2024年拋物線高二數學寒假練習

第05講拋物線

知識點拋物線的定義

1

平面內與一個定點F和一條定直向軌跡叫做拋物線.點歹叫做拋物線

的焦點，直線/叫做拋物線的準線.

注：①在拋物線定義中，若去掉條件"/不經過點F"，點的軌跡還是拋物線嗎？

不一定是，若點F在直線/上，點的軌跡是過點歹且垂直于直線，的直線.

②定義的實質可歸納為“一動三定”

一個動點Af；一個定點/（拋物線的焦點）；一條定直線（拋物線的準線）；一個定值（點M到點尸的距離

與它到定直線/的距離之比等于1）.

知識點2拋物線的標準方程和幾何性質

焦點在X軸上時，方程的右端為±2px,左端為V；焦點在y軸上時，方程的右端為±2py,左端為V.

p的幾何意義：焦點/到準線/的距離.

標準方程y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)

工聲

圖形

頂點0(0,0)

對稱軸X軸y軸

照,

焦點o)X-2-o)Jo,2)-2)

離心率e=l

準線方程22g2

x=-2x=212

范圍x>0,y￡Rx<0,y￡R^>0,%￡Ry<0,%￡R

開口方向向右向左向上向下

焦半徑（其中

2222

|PF|=%+2\PF\=-x+2\PF\=yo+2|Pfl=-yo+2

尸（XO,JO））0Q

知識點3直線與拋物線的位置關系

設直線hy^kx+m,拋物線：y=2/。＞0）,將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于x的方程m（：2+2優(yōu),"

—p）x+m2=0.

（1）若《W0,當/>0時,直線與拋物線相交，有兩個交點；

當/=0時,直線與拋物線相切，有一個交點；

當/<0時,直線與拋物線相離，沒有公共點.

⑵若左=0,直線與拋物線有二仝交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

注：（1）直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

⑵研究直線與拋物線的關系時要注意直線斜率不存在的情況.

知識點4弦長問題

過拋物線產=2卬0>0）的焦點的直線交拋物線于A（xi,ji）,5（X2,山）兩點，那么線段45叫做焦點弦,

如圖：設45是過拋物線產=2內g>0）焦點F的弦，若4（小力），B（x2,力），則|43|=a1型土￡.

注：⑴對必=：

（2）J1-J2=-p2.

⑶|4初=修+*2+0=羔（a是直線A8的傾斜角）.

（明蘇1j+品1V2為定值（尸是拋物線的焦點）?

（5）求弦長問題的方法

2

①一般弦長：|AB|=^1+*|XI-X2|,或|45|=弋1+*1—%|.

②焦點弦長：設過焦點的弦的端點為A（xi,ji）,B（X2,J2）,則|A5|=xi+x2+p.

考【考點剖析】呈

（一）求拋物線的標準方程

L（2023春?北京海淀?高二校考階段練習）拋物線的焦點在x軸正半軸上，且準線與焦點軸間的距離為3,

則此拋物線的標準方程為（）

A.y2=6xB.y2=3xC.x2=6yD.x2=3y

【答案】A

【分析】利用拋物線的性質，求出P，然后求得拋物線方程即可.

【詳解】解：焦點在無軸正半軸上的拋物線標準方程為y2=2px（p>0）,

又準線與焦點軸間的距離為3,可得。=3,所以拋物線的標準方程為丁=6x.

故選：A.

2.（2023春?遼寧本溪?高二?？茧A段練習）以坐標軸為對稱軸，焦點在直線4x-5y+10=0上的拋物線的標

準方程為()

A.尤2=10y或y2=-8xB.尤2=_]0、或

C.>2=10x或X?=-8yD./=-10x或爐=8y

【答案】D

【分析】直線4x-5y+10=0與坐標軸的交點即為焦點，根據焦點可求出乙可得答案.

【詳解】直線以-5必10=0與坐標軸的交點為,年0卜0,2）,

當拋物線的焦點為卜|,0）時，其標準方程為v=-10x；

當拋物線的焦點為（0,2）時，其標準方程為V=8%

故選：D.

3.（2023秋?上海黃浦?高二上海市向明中學?？计谀┻^點（1,-2）,且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是

A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=D.x2=^y

【答案】C

【分析】設拋物線方程為/=沖，代入點的坐標，即可求出加的值，即可得解;

【詳解】解：依題意設拋物線方程為/=沖，因為拋物線過點

所以F=mx（—2）,解得加=一,所以拋物線方程為尤2=一（%

故選：C

（二）拋物線的幾何性質的應用

4.（2023?全國?高二假期作業(yè)）拋物線y=6Y的準線方程為（）

11

A.y=---B.y=----

2412

C.y=—6D.y=-3

【答案】A

【分析】先把拋物線化成標準方程，求出P,即可得到準線方程.

【詳解】拋物線y=6/的標準方程為：x2=^y,令得。=」，于是該拋物線的準線為:

o612

故選：A

5.(2023春?山東臨沂?高二臨沂第四中學校考階段練習)若拋物線丁=2川的焦點與雙曲線尤2-寸=1的右

焦點重合，則。=()

A.2B.4C.20D.0

【答案】C

【分析】先求出雙曲線V-^=1的右焦點，此焦點是拋物線V=2px的焦點，求出p.

【詳解】在雙曲線尤2-9=1中，/=1+1=2,所以右焦點耳(3,。)，

F?是拋物線V=2.的焦點，.?.勺"p=2也.

故選：C

6.(2023春?黑龍江哈爾濱,高二哈九中?？茧A段練習)已知圓C:(x-1)2+/=1與拋物線y=2px\p>0)的

準線相切，則。=()

11

A.—B.-C.8D.2

84

【答案】A

【分析】根據給定條件，求出拋物線的準線方程，再利用點到直線距離公式求解作答.

【詳解】圓C:(x-l)2+y2=i的圓心C(l,0),半徑1,拋物線的準線為、=-；，

2p8P

依題意，4=1,解得。=:，

8P8

所以。=]

O

故選：A

7.(2023?全國?高二假期作業(yè))已知拋物線C：x=?2(ax0),則拋物線C的焦點坐標為()

A?卜?]±￡°)c.(O,4a)D.(0,±甸

【答案】A

【分析】將拋物線方程化為標準方程，判斷焦點的位置，求出p,即可得焦點坐標.

【詳解】已知x=⑷?2(aw0),則標準方程為>2=焦點在x軸上，

a

所以

a2a

所以焦點坐標為(5,oj,

故選：A.

8.（2023春?江蘇泰州?高二統(tǒng)考期中）若拋物線y=上一點億2）到其焦點的距離等于4,則（）

A.m=—B.m=—C.m=4D.m=8

48

【答案】B

【分析】由拋物線的定義求解即可

【詳解】因為拋物線、=皿2的標準方程為一='y,其準線方程為y=

m4m

由于拋物線上一點&2）到其焦點的距離等于4,

由拋物線的定義可得，2+3=4,解得“=

4m8

故選：B

9.（2023秋,湖北咸寧?高二統(tǒng)考期末）已知。是坐標原點，尸是拋物線C：y2=2pr（p>0）的焦點，P5,4）

是C上一點，且戶同=4,貝打尸。尸的面積為（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】根據條件求出夕的值，然后可算出答案.

Xr.+=4f尤。=21

【詳解】由題可知°2,解得“，所以，POF的面積為:7X2x4=4,

[16=2px。1。=42

故選：C

考點二拋物線定義的應用

（一）利用拋物線的定義求距離或點的坐標

10.（2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏市八中校考期末）拋物線丁=6尤上一點”（冷X）到其焦點的距離為3,

則點M到坐標原點的距離為（）

A.3屈.2A.gD.2

【答案】A

【分析】由拋物線方程求得焦點坐標及準線方程，再由”（和乂）到其焦點的距離求得M橫坐標，進一步求

得M縱坐標，則答案可求.

【詳解】由題意知，焦點坐標為0）,準線方程為尤=-3，

3Q

由%）到焦點距離等于到準線距離，得玉+]=/貝也=3,

二.片=18,可得#+丁=3?,

故選：A.

11.（2023?高二單元測試）已知曲線。上任意一點尸到定點尸（2,0）的距離比點尸到直線1=-3的距離小1,

M,N是曲線C上不同的兩點，^\MF\+\NF\=10,則線段MN的中點。到y(tǒng)軸的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據拋物線的定義求出曲線C的方程，再根據拋物線的性質計算可得；

【詳解】解：依題意曲線C上任意一點P到定點尸（2,0）的距離和點尸到直線x=-2的距離相等，

由拋物線的定義可知：曲線C是以歹（2,0）為焦點，》=-2為準線的拋物線，

所以曲線C的方程為丁=8x.分別設點M、N、。到準線x=-2的距離分別為4，d2,d,

則1=4箸=?凹*同=§,所以中點。到y(tǒng)軸的距離為3,

故選：A.

12.（2023?高二課時練習）若尸（知兒）是拋物線V=_32x上一點，/為拋物線的焦點，則戶口卜（）.

A.X0+8B.%―8C.8—x0D.%+16

【答案】C

【分析】根據拋物線定義，得到1PH等于點物%，%）到準線的距離,BP|PF|=|PM|,即可求解.

【詳解】由拋物線y=-32x,可得其焦點在x軸上，且p=8,準線方程為x=8,

因為點是拋物線丁=-32x上一點，尸為拋物線的焦點，

根據拋物線定義，可得歸同等于點P?,%）到準線的距離，即|P耳=|尸照，

如圖所示，所以|尸產|=8-%.

故選：C

13.（2023?高二課時練習）已知拋物線C：y=2彳的焦點為凡A（%,%）是C上一點，|AF|=|X0,貝|尤。=

（）

A.IB.2C.4D.5

【答案】B

【分析】先求出拋物線的準線方程，進而將點到焦點的距離轉化為到準線的距離即可求得答案.

【詳解】由拋物線c：y2=2x可得。=1,則準線方程為X=-；,于是恒尸|=/+_|=毛+；=：%,解得演=2.

故選：B.

14.（2023秋?新疆喀什?高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學校考期中）己知4（4,-2）,尸為拋物線9=8尤的

焦點，點M在拋物線上移動，當+刊取最小值時，點M的坐標為（）

A.（0,0）B.（1,—2V^）C.（2,—2）D.2^

【答案】D

【分析】過M點作準線/的垂線，垂足為E,由拋物線定義，知當/在拋物線上移動時，當

A,M,E三點共線時，|ME|+|M4|最小，由此即可求出結果.

【詳解】如圖所示，過M點作準線/的垂線，垂足為E,由拋物線定義，知

當M在拋物線上移動時，+的值在變化，顯然加移動到時，A,M,E三點共線，|ME|+|MA|最小，

止匕時W//OX,把y=-2代入y2=8x,得尤=g,

所以當\MA\+四6取最小值時，點M的坐標為，，一2）.

故選：D.

15.（2023春?湖北武漢?高二華中師大一附中階段練習）已知拋物線（7:產=2°匹（0>0）的焦點為死點〃在

拋物線C的準線/上，線段與y軸交于點A,與拋物線C交于點8,若|MA|=3|A3|=3,則。=（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題知點A為M5的中點，結合已知得|MF|=6,|3F|=2,|BM|=4,過點8作8。，/,由拋物線的

定義即可求解.

【詳解】設/與x軸的交點為H，由。為F”中點，知點4為陸的中點，

因為|M4|=3|AB|=3,所以|MP|=6,|3P|=2,|BM|=4.

過點2作2。，/,垂足為。，則由拋物線的定義可知18。1=1B尸|=2,

所以13Ml=2|3Q|,貝IJ|MF|=2|E?/|=6,所以p=|切|=3.

故選：c

16.（2023春?福建?高二福建師大附中?？计谀┤鐖D，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點/的直線/交拋物

Be

線于點A,B,交其準線于點C,準線與對稱軸交于點M,若笆=3,且|A司=3,則p為（）

Dr

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】分別過點A、8作準線的垂線，垂足分別為點E、D,設忸耳=即根據拋物線的定義以及圖象可

sinZBCD=sinZACE=sinZFCM,結合已知條件求得a，P,即可.

【詳解】如圖，分別過點A、B作準線的垂線，垂足分別為點E、D,

設忸同=樂則由己知得但C|=3a,由拋物線的定義得忸

故sinZ.BCD==—=—,

BC3a3

在直角三角形ACE中，|AF|=3,|AC|=3+4o,

Ap31

又因為sinNBC。=sinNACE1=——=-------=—,

AC3+4Q3

3

則3+4〃=9,從而得。=5,

又因為sin/BCD=sinNFOW="=二=￡=!,

FC4a63

所以。=2.

故選：B.

（二）與拋物線定義有關的最大（?。┲祮栴}

17.（2023?高二單元測試）已知圓C經過點P（l,0）,且與直線％=-1相切，則其圓心到直線無7+3=0距離

的最小值為（）

A.3B.2C.5/3D.5/2

【答案】D

【分析】利用已知可推出圓心C的軌跡為拋物線，利用拋物線的幾何性質求解即可.

【詳解】解：依題意，設圓C的圓心C（x,y）,動點C到點尸的距離等于到直線尸-1的距離，

根據拋物線的定義可得圓心C的軌跡方程為V=4x,

設圓心C到直線X-y+3=0距離為d,d=|x-y+3|=4y7+3=卜。分+女=卜同加,

"叵一五-4VI-4A/2

當y=2時，d.=應,

故選：D.

18.（2023春?四川瀘州?高二四川省瀘縣第一中學?？计谀┮阎獟佄锞€C：y2=T2x的焦點為尸，拋物線

C上有一動點尸，Q（＜2）,則|P川+|尸@的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】拋物線的準線/的方程為x=3,過尸作PM_L/于"，根據拋物線的定義可知1PH=|尸”|,則當

Q,P,M三點共線時，可求1PMl+儼。|得最小值，答案可得.

【詳解】解：拋物線C：產=-12》的焦點為尸（-3,0）,準線/的方程為x=3,

如圖，過戶作PMJU于〃，

由拋物線的定義可知|尸石=歸叫，所以|尸口+|尸。|=戶陷+|尸。|

則當Q,P,M三點共線時，|尸”|+「0最小為3-（T）=7.

所以|PF|+|PQ|的最小值為7.

故選：C.

19.（2023秋?江西贛州?高二校聯考期中）已知拋物線V=16x的焦點為死尸點在拋物線上，。點在圓

C:（%-6）2+（y-2）2=4±,則|尸。+|尸盟的最小值為O

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，再根據三點共線求最小

距離.

【詳解】如圖，過點P向準線作垂線，垂足為A,則戶目=|PA|,

當CP垂直于拋物線的準線時，他+陷最小，

此時線段CP與圓C的交點為Q,因為準線方程為工=^,C（6,2）,

半徑為2,所以|尸。|+|尸耳的最小值為的0=|CA|-2=lO-2=8.

故選：C

20.（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱三中?？计谥校┰O點尸是拋物線G：爐=分上的動點，點M是圓C?：

0-5）2+（＞+4）2=4上的動點/是點尸到直線產-2的距離，則d+\PM\的最小值是（）

A.50-2B.572-IC.50D.572+1

【答案】B

【分析】根據題意畫出圖像，將d轉化為拋物線上點到準線的距離再加1,也即是拋物線上點到焦點的距離加

1,若求d+l尸河|的最小值，轉化為拋物線上點到焦點距離和到圓上點的距離再加1即可,根據三角形兩邊之和

大于第三邊,即當凡6，MC共線時,d+|PM|取最小值為1+忻。2|-乙算出結果即可.

【詳解】解:由題知圓C?：（尤-5尸+。+鏟=4,

F（0,l）為拋物線焦點,y=-l為拋物線準線，

則過點尸向y=-i作垂線垂足為如圖所示：

則d=l+|PD|,

根據拋物線定義可知1Pq=歸同，

:.d=l+\PF\,

:.d+\PM\=l+\PF\+\PM\,

若求d+|PM|的最小值，只需求歸川+|〃田的最小值即可，

連接尸G與拋物線交于點P,，與圓交于點Mx，如圖所示，

此時|PF|+|PM|最小為代。21-L

（rf+l?IL=1+KI-^

F（0,l）,C2（5,-4）,.-.|FC2|=55/2,

???（〃+忸叫）皿=1+忻。2|-『=5近一L

故選:B

21.（2023春?北京?高二人大附中?？计谀┮阎本€4：4x-3y+6=0和直線/2：X=T,則拋物線/=以上

一動點尸到直線4和直線12的距離之和的最小值是（）

【答案】c

【分析】由尸-1是拋物線y2=4x的準線，推導出點尸到直線4：4x-3y+6=0的距離和到直線/z：x=T的

距離之和的最小值即為點尸到直線4：4x-3y+6=0的距離和點尸到焦點的距離之和，利用幾何法求最值.

【詳解】.x=T是拋物線V=4x的準線，到尸-1的距離等于歸同.

過戶作尸。□于Q,則尸到直線乙和直線4的距離之和為歸尸|+|尸。|

拋物線＞2=?的焦點尸（1,0）

過/作于?！负蛼佄锞€的交點就是片，

回山?|+由2閆尸尸|+怛。（當且僅當GP、。三點共線時等號成立）

點尸到直線4：4x-3y+6=0的距離和到直線l2：x=-1的距離之和的最小值就是尸（1,0）到直線

4%—3y+6=。星巨離,

|4-0+6|

最小值|F0==2.

J16+9

故選：C.

考點三拋物線的軌跡問題

22.（2023?高二課時練習）已知點Af（2,2）,直線/:x-y-l=0,若動點尸至心的距離等于忸網，則點P的軌

跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.直線

【答案】C

【分析】由拋物線的定義求解即可.

【詳解】由拋物線的定義（平面內，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線）可知，點尸的軌跡

是拋物線.

故選：C

23.（2023春?四川成都?高二成某?？茧A段練習）已知圓。:/+,2=1,點4（%,0）,（%20）,

動圓又經過

點A且與圓。相切，記動圓圓心M的軌跡為E,有下列幾個命題：

①毛=0,則軌跡E表示圓，②則軌跡E表示橢圓，③%=1,則軌跡E表示拋物線，④x°>l,

則軌跡E表示雙曲線，其中，真命題的個數為()

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設動圓M圓心M(x,y),半徑為「，根據圓與圓內切和外切兩種情況，結合圓，拋物線，橢圓和雙

曲線的定義，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】設動圓M圓心半徑為，

當x0=0時，動圓M與圓。內切，故=l-即|〃0|=1—眼0|,=軌跡為圓，①正確；

當0<%<1時，動圓M與圓。內切，故r,gp|M(9|+|M4j=l>|AO|,故軌跡為橢圓，②正確；

當％=1時，動圓M與圓0內切時，=1—廠，|“0|+|加4|=1=|40],軌跡為線段。4；動圓M與圓0外

切時，|MO|=l+r,幽=1=|AO|,軌跡為射線，③錯誤；

當天>1時，動圓M與圓。外切，|MO|=l+r,BP|W|-|AM|=1<|AO|,故軌跡為雙曲線，④正確.

故選：C

24.(2023秋?福建福州?高二統(tǒng)考期中)在平面直角坐標系尤Oy中，動點尸(x,y)到直線x=l的距離比它到定

點(-2,0)的距離小1,則尸的軌跡方程為()

A.y2=2xB.y'=4x

C.y=—4xD.y2=-8x

【答案】D

【分析】根據拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點、準線得到方程即可.

【詳解】由題意知動點尸(x,y)到直線X=2的距離與定點(-2,0)的距離相等，

由拋物線的定義知，尸的軌跡是以(-2,0)為焦點，x=2為準線的拋物線，

所以P=4,軌跡方程為V=_8x,

故選：D

25.(2023春?廣東江門?高二新會陳經綸中學?？茧A段練習)已知點尸(1,0),過直線x=-l上一動點P作與y

軸垂直的直線，與線段的中垂線交于點。則。點的軌跡方程為()

A.x2+^y2=1B.爐一丁2=]仁-y2-2%D.y2=4x

【答案】D

【分析】根據中垂線性質得到|Q耳=|8|,結合拋物線的定義判斷出。點的軌跡是拋物線，由此求解出軌跡

方程.

【詳解】設。(龍,打，因為PF的中垂線經過點。，所以|。耳=|。尸|,

又因為尸。，>軸，所以|。升表示。到直線尸-1的距離，

且|。石表示Q點到F點的距離，F點不在直線x=-1上，

由拋物線的定義可知：。點的軌跡是以尸為焦點，以直線產-1為準線的拋物線，

設軌跡方程為y2=2px(p>0),所以勺1,所以P=2,

所以軌跡方程為y2=4x.

故選：D.

26.(2023秋?山東青島?高二青島二中校考階段練習)已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：x2+(y+3)2=1

外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()

A.無2=—12yB.x2=12yC.y2=12xD.y2=—12x

【答案】A

【分析】根據動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：/+(y+3)2=l外切，可得動點M到C(0,一3)的距離

與到直線"3的距離相等，由拋物線的定義知，點M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程.

【詳解】設動圓圓心為M(x,y),半徑為廠，由題意可得M到C(0,—3)的距離與到直線y=3的距離相等，

由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點，以y=3為準線的一條拋物線，

所以點=3,2〃=12,其方程為尤2=T2y.,

故選：A

27.(2023?高二課時練習)若動點”(x,y)滿足5j(x_l『+(y-=|3x-4y+12],則點M的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】根據題意，化簡得至[小_])2+(1『」3/一；+12],結合拋物線的定義，即可求解.

【詳解】由題意，動點M(x,y)滿足5j(x-l『+(y_2)2=|3x-4y+12],

即7(x-l)2(y-2)2=，

+段-=2

即動點M(x,y)到定點(1,2)的距離等于動點M(x,y)到定直線3x-4y+12=0的距離，

又由點(1,2)不在直線3x-4y+12=0上，

根據拋物線的定義，可得動點M的軌跡為以(L2)為焦點，以3x-4y+12=。的拋物線.

故選：D.

考點四直線與拋物線的位置關系

(一)直線與拋物線位置關系的判斷及應用

28.(2023春?上海浦東新?高二上海市建平中學?？茧A段練習)過定點P(0,l)且與拋物線/=8x有且僅有一

個公共點的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】根據題意，考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，由直線與拋物線位置關系，聯立直線與拋物線

方程求解，即可得出結果.

【詳解】當斜率不存在時，直線方程為x=0,只有一個公共點，符合題意；

當斜率存在時，設為七則直線方程為>=履+1,

聯立《「，得％2/+(2左一8)x+l=0,

[y=8x

①當左=0時，直線方程為>=1,只有一個公共點，符合題意；

②當ZwO時，令A=(2左--4/=0,解得上=2,即直線與拋物線有一個公共點.

所以滿足題意的直線有3條.

故選：C

29.(2023?高二課時練習)直線y=1)+2與拋物線x?=4y的位置關系為()

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

【答案】A

【分析】直線y=Mx-1)+2過定點(L2),在拋物線-=4y內部，即可得出結論.

【詳解】直線y=Mx-1)+2過定點(1,2),

Ell2<4x2,

團(1,2)在拋物線/=4y內部,

回直線y=MxT)+2與拋物線尤2=4y相交,

故選：A.

30.(2023春?江蘇連云港?高二期末)已知直線/過點(1,2)且與拋物線＞2=以只有一個公共點，則直線/的

方程是()

A.y=2B.尤-y+l=0

C.x=lD.y=2或x-y+l=0

【答案】D

【分析】先判斷點(1,2)在拋物線上，再分直線的斜率不存在，直線的斜率為0和直線的斜率存在且不為0,

三種情況討論求解即可.

【詳解】將點(L2)的坐標代入拋物線方程得22=4x1，即該點在拋物線上.

①若直線的斜率不存在，直線/的方程為/:x=l,當直線/與拋物線有兩個交點，不合題意；

②若直線的斜率為0,則直線/：＞=2平行于x軸，則滿足題意；

③若直線的斜率存在且不為0,設=(左二0),

[y-2=k{x-V)

聯立方程組2,，

[y=4x

將尤==二+1代入上以化簡得丁_打+告_4=0,

kkkk

AO

貝!JA=(—)2—4(4)=0=＞左=1,

kk

止匕時/：y-2=x-l^x-y-^-l=0.

綜上，直線/的方程為＞=2或％—y+l=。.

故選：D.

31.(2023春?江蘇南京?高二校聯考階段練習)過拋物線％2=4y的焦點尸作直線交拋物線于A3兩點，且點

A在第一象限，則當A尸=2FB時，直線的斜率為()

A.—B.±—C.272D.±272

44

【答案】A

【分析】首先設直線AB,把直線與拋物線聯立，結合AF=2FB，找到石+%與中?關系式，計算即可得到斜率.

【詳解】由題意知尸(0,1),設直線科：y=履+1,4(9％)1(孫力)

y=kx+1

聯立方程

x2=4y'

Mb=4左

可得％2-4履一4=0,即得玉一①

又因為AP=2尸5,可得占=一2々,②

結合①②=-2（X]+X2）、T=—2x16左2

可得%2=]

O

因為再=一2%,%>0,%2<0又因再+%=4左所以七〉0

即可得上=正

4

故選:A.

32.（2023春?江蘇連云港?高二?？计谥校┻^拋物線C-.y2=x上定點尸（2,夜）作圓M：（x-Z）?+/=1的兩條

切線，分別交拋物線C于另外兩點A、B,則直線AB的方程為（）

A.x-ZA/2J7+1—0B.x+2y+1—0

C.尤-2y/^y+2=0D.x+2\/2y+2=0

【答案】B

【分析】設過點尸且與圓M相切的直線的方程為y-0=Mx-2）,根據該直線與圓〃相切求出左的值，設

點2（4,丫2），求出外、%的值，求出直線A2的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.

【詳解】圓M的圓心為河（2,0）,半徑為1,易知軸，所以，直線以、尸8的斜率必然存在，

設過點尸且與圓加相切的直線的方程為=2）,即日-y+應-2左=0,

72

由題意可得^^=1,解得左=±1,

42+1

設點A（y；,yJ、網￡,%），不妨設直線卓、PB的斜率分別為1、-1.

貝U，=TT7=1,可得M=1-0,

同理4pB=。+應=-1,可得力=-1一0，

直線AB的斜率為原B=?曰=，

弁一貢%+%4

易知點A的坐標為(3-2a,1-0),

所以，直線A3的方程為y-(1-0)=-孝卜-3+2后)，即x+20y+l=O.

故選：B.

33.(2023秋?安徽,高二校聯考期末)已知拋物線C:V=i2y的焦點為尸，其準線與>軸的交點為A,點B為

AB

拋物線上一動點，當,取得最大值時，直線A3的傾斜角為()

FB

兀7171,vSTC兀八3萬

A.—B.—C.一或予D.一或一

436644

【答案】D

BF\AB

【分析】過點8作拋物線C的準線的垂線垂足為點分析可得二商=cos/BA尸，當島取得最大

值時，/BA尸最大，此時與拋物線C相切，設出直線A8的方程，將拋物線C的方程，由A=0可求得直

線AB的斜率，即可求得直線AB的傾斜角.

【詳解】拋物線C的準線為/:f=12y,焦點為尸(0,3),易知點1(0,-3),

過點8作垂足點為由拋物線的定義可得忸叫=忸耳，

BF

易知即1〃丫軸，則NBAF=NA￡M,所以,=1^1=cosZABM=cosZBAF

當,取得最大值時，cosNBAF取最小值，此時N54戶最大，則直線AB與拋物線C相切,

FB

由圖可知，直線A2的斜率存在，設直線A3的方程為>=履-3,

(2=]2y

聯立〈x,二可得12履+36=0,貝!!△=144/-144=0,解得及=±1,

[y=kx-3

Jr37r

因此，直線A3的傾斜角為￡或

44

故選：D.

(二)弦長問題

34.(2023春?四川成都?某中學?？茧A段練習)已知拋物線C:/=8x的焦點為F,過點產且傾斜角

為:的直線/與拋物線C交于A,B兩點,則|筋|=().

A.8B.83c.16D.32

【答案】C

【分析】根據過拋物線焦點的弦長公式求得正確答案.

【詳解】焦點尸(2,0),直線/的方程為y=x-2,

fy=x—2

由＜2c，消去，并化簡得/-12苫+4=0,公=144-16=128＞0,

[y=8無

設孫％)所以芯+々=12,

所以|AB|=芯+々+p=12+4=16.

故選：C

35.(2023春?湖北?高二校聯考階段練習)根據拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經拋物線反

射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線V=2x,若從點2(3,2)發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，

經A點反射后交拋物線于B點，則卜()

25252525

A.—B.—C.—D.—

816918

【答案】A

【分析】由題意求出A點的坐標，由于直線A8過焦點，利用點斜式方程求出直線AB為4x-3y-2=0,聯

a

立拋物線方程，得，2-：y-l=0,根據韋達定理求出2點坐標，利用兩點間距離公式可求出|旗

【詳解】由條件可知AQ與X軸平行，令y=2,可得無*=2,故A點坐標,

因為G經過拋物線焦點尸

所以卻;為＞。一2)，整理得4x-3y

-2=0,

~2

聯立])??n，得y2_]y_i=o,A=f_|)-4xlx(-l)=^>0,

4%—3〉一2二。21

3

所以%+%=]，又%=2,

故選：A.

22

36.(2。23春?山東濟南?高二山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習)已知橢圓的右焦點廠是

拋物線y2=2px(p>0)的焦點，則過歹作傾斜角為45。的直線分別交拋物線于A,B(A在x軸上方)兩點,

AF

則正的值為()

A.3+2應B.2+2應C.3D.4

【答案】A

【分析】先根據橢圓方程求拋物線的方程，分別過4B作準線的垂線，得到直角梯形結合拋物

線的定義在梯形中求|4?|=0|AP|,即得結果.

【詳解】依題意，尸(1,0)是拋物線9=2*(0>0)的焦點，故^=1，貝UP=2,/=4x.

根據已知條件如圖所示，A在無軸上方，分別過A,2作準線的垂線，垂足為4,耳，

過8作A4,的垂線，垂足為P,設忸耳=龍,卜司=履，

根據拋物線的定義知|四|=x,|A4j=丘，所以直角梯形中RP|=x,

|明=|相|一［4尸|=(左_1)彳，|AB|=(Z:+l)x,

又直線A2的傾斜角45，故依+l)x=^(hl)x,

解得左=3+2應，即弁7=3+2夜,

故選：A.

37.(2023?山東青島?高二山東省萊西市第一中學學業(yè)考試)設廠為拋物線C:/=3x的焦點，過F且傾斜角

為30。的直線交拋物線C于A,8兩點，O為坐標原點，則..35的面積為()

9

A.—B.c

4f-/鬻

【答案】A

【分析】聯立直線與拋物線方程消去x得乂+%，%%，5想的=%即+小。陽=』0尸11?-%1代入計算可

得結果.

3

【詳解】由題意知，FF,O）

4

回過A、8的直線方程為y=￥（x-；）,即：x=V3y+|

設A（%，x）,B（x2,y2）,貝1］弘+%=36,必為=一（

113

團S^OAB=^AOAF+S4OFB=310FII%-%1=5xR%-%I

故選：A.

38.（2023春?河南?高二校聯考期中）已知拋物線C:y2=4x的焦點為EN為C上一點，且N在第一象限，

直線FN與C的準線交于點V,過點M且與x軸平行的直線與C交于點P,若|AW|=2|NF|,貝iJAMPF的

面積為（）

A.8B.12C.4A/3D.4"

【答案】C

【分析】過N作準線的垂線，垂足為Q,準線與x軸交于點E,進而根據幾何關系得△MPF為等邊三角形，

|MF|=3|NF|=4,再計算面積即可.

【詳解】解：如圖，過N作準線的垂線，垂足為。，準線與x軸交于點E,

所以，|A^|=|A^2|,\EF\=2.

因為/\MQNS^MEF,

所以鬻=^=愣H/。叫伸號附?葉4.

所以3//莊=\命EF\=51,

ZMFE=60°=ZPMF.

又因為戶閘=|尸司，

所以NPRW=NPMF=60。，所以△MPF為等邊三角形，

所以5“=手|所=4折

若M在第三象限，結果相同.

故選：C

39.（2023秋,河南許昌,高二統(tǒng)考期末）已知直線/過點（2,0）,且垂直于x軸.若/被拋物線丁=46截得的

線段長為40，則拋物線的焦點坐標為（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,1）

【答案】A

【分析】將x=2代入V=4"可得交點坐標，結合弦長為4a可得。，進而得到拋物線的焦點坐標即可

【詳解】當尤=2時，y2=8a,顯然a>0,解得y=±20ii,故20^—卜2^/^）=4^石，解得。=1,故拋物

線丁=4尤，焦點坐標為（1,0）

故選：A

40.（2023秋?河南,高二校聯考開學考試）已知A,8為拋物線C:;/=x,上的兩點，且|明=2,則的

中點橫坐標的最小值為（）.

I13

A.-B.-C.-D.1

424

【答案】C

【分析】根據拋物線的弦長公式，結合基本不等式進行求解即可.

【詳解】設直線AB的方程為》=口+。（此0）,4仿,必），

聯立方程組，\二:，得丁-什-6=0,

[x=ky+b

貝1」%+%=%，A*+46>0.

因為網=J（1+A）儼+4b）=2,所以（1+用,2+助）=4,得》=工一

1+左4

因為玉+W=左（丁1+%）+2人=左2+26，

所以A2的中點的橫坐標毛=工*=S+b=￡+1+k211

--------1-------Z-----

224l+k24]+k24

'1+42]

41+k2

1+k2I

當且僅當即左=±1時，等號成立,

4]+k2

3

所以當人=±1時，％取得最小值

4

故選：C

41.（2023秋?廣東深圳?高二深圳市羅湖外語學校?？茧A段練習）己知圓元?+V=/（廠>0）與拋物線/=3x

相交于跖N,且|跖V|=2百，則r=（）

A.72B.2C.2A/3D.4

【答案】B

【分析】由圓與拋物線的對稱性及|"N|=2百，可得〃點縱坐標，代入拋物線得橫坐標，求出|。河|即可

得解.

【詳解】因為圓％2+丫2=/（廠＞0）與拋物線產=3彳相交于跖N,且|政V|=2g,

由對稱性，不妨設/（尤,6）,

代入拋物線方程，貝U3=3x,解得x=l,

所以M（l,追），

故r=|OM|=水+的2=2

故選：B

（三）焦點弦問題

42.（2023春?湖南長沙?高二湘府中學?？茧A段練習）設廠為拋物線C