函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系第2課時(shí)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系第2課時(shí)整體概覽（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？問題1閱讀課本本節(jié)內(nèi)容，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究函數(shù)的零點(diǎn)存在定理及二分法求方程近似解．整體概覽（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？問題1閱讀課本本節(jié)內(nèi)容，回答下列問題：（2）起點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)與對應(yīng)方程的根之間的關(guān)系，以及利用函數(shù)的圖像求解對應(yīng)不等式的解集．目標(biāo)是理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，會用函數(shù)的性質(zhì)判斷對應(yīng)方程是否有實(shí)根，會利用“二分法”找到實(shí)根的近似值等．重點(diǎn)是滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，二分法，提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等素養(yǎng)．復(fù)習(xí)引入我們知道：一次函數(shù)、二次函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，并不難判別，這是因?yàn)橐辉淮畏匠?、一元二次方程?shí)數(shù)解的情況，都可以根據(jù)它們的系數(shù)判別出來，而且有實(shí)數(shù)根的時(shí)候，都能夠?qū)懗銮蟾剑畯?fù)習(xí)引入問題2關(guān)于x的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的求根公式為________；一元二次方程的求根公式為（有實(shí)根時(shí)）____________________________．復(fù)習(xí)引入問題3對于次數(shù)大于或等于3的多項(xiàng)式函數(shù)（例如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中a≠0），以及其他表達(dá)式更復(fù)雜的函數(shù)來說，判斷零點(diǎn)是否存在以及求零點(diǎn)，都不是容易的事（事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明：次數(shù)大于4的多項(xiàng)式方程，不存在求根公式）．那么，什么情況下一個(gè)函數(shù)一定存在零點(diǎn)呢？新知探究問題4如下圖所示，已知A，B都是函數(shù)y＝f（x）圖像上的點(diǎn)，而且函數(shù)圖像是連接A，B兩點(diǎn)的連續(xù)不斷的線，畫出3種y＝f（x）的可能的圖像．判斷f（x）是否一定存在零點(diǎn)，總結(jié)出一般規(guī)律．新知探究可以看出，滿足要求的函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）中一定存在零點(diǎn)．零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的

圖像是連續(xù)不斷的，并且f（a）f（b）＜0（即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號），則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈（a，b），f（x0）＝0．強(qiáng)調(diào)：一般地，解析式是多項(xiàng)式的函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的．需要注意的是，反比例函數(shù)y＝的圖像不是連續(xù)不斷的．新知探究問題5例1中的函數(shù)在區(qū)間（－2，0）中存在零點(diǎn)x0，但是不難看出，求出x0的精確值并不容易，那么，能不能想辦法得到這個(gè)零點(diǎn)的近似值呢？比如，能否求出一個(gè)x1，使得|x1－x0|＜？新知探究【嘗試與發(fā)現(xiàn)】如果在區(qū)間（－2，0）中任取一個(gè)數(shù)作為x0的近似值，那么誤差小于多少？如果取區(qū)間（－2，0）的中點(diǎn)作為x0的近似值，那么誤差小于多少？怎樣才能不斷縮小誤差？如果在區(qū)間（－2，0）中任取一個(gè)數(shù)作為x0的近似值，誤差小于2；如果取區(qū)間（－2，0）的中點(diǎn)作為x0的近似值，誤差小于1．新知探究【嘗試與發(fā)現(xiàn)】怎樣才能不斷縮小誤差？一般地，求x0的近似值，可以通過計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值，從而不斷縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間來實(shí)現(xiàn)，具體計(jì)算過程可用如下表格表示．零點(diǎn)所在區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值取中點(diǎn)作為近似值時(shí)誤差小于的值（－2，0）f（－1）＝－1＋2＋2＝3＞01（－2，－1）＝＋3＋2＝＞0新知探究【嘗試與發(fā)現(xiàn)】怎樣才能不斷縮小誤差？零點(diǎn)所在區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值取中點(diǎn)作為近似值時(shí)誤差小于的值＝＋3＋2＝＞0新知探究【嘗試與發(fā)現(xiàn)】怎樣才能不斷縮小誤差？其中第2行的區(qū)間是（－2，－1），這是因?yàn)閒（－2）f（－1）＜0，其他區(qū)間都是用類似方式得到的．最后一行的函數(shù)值沒有計(jì)算，是因?yàn)椴还?，還是，我們都可以將看成x0的近似值，而且誤差小于．當(dāng)然，按照類似的方式繼續(xù)算下去，可以得到精確度更高的近似值．上述這種求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法稱為二分法．新知探究二分法的求解步驟：在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)（即f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，且f（a）f（b）＜0），給定近似的精度ε，用二分法求零點(diǎn)x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步驟如下：第一步檢查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取，計(jì)算結(jié)束；如果不成立，轉(zhuǎn)到第二步．第二步計(jì)算區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，若，取，計(jì)算結(jié)束；若，轉(zhuǎn)到第三步．新知探究二分法的求解步驟：在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)（即f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，且f（a）f（b）＜0），給定近似的精度ε，用二分法求零點(diǎn)x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步驟如下：第三步若，將的值賦給b（用表示→b，下同），回到第一步；否則必有，將的值賦給a，回到第一步．這些步驟可用如圖所示的框圖表示新知探究二分法的求解步驟：是否是否是否開始輸入a，b，ε|b－a|<2ε輸出x1結(jié)束新知探究證明：因?yàn)樗詅（－2）f（0）＜0，因此?x0∈（－2，0），f（x0）＝0，即結(jié)論成立．f（0）＝2＞0，f（－2）＝－8＋4＋2＝－2＜0，例1求證：函數(shù)f（x）＝x3－2x＋2至少有一個(gè)零點(diǎn)．新知探究例2已知函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋1有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間（－1，1）上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖像是開口朝上的拋物線，因此滿足條件的函數(shù)圖像示意圖如下圖（1）（2）所示．因此（2－a）（a＋2）＜0且|a|≥2，解得a＜－2或a＞2．不管哪種情況，都可以歸結(jié)為

f（－1）f（1）＜0且

≥1，新知探究例3用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如表所示：解析：由表格可得，函數(shù)f（x）＝x3＋2x－9的零點(diǎn)在（1.75，1.875）之間，結(jié)合選項(xiàng)可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取為1.8，故選C．x121.51.6251.751.8751.8125f（x）－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取為（）A．1.6

B．1.7

C．1.8

D．1.9C新知探究例4已知函數(shù)．（1）證明方程f（x）＝0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有實(shí)數(shù)解；（2）使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的實(shí)數(shù)解x0在哪個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)．解：（1）證明：∵f（0）＝1＞0，f（2）＝，∴f（0）f（2）＝＜0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得方程f（x）＝0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有實(shí)數(shù)解．新知探究例4已知函數(shù)．（2）使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的實(shí)數(shù)解x0在哪個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)．解：由此可得，下一個(gè)有解區(qū)間為（1，2）．取，得，再取，得，∴，下一個(gè)有解區(qū)間為（1，）．新知探究例4已知函數(shù)．（2）使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的實(shí)數(shù)解x0在哪個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)．解：再取，得，故f（x）＝0的實(shí)數(shù)解x0在區(qū)間內(nèi)．∴，下一個(gè)有解區(qū)間為．歸納小結(jié)問題6回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的內(nèi)容是什么？有哪些注意點(diǎn)？（2）什么叫二分法？（3）二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似解的求解步驟？作業(yè)：教科書習(xí)題3-2B4~9，習(xí)題3-2C1、3、4、5作業(yè)布置課外拓展用GeoGebra中的root命令，可以方便地求得多項(xiàng)式函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)信息．例如，在“輸入”對話框中輸入“root［x^2－x－6］”后按回車鍵，將得到函數(shù)f（x）＝x2－x－6與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；輸入“root［x^3－2x＋2］”后按回車鍵，將得到函數(shù)f（x）＝x3