《新編高等數(shù)學》課件2高等數(shù)學-第二章 極限與連續(xù)

1數(shù)列的極限2函數(shù)的極限3無窮小與無窮大4極限的運算法則5兩個重要極限6函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)數(shù)列的極限3極限的概念是由于求某些問題的精確解而產生的，我們先介紹古代數(shù)學家劉徽（魏晉期間偉大的數(shù)學家），利用圓的內接正多邊形來推算圓的面積的方法——割圓術。設有一圓，先做內接正六邊形，其面積記為A1，再作內接正十二邊形，其面積記為A2，再作內接正二十四邊形，其面積記為A3，依次逐漸將邊數(shù)加倍。這樣就得到一系列內接正多邊形的面積：這就是一個數(shù)列?！案钪畯浖?，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。一、數(shù)列的概念A1，A2，A3，……，An，……4一般地說，按自然數(shù)1，2，3，……編號依次排列的一列數(shù)稱為一個無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列。其中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一個項，xn，稱為數(shù)列的通項或一般項。通項為xn

的數(shù)列可以簡記為數(shù)列{xn}。數(shù)列{xn}可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：一、數(shù)列的概念x1，x2，x3，……，xn，……在幾何上，數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1，x2

，x3，……，

xn

，……5例如，以下都是數(shù)列：一、數(shù)列的概念一般項是一般項是一般項是6對于數(shù)列，當n無限增大時，它能否無限趨向于一個常數(shù)，如果能的話，這個常數(shù)又是什么，如何求出？二、數(shù)列極限的定義割圓術中的數(shù)列A1，A2，A3，……，

An，……，從其幾何意義上可知，隨著n無限增大，

An

的值也逐漸增大，并且無限的接近圓的面積A。定義

設有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，當n

無限增大時，xn無限趨近于a

，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a

，記作如果這樣的常數(shù)a不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散?；颍ǎ?二、數(shù)列極限的定義（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；例2-1觀察下列數(shù)列{xn}的極限：解：（1）；（2）；（3）發(fā)散；（4）；（5）當n→∞時，數(shù)列發(fā)散（無限增大）；（6）8為了方便起見，有時也將當n→∞

時|

xn|

無限增大的情況說成是數(shù)列{xn}趨向于∞，或稱其極限為∞（但這不表示數(shù)列是收斂的），記作二、數(shù)列極限的定義或（）如果當n足夠大時能夠限定xn的正負，且當n→∞

時|

xn|

無限增大，則可記作或（）例如9下面給出數(shù)列極限的嚴格定義（ε—N

定義）：二、數(shù)列極限的定義恒成立，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a；如果這樣的常數(shù)a

不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。數(shù)列{xn}收斂于a

的幾何意義為：對于任意給定的ε>0

，當n>N時，所有的點xn

落在（a–ε，a+ε）內，數(shù)列中只有有限個點（至多只有N個）落在其外。定義

設有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，使得對于任意給定的正數(shù)ε

（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，不等式xx2xN+2xN

+1aa+

a-

10性質1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。三、收斂數(shù)列的基本性質性質2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}一定有界。推論

無界數(shù)列一定是發(fā)散的。注意：數(shù)列有界數(shù)列收斂的必要而非充分條件。如數(shù)列{(-1)n+1

}有界，但卻是散數(shù)列。

第二節(jié)函數(shù)的極限12數(shù)列是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，它的極限只是一種特殊的整標函數(shù)的極限。

現(xiàn)在我們討論定義在實數(shù)集合上的一般的函數(shù)的極限。關于函數(shù)的極限，我們主要討論兩種情形：（1）自變量x

的絕對值|x|無限增大或者說趨于無窮大（記作x→∞）時，對應函數(shù)值

f(x)

的總的變化趨勢；（2）自變量x

無限接近于有限值x0

或者說趨于有限值x0（記作x→

x0

）時，對應函數(shù)值f(x)

的總的變化趨勢；13定義

設函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M

為某一正數(shù)）時有定義，如果存在常數(shù)A，當|x|

無限增大時，對應的函數(shù)值f(x)

無限的接近于A

，則稱A為函數(shù)f(x)

當x→∞時的極限，或簡稱為f(x)

在無窮大處的極限，記作一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限考慮函數(shù)，當|x|

無限增大時，它所對應的函數(shù)值y

就無限的趨近于0

，我們稱當x

趨于無窮大時，函數(shù)以0

為極限?；颍ǎ┤绻@樣的常數(shù)A

不存在，則稱當x→∞時函數(shù)f(x)

沒有極限（或稱極限不存在）。14定義

設函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M為某一正數(shù)）時有定義，如果存在常數(shù)A，使得對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)X，使得當

|x|

>X時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式類似于數(shù)列的極限，也可以給出嚴格的ε—X

定義：一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限如果定義中限制

x只取正值或者只取負值，我們就分別記為或稱為f(x)在正無窮大處或負無窮大處的極限。則稱A為函數(shù)f(x)當x→∞時的極限。15對于一些簡單函數(shù)，通過觀察函數(shù)值或圖形就可以得到函數(shù)當

x→∞時的極限，如：一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義中的

|x|

>X如果改為x

>X（x<–X），就可得到

f(x)在正無窮大處或負無窮大處的極限。于是容易得到：一般來講，如果（或），則直線

y=A就是函數(shù)y=f(x)的圖像的水平漸近線。16注意：定義不要求f(x)

的在點

x0

有定義，因為當x→x0時x≠x0

。二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義

設函數(shù)f(x)

在點

x0

的附近有定義，若存在常數(shù)A，當x無限趨向于x0時，對應的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→x0

時的極限，記作或（）如果這樣的常數(shù)A不存在，則稱當x→x0

時函數(shù)f(x)沒有極限（或稱極限不存在）。上述定義也可以解釋為：只要x與x0足夠接近（即|x–x0|足夠?。?，就可以使f(x)

與A任意接近（即|f(x)

–A|任意?。?7點a稱為這個鄰域的中心，δ

稱為這個鄰域的半徑。并且可以看出，U(a，δ

)也就是以點

a為中心，長度為2δ

的開區(qū)間(a–δ，a+δ

)。二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義

設a與δ

是兩個實數(shù)，數(shù)集{x

||x–a|<δ}稱為點a

的

δ

鄰域，記作U(a，δ

)，即為了闡述函數(shù)的局部性態(tài)，還經(jīng)常用到鄰域的概念，它表示某點附近的所有點的集合。aa–δa+δxaa–δa+δx18二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

U(a，δ

)表示與點

a的距離小于δ

的點的全體。有時用到的鄰域需要把中心去掉，將U(a，δ

)的中心a去掉后，稱為點a

的去心δ

鄰域，記作由此，也可以給出函數(shù)在一點處極限的嚴格的ε—δ

定義：定義

設函數(shù)f(x)在點

x0

的某去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)A，使得對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)δ，使得當

0<|x–x0

|

<δ

時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式則稱A為函數(shù)f(x)當x→x0

時的極限。19二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限其幾何意義為：對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ

，當x落在x0

的去心δ

鄰域內時，函數(shù)y=f(x)的圖形完全落在以為y=A中心線，寬為2ε

的帶狀區(qū)域內。例2-2對于一些簡單的函數(shù)，可以根據(jù)觀察判斷出它的極限：y=f(x)A+

AA–

yx

x0–

x0

x0

+

O（1）（C為常數(shù)）；（2）；（3）（4）20前面給出的x→

x0

時函數(shù)f(x)的極限，自變量x是從左右兩側趨近于的，但有時我們只能或只需考慮x是僅從左側趨近于x0（即x<

x0

）的情形，或是僅從右側趨近于x0（即x>

x0

）的情形，為此，通常將類似可以定義右極限為三、單側極限

x<

x0

時，x→

x0

時的情況記作

x>

x0

時，x→

x0

時的情況記作定義

設函數(shù)f(x)

在點

x0

的左側附近有定義，若存在常數(shù)A，使得當x從左側無限趨向于x0時，對應的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當x趨于x0

時的左極限，記作21左極限與右極限統(tǒng)稱為單側極限。右極限為三、單側極限定理

當x→x0時函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點x0處的左、右極限存在且都等于

A，即例2-3設，求1Oxy解左極限為所以22因此；又由于三、單側極限例2-4設，討論x→0

時及x→1

時f(x)的極限。解由于，所以x→1

時f(x)的極限不存在，或稱不存在。23性質1（函數(shù)極限的唯一性）如果存在，則極限唯一。性質2（有極限函數(shù)的局部有界性）如果存在，則函數(shù)f(x)在點

x0

的某個鄰域內有界，即存在常數(shù)M，使得在點x0

的某個鄰域內有第三節(jié)無窮小與無窮大25一、無窮小無窮小的概念在極限的研究中有及其重要的作用。定義在自變量x的某個變化過程中，若函數(shù)

f(x)的極限為零，則稱f(x)在該變化過程中為無窮小量，簡稱無窮小。例2-5因為，所以函數(shù)是當x→∞時的無窮小。例2-6因為，所以函數(shù)(x–

1)是當x→1

時的無窮小。例2-7因為，所以函數(shù)sinx

是當x→0

時的無窮小。注意：不要把無窮小與絕對值很小的數(shù)混為一談，無窮小是一個以0為極限的函數(shù)，能作為無窮小的常數(shù)只有0，其它任何常數(shù)，無論其絕對值多么小，也不是無窮小。26一、無窮小下面定理說明了無窮小與函數(shù)極限的密切關系：由無窮小的定義，不難理解無窮小的下列性質：性質1

有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質2

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。性質3

有限個無窮小的乘積是無窮小。推論

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。定理在自變量x的某個變化過程中，函數(shù)

f(x)有極限A的充分必要條件為：f(x)可以表示為A與一個同一變化過程中的無窮小

的和，即27一、無窮小注意：無窮多個無窮小的代數(shù)和不一定是無窮??；兩個無窮小的商不一定是無窮小。例2-8求極限解：由于，，所以例2-9求極限解：由于，，所以28二、無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小，但無窮小的商就不易確定了?？梢妰蓚€無窮小的商，可以是無窮小，可以是無窮大，也可以是常數(shù)或極限為常數(shù)的變量，這是因為無窮小在趨于零的過程中快慢不同。例如，當x→0

時，x，2x，x2，x3，x

+x2都是無窮小，而此時為了比較無窮小，我們引入無窮小的階的概念。29二、無窮小的比較定義

設及是自變量同一變化過程中的無窮小，且，則

（1）如果，則稱是比高階的無窮小，記作；

（2）如果，則稱是比低階的無窮??；

（3）如果，則稱與是同階的無窮??；

（4）如果，則稱與是等價無窮小，記作。顯然，等價無窮小是同階無窮小的特殊情形。30二、無窮小的比較由定義可見，當x→0

時，x2是x的高階無窮小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低階無窮小，x與2x是同階無窮小。關于等價無窮小，有下面定理：定理

在自變量同一變化過程中，如果，，且存在，則證31二、無窮小的比較求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可以用等價無窮小來代替；在求分式的極限時，分子及分母中的無窮小因子也可以用等價無窮小來代替。如果用來代替的無窮小選取適當?shù)脑挘梢允褂嬎愫喕?。在后面的極限計算中我們會遇到利用等價無窮小代換來求極限的例子。需要注意的是，當分子或分母是若干項的和或差時，一般不能對其中某一項作等價無窮小的代換。32三、無窮大（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有極限，無窮大“∞”不是數(shù)，只是一個符號；

（2）無窮大是無界函數(shù)，但是無界函數(shù)不一定是無窮大；

（3）無窮大是一個絕對值無限大的變量，任何絕對值很大的常數(shù)都不是無窮大。定義在自變量x的某個變化過程中，若函數(shù)

f(x)的絕對值無限增大，則稱f(x)在該變化過程中為無窮大量，簡稱無窮大，可以記作limf(x)=∞。例如，當x→0

時，

，cotx

都是無窮大；當x→0+

時，

，lnx

都是無窮大；當x→+∞

時，x3，ex

，lnx

都是無窮大。注意33三、無窮大定義如果（或），則直線x=x0是函數(shù)y=

f(x)的圖像的鉛直漸近線。例2-10因為，所以直線x=1是曲線的鉛直漸近線。無窮大與無窮小有如下關系：定理

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小且f(x)≠0，則為無窮大。例2-11當x→0

時，x3是無窮小，而是無窮大。例2-12當x→∞

時，x

+1是無窮大，而是無窮小。第四節(jié)極限的運算法則35一、極限的四則運算在下面的討論中，極限過程的自變量的趨向沒有標出，表示對任何一個自變量的變化過程都成立，只要在同一問題中自變量的趨向相同即可。并且這些運算法則對于數(shù)列的極限也是同樣適用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推廣到有限個函數(shù)的情形，但不可應用到無窮多個數(shù)列的情形。定理

如果，，則

（1）

（2）

（3）當B≠0時，36一、極限的四則運算由（2）可得下面推論：下面計算一些函數(shù)的極限。推論如果limf(x)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，則

（1）

（2）例2-13求解37一、極限的四則運算由上例可以看出，求多項式函數(shù)當x→x0時的極限，只要用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即例2-14求解38一、極限的四則運算例2-15求解這里分母的極限不為零，于是可見，求有理分式函數(shù)（其中P(x)，Q(x)都是多項式函數(shù)）當x→x0時的極限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即39一、極限的四則運算例2-16求解這里分母的極限不為零，于是例2-17求解x→3時，分子分母的極限都為零，不能分別取極限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

時x≠3，可以消去公因子后再求極限，于是注意：對于這種Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函數(shù)，在求當x→x0時的極限時，分子分母一定都具有公因子x–x0，由于當x→x0時x≠x0，所以分子分母可以消去不為零的公因子后再求極限。40例2-18求解一、極限的四則運算41一、極限的四則運算例2-19求解當x→1

時，分母的極限為零，分子的極限為3，不能用商的極限運算法則，但由于于是由無窮小與無窮大的關系可得42一、極限的四則運算例2-20求解注意：對于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函數(shù)，求當x→x0時的極限時，可以先求其倒數(shù)的極限，再利用無窮小與無窮大的關系得到結果。再來看一些當x→∞時有理分式函數(shù)的極限。43一、極限的四則運算例2-21求解由于分子分母的極限都是∞，所以不能用商的極限運算法則。做適當變形，即分子分母同時除以它們的最高次冪x3，然后取極限，得44一、極限的四則運算例2-22求解分子、分母同時除以x3，然后取極限，得45一、極限的四則運算例2-23求解由上例，以及無窮小與無窮大的關系可得一般地，對于當x→∞時有理分式函數(shù)的極限，當a0≠0，b0≠0，m，n為非負整數(shù)時有以下結論：46二、復合函數(shù)求極限對于多項式函數(shù)和有理分式函數(shù)f(x)，只要f(x)在點x0處有定義，則當x→x0時f(x)的極限值就是f(x)在點x0處的函數(shù)值。這里我們指出，一切基本初等函數(shù)在其定義域內的每一點處都具有這樣的性質，即如果f(x)是基本初等函數(shù)，定義域為D，而x∈D，則例如，f(x)=sinx是基本初等函數(shù)，而點在它的定義域內，所以下面給出一個復合函數(shù)求極限的定理。47二、復合函數(shù)求極限定理

設函數(shù)u=

φ(x)當x→x0時的極限等于a，即，而函數(shù)y=f(u)在點u=a

處有定義且，則復合函數(shù)y=f[φ(x)]當x→x0時的極限存在且等于f(a)，即定理表明，滿足定理條件的情況下，函數(shù)符號可以和極限符號交換次序。例2-24求解48二、復合函數(shù)求極限例2-25求解例2-26求解49二、復合函數(shù)求極限注意：在求一些無理分式函數(shù)的極限時，如果分子分母都是趨于零的，可以通過先進行有理化，再約去公因子的方法求極限。例2-27求解50二、復合函數(shù)求極限例2-28求解雖然此題不是無理分式，但由于相減的兩項都是趨于無窮的，因此也需要用有理化的方法來做。51二、復合函數(shù)求極限例2-29求解此題相減的兩項都是趨于無窮大的，因此需要通分后再計算。第五節(jié)兩個重要極限53一、準則Ⅰ和第一個重要極限準則I

設在變量的某一變化過程中，對于函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)，有g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=

limh(x)=A，則lim

f(x)=A。這個準則對于數(shù)列的極限也是同樣適用的。利用這個準則，可以證下列重要極限：54一、準則Ⅰ和第一個重要極限證明：如圖2-6，設單位圓O，圓心角∠AOB=x，過A點作圓的切線，與OB的延長線交于D點，再作BC⊥OA，于是可得：，，這里（

）

顯然：

?AOB的面積<扇形AOB的面積<?AOD的面積而?AOB的面積扇形AOB的面積?AOD的面積55一、準則Ⅰ和第一個重要極限從而有（），即（）兩邊同時除以sinx，得，于是由于cosx與都是偶函數(shù)，則上式當時也成立。（）因為，，所以由準則I56一、準則Ⅰ和第一個重要極限對于第一個重要極限，其一般形式為：（方框□代表同一變量）例2-30求解例2-31求解57例2-32求解例2-33求解一、準則Ⅰ和第一個重要極限58例2-34求解利用變量代換，令x=sint，則當x→0

時t→0，且arcsinx=t，于是類似的，也可以得到由第一個重要極限，以及上面幾個例子，我們得到了一些常用的等價無窮?。阂弧蕜tⅠ和第一個重要極限（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）59例2-35求解由于當x→0

時，sin3x~3x，tan5x~5x，所以例2-36求解由于當x→0

時，sinx~x，arctanx~x，所以一、準則Ⅰ和第一個重要極限60二、準則Ⅱ和第二個重要極限如果數(shù)列{xn}滿足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1

≤…，則稱數(shù)列{xn}是單調增加數(shù)列；如果數(shù)列{xn}滿足x1≥x2≥…≥xn

≥xn+1

≥…，則稱數(shù)列{xn}是單調減少數(shù)列。單調增加數(shù)列和單調減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列。準則II

如果無窮數(shù)列{xn}單調且有界，則數(shù)列必收斂。前面曾經(jīng)講過，收斂數(shù)列必有界，但有界數(shù)列不一定收斂，現(xiàn)在由準則II說明：如果數(shù)列有界并且是單調的，就一定收斂。利用這個準則，可以證明下列重要極限：61二、準則Ⅱ和第二個重要極限考慮數(shù)列的情形，設，由下表可以看出，xn是單調增加的，且越來越接近某一常數(shù)：可以證明無窮數(shù)列{xn}是單調增加且有界的（小于3），所以是存在的，這個極限是無理數(shù)，通常用記號e

來表示，即1210100100010000100000……22.252.593742.704812.716922.718142.71827……62二、準則Ⅱ和第二個重要極限無理數(shù)e的值為2.71828182845904523536…，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)?？梢宰C明，當x趨向于+∞或–∞時，函數(shù)的極限都存在且都等于e，所以利用變量代換，令，則當x→∞時，z→0，于是可得63二、準則Ⅱ和第二個重要極限對于第二個重要極限，其一般形式為：例2-37求解（三角?代表同一變量）64二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-38求解65二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-39求解66二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-40求解67二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-41求解例2-42求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，則當x→0

時，u→0，于是由上面兩例，我們又得到了常用的等價無窮小：ln(1+x)~x（x→0），ex–1~x

（x→0）68三、冪指函數(shù)的極限形如f(x)g(x)（其中f(x)>0）的函數(shù)叫做冪指函數(shù)。第二個重要極限就是冪指函數(shù)的極限。冪指函數(shù)的極限的一般計算方法為：在自變量同一變化過程中，如果limf(x)=A>0，limg(x)=B，則69三、冪指函數(shù)的極限例2-43求解70三、冪指函數(shù)的極限例2-44求解71三、冪指函數(shù)的極限例2-45求解第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性73一、函數(shù)連續(xù)性的概念自然界中有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，行星的運動，植物的生長等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性，高等數(shù)學中所討論的主要是連續(xù)變化的量。我們先引入改變量的概念，設變量u從初值u1

改變到終值u2，終值與初值的差u2

–u1就叫做變量u的改變量（也叫增量），記作注意：?u是一個整體記號，是變量u的改變量，它可以是正的，也可以是負的。但自變量的改變量不能為零。下面討論函數(shù)的連續(xù)性。74一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義

設函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

的某鄰域內有定義，若當自變量的增量?x=x–x0趨于零時，對應函數(shù)的增量?y=f(x0+?x)

–f(x0)也趨于零，即則稱函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處連續(xù)。如果記x=x0+?x，則f(x0+?x)

=f(x)，而?x→0等價于x→x0，?y→0（即f(x)

–f(x0)→0）等價于f(x)

→

f(x0)

，因此函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下：或75一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處連續(xù)。定義

設函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

的某鄰域內有定義，若函數(shù)f(x)當x→x0

時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值，即由定義可知，函數(shù)f(x)

在點

x0

處連續(xù)則f(x)

在點

x0

處必有極限，但f(x)

在點

x0

處有極限時不一定在點

x0

處連續(xù)，甚至f(x)

在點

x0

處可能沒有定義。相應于函數(shù)左、右極限的概念，給出函數(shù)左、右連續(xù)的概念。76一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處左（右）連續(xù)。如果函數(shù)f(x)

在點

x0處及其左（右）側附近有定義，且滿足顯然可見，函數(shù)在一點處連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的。在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點，則函數(shù)在左端點連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點連續(xù)是指左連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。77一、函數(shù)連續(xù)性的概念現(xiàn)在此結論可以表述為：在前面我們曾指出，基本初等函數(shù)f(x)

在其定義域內的任何一點

x0處都滿足基本初等函數(shù)在其定義域內的每點處都是連續(xù)的。也就是說，基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的。如果函數(shù)在一點不連續(xù)，那么該點也叫做間斷點。定義

如果函數(shù)f(x)

在點

x0不連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在點x0間斷。相應的點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點。78一、函數(shù)連續(xù)性的概念由函數(shù)在某點連續(xù)的概念可知，設函數(shù)f(x)

在點

x0的某鄰域內（至多除了點x0本身）有定義，如果f(x)

在點

x0處有下列情形之一，則點x0是f(x)的一個間斷點。（1）在點

x0處沒有定義，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在點

x0的左、右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點，除第一類間斷點以外的間斷點稱為第二類間斷點。（2）不存在；（3）在點

x0處有定義，且存在，但是。79二、初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及極限的四則運算，容易知道：定理設函數(shù)f(x)

與g(x)在點

x0處連續(xù)，則，在點

x0處有（1）f(x)±g(x)在點

x0處連續(xù)；（2）f(x)·g(x)在點

x0處連續(xù)；（3）

當g(x0)≠0

時，在點

x0處連續(xù)；另外，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及復合函數(shù)求極限的法則，也可以得到：定理

設函數(shù)u=φ(x)在點x=x0處連續(xù)，且

φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點u=u0處連續(xù)，則復合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x=x0處也是連續(xù)的。80二、初等函數(shù)的連續(xù)性最后，我們也指出：單調增加（減少）的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調增加（減少）且連續(xù)的。前面已經(jīng)指出，基本初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)的，現(xiàn)在又給出了連續(xù)函數(shù)的四則運算及復合函數(shù)的連續(xù)性，因此可以得到重要結論：

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的。有了初等函數(shù)的連續(xù)性，當我們求初等函數(shù)在其定義域內某點的極限時，只需求函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。81二、初等函數(shù)的連續(xù)性例2-46設