解．（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23∴DECD=23，即DE6∴DE=4，由勾股定理得CE=42（2）解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF，∵E是AB的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCD的中位線，∴AD//EF，∴∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，∠EDF=90°，DE=4，DF=1由勾股定理得EF=5，∴cos∠DEF=∴cos∠ADE=即∠ADE的余弦為45【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．20．（8分）（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=210m，AE=8m．(1)求點(diǎn)B距水平而AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,3≈1.732）【答案】(1)點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【分析】（1）根據(jù)山坡AB的坡度為i=1：3，可設(shè)BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長(zhǎng)，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設(shè)BH=a,則AH=3a，∵AB=210，由勾股定理得BH=2，答:點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=DEAE即DE=tan60·AE=83，如圖,過點(diǎn)B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=83—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（83—2）=14—83+2≈2.1答:廣告牌CD的高度約為2.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2022·山西·孝義市教育科技局教學(xué)研究室三模）如圖1是工人用升降機(jī)維修路燈的實(shí)物圖，圖2是升降機(jī)工作示意圖．學(xué)習(xí)興趣小組計(jì)劃通過此示意圖計(jì)算路燈AB的高度．他們通過測(cè)量和咨詢工人師傅了解到如下信息：路燈AB垂直于地面，機(jī)械臂DE=2米，CD=4米，路燈頂部A到工作臺(tái)的距離AC=1.5米，車廂上部EF到地面距離為1.5米，∠CDE=75°，∠DEF=55°．根據(jù)上述信息，請(qǐng)你求出路燈AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)值：sin55°≈0.82，cos35°≈0.82，sin20°≈0.34【答案】6米【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DI⊥EF于點(diǎn)I，解Rt△DEI求得DI的長(zhǎng)，根據(jù)題意，求出∠CDH的度數(shù)，再解Rt△CDH，求出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出路燈【詳解】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DI⊥EF于點(diǎn)I．在Rt△DEI∵sin∠DEI=DIDE，∠DEF=55°∴DI=DE·sin由作圖可得DH∥EF，∴∠HDE=∠DEI=55°，∵∠CDE=75°∴∠CDH=∠CDE?∠HDE=75°?55°=20°，在Rt△CDH∵sin∠CDH=CHCD∴CH=CD·sin∴AB=1.5+1.36+1.64+1.5=6米．答：路燈AB的高度為6米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，構(gòu)造合適的直角三角形是解本題的關(guān)鍵．22．（8分）（2022·遼寧葫蘆島·二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是射線DC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)GF，連接GE，CG，以CG，CD為鄰邊作?CGHD，連接AE，M是AE的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，HM與AE的位置關(guān)系是______．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)DE=2CE時(shí)，連接HE，請(qǐng)直接寫出tan∠GHE【答案】(1)HM⊥AD(2)成立，理由見解析(3)13或【分析】（1）由四邊形CGHD是平行四邊形，可得GH∥CD，根據(jù)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，可知AE與AD重合，進(jìn)而可知M為AD的中點(diǎn)，則DM=12AD，由四邊形ABCD是正方形，可知AD⊥CD，AD=CD，則GH⊥AD，由F為CE的中點(diǎn)，可知DF=EF=12CD，則DM=GF=DF，由旋轉(zhuǎn)可知：GF=DF，則∠DFG=90°，則AD∥GF，則四邊形GFDM是平行四邊形，進(jìn)而GM∥CD，由此可知點(diǎn)M在（2）如圖，連接HA，HE，根據(jù)平四邊形的性質(zhì)與判定，以及正方形的性質(zhì)可證△HDA≌△EGH，進(jìn)而可證明結(jié)論成立；（3）分兩種情況當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，連接AH、EH，設(shè)直線GH交直線AD于點(diǎn)N，可計(jì)算出一種結(jié)果，當(dāng)E在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AH，EH，設(shè)直線GH交直線AD與點(diǎn)N，可計(jì)算出第二種結(jié)果，進(jìn)行總結(jié)即可．（1）解：∵四邊形CGHD是平行四邊形，∴GH∥CD，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴AE與AD重合，∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，∴M為AD的中點(diǎn)，∴DM=12AD∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，AD=CD，∴GH⊥AD，∵F為CE的中點(diǎn)，∴DF=EF=12CD∴DM=GF=DF，由旋轉(zhuǎn)可知：GF=DF，∠DFG=90°，∴AD∥GF，∴四邊形GFDM是平行四邊形，∴GM∥CD，∴點(diǎn)M在GH上，∴HM⊥AD，即HM⊥AE，故答案為：HM⊥AE；（2）成立，理由如下：如圖，連接HA，HE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∵四邊形CGHD是平行四邊形，∴HG=DC，HD=GC，∴AD=HG，由旋轉(zhuǎn)可知，F(xiàn)E=FG，∠EFG=90°，∴GF⊥CE，∠GEF=∠EGF=45°，∵EF=CF，∴GF垂直平分CD，∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC=45°，∵四邊形CGHD是平行四邊形，∴GH∥CD，DH∥CG，∴∠EGH=∠GEC=45°，∠HDC=180°?∠GCE=135°，∵∠ADC=90°，∴∠HDA=45°，∴∠HDA=∠EGH，∵HD=GC，GC=GE，∴HD=GE，∴△HDA≌△EGH，∴HA=HE，∵M(jìn)A=ME，∴HM⊥AE．（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，如圖甲所示，連接AH、EH，設(shè)直線GH交直線AD于點(diǎn)N，由(2)得△ADH≌△HGE，AD⊥GH，∴∠GHE=∠DAH，∴tan∠GHE=tan∠DAH=HNAN∵DE=2CE，∴設(shè)CE=m，則DE=2m，HN=DN=FG=EF=12CE=12∴AD=CD=DE+CE=2m+m=3m，∴AN=AD-DN=3m-12m=52∴tan∠GHE=HNAN=12m當(dāng)E在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙所示，連接AH，EH，設(shè)直線GH交直線AD與點(diǎn)N，由（2）可得△ADH≌△HE，AD⊥GH，∴∠GHE=∠DAH，∴tan∠GHE=tan∠DAH=HNAN∵DE=2CE，設(shè)CE=m，則DE=2m-m=m，∴AN=AD+DN=m+12m=32∴tan∠GHE=HNAN=12m綜上所述，tan∠GHE的值為13或1

圖甲

圖乙【