高等數(shù)學(xué) 課件 王震 第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1微分中值定理微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用舉例教學(xué)內(nèi)容一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、羅爾定理費(fèi)馬引理：若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且存在，對(duì)任意有（或），則通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)）不失一般性，我們以為例來(lái)證明。一、羅爾定理一、羅爾定理例如,一、羅爾定理證由費(fèi)馬引理知一、羅爾定理幾何解釋:一、羅爾定理注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,二、拉格朗日中值定理注意二、拉格朗日中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為二、拉格朗日中值定理作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:這個(gè)公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.推論二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論二、拉格朗日中值定理例1證作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分三、柯西中值定理三、柯西中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)三、柯西中值定理三、柯西中值定理例證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)的單調(diào)性3.5函數(shù)的性態(tài)與作圖（1）目錄二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最值一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性定理1

設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo).

則函數(shù)

y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(或減少)的充要條件是.一、函數(shù)的單調(diào)性證明充分性在[a,b]上任取兩點(diǎn)x1,x2，不妨設(shè)x1<x2，則由拉格朗日中值定理知

因此f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.

因此f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.

一、函數(shù)的單調(diào)性

因?yàn)閒(x)在開(kāi)區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)

一、函數(shù)的單調(diào)性定理2

設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo).(2)若在(a,b)內(nèi)f

(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)減少.(1)若在(a,b)內(nèi)f

(x)>0，則函數(shù)

y=f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加.

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性解

(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(,)(2)

f

(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，令f

(x)=0，得

x1=-1，x2=2

(3)列表討論如下：

x(,-1)(-1,2)

(2,)

f

(x)

-

f(x)

所以(-∞,-1)和(2,+∞)是f(x)

的遞增區(qū)間,(-1,2)是f(x)

的遞減區(qū)間.一、函數(shù)的單調(diào)性例1解單調(diào)區(qū)間為一、函數(shù)的單調(diào)性

二、函數(shù)的極值定理

3充分條件I---單調(diào)法則

設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0的左右近旁可導(dǎo)，若當(dāng)x

在x0的左右，f

(x)改變符號(hào)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值，且,)(xf,，則(1)如果),,(00xxxd-?有;0)('>xf而),(00d+?xxx有0)('<xf，則)(xf在x0處取得極大值

(2)如果),,(00xxxd-?有;0)('<xf而),(00d+?xxx有0)('>xf在0x處取得極小值(3)如果當(dāng)),(00xxxd-?及),(00d+?xxx時(shí))('xf符號(hào)相同則)(xf在0x處無(wú)極值二、函數(shù)的極值

例4求函數(shù)的極值.解令得

二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值例3求函數(shù)

f(x)=(x-1)3

的極值.解

（3）列表討論如下：二、函數(shù)的極值x(-,0)f

(x)0+不存在-0+f(x)極大值03二、函數(shù)的極值定理

4充分條件II---二階導(dǎo)符號(hào)法則

(1)若f

(x0)<0,則f(x0)

為函數(shù)f(x)的極大值，

x0為極大值點(diǎn)；

(2)若f

(x0)>0，則f(x0)

為函數(shù)f(x)的極小值，

x0為極小值點(diǎn).若f

(x0)=0，且f

(x0)

0，

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值，且設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0的二階導(dǎo)數(shù)存在，若二、函數(shù)的極值例6求函數(shù)

f(x)=x4

–10x2+5

的極值.解(1)f(x)的定義域?yàn)?-

,

+

).(2)f

(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，令f

(x)=0,得駐點(diǎn)(3)因?yàn)?/p>

f

(x)=12x2

–20，于是有所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0

取得極大值f(0)=5,三、函數(shù)的最值

在實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到求函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題．下面我們?cè)诤瘮?shù)極值的基礎(chǔ)上討論如何求函數(shù)的最大值與最小值．

三、函數(shù)的最值

分析：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么它在[a,b]上一定有最大值和最小值．顯然，在所設(shè)條件下，f(x)在閉區(qū)間[a,b]的最值只可能在極值點(diǎn)和區(qū)間的端點(diǎn)處達(dá)到．

又因?yàn)闃O值點(diǎn)只能在極值嫌疑點(diǎn)中去找，所以只要求出全部極值嫌疑點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后加以比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值．

1.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值三、函數(shù)的最值

三、函數(shù)的最值例7求函數(shù)

f(x)=2x3–9x2+12x+10在[0,3]上的最大值和最小值.解

f

(x)=6x2–18x

+12=6(x–2)(x–1),

令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)x1=2,x2=1.計(jì)算f(x)在所有駐點(diǎn)及端點(diǎn)處的函數(shù)值：f(1)=15,f(2)=14,f(0)=10,f(3)=19,比較這些值的大小，可知，

在[0,3]上，函數(shù)f(x)的最大值為f(3)=19,最小值為f(0)=10.三、函數(shù)的最值實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;三、函數(shù)的最值例8某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，三、函數(shù)的最值（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。最大收入為練習(xí)：求函數(shù)

f(x)=x3–3x2–9x+5在[–4,4]上的最大值和最小值.作答主觀題10分

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3未定式目錄一、基本未定式極限二、其他類型的未定式一、基本未定式極限定理1設(shè)這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且

（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么一、基本未定式極限例1解例2解一、基本未定式極限定理2一、基本未定式極限例4解例3解一、基本未定式極限例5解一、基本未定式極限注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6解一、基本未定式極限例7解極限不存在洛必達(dá)法則失效。一、基本未定式極限應(yīng)用法則時(shí)，每步必須驗(yàn)證條件，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果事實(shí)上，上式極限為1，錯(cuò)誤在于應(yīng)用了一次法則后已經(jīng)不是不定式了，所以不能再用洛必達(dá)法則求極限。二、基本未定式極限例9解步驟:二、基本未定式極限步驟:例10解二、基本未定式極限例11解例12解二、基本未定式極限練習(xí)：二、基本未定式極限洛必達(dá)法則

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4泰勒公式及其應(yīng)用目錄二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用舉例一、泰勒公式的建立當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)x=x0時(shí)，是比高階的無(wú)窮小.附近的函數(shù)值或描繪曲線f(x)在一點(diǎn)P(x0,f(x0))附近的形狀時(shí),我們希望找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式函數(shù)近似表示f(x)且當(dāng)一、泰勒公式的建立假定f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到這樣,對(duì)Pn(x)

求各階導(dǎo)數(shù),然后分別代入以上等式得即得(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：一、泰勒公式的建立把所求得的系數(shù)代入得其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且據(jù)此重復(fù)使用洛必達(dá)法則，可推得高階無(wú)窮小一、泰勒公式的建立時(shí)，是比高階的無(wú)窮小.即當(dāng)Rn(x)于是f(x)可表示其中是較的高階無(wú)窮小.一、泰勒公式的建立定理

泰勒(Taylor)中值定理有①其中②則對(duì)于任一

如果f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，其中

一、泰勒公式的建立公式①稱為f(x)按(x-x0)的冪展開(kāi)的公式②稱為拉格朗日型余項(xiàng).

n

階泰勒公式.

二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式上述公式

稱為f(x)的麥克勞林(Maclaurin)公式.在泰勒公式中令則有：其中其中

公式

稱為拉格朗日型余項(xiàng).

公式

稱為佩亞諾型余項(xiàng)

.二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式故例1

求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開(kāi)式.所以二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式令n=2m-1，于是有例2

求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開(kāi)式.所以令n=2m，于是有二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式類似地,可得二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式

二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式例4

利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限.

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)的性態(tài)與作圖（2）目錄二、漸近線三、函數(shù)圖形的描繪一、凹凸性一、凹凸性問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意點(diǎn)的切線位于弧的下方圖形上任意點(diǎn)的切線位于弧的上方一、凹凸性

(1)若恒有

是（向上）凸的;(2)若恒有

是（向上）凹的;一、凹凸性定理2

如果

一、凹凸性

例1求曲線的凹凸區(qū)間。解當(dāng)x<0時(shí)，y

>0,所以曲線在(

,0]上是凹?。划?dāng)x>0時(shí)，y

<0,所以曲線在[0,+

)上是凸弧。于是，曲線的凹區(qū)間為(

,0]，凸區(qū)間為[0,+

)。一、凹凸性

一、凹凸性

一、凹凸性例2求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)令得

二、漸近線1.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:二、漸近線2.垂（鉛）直漸近線例如二、漸近線例題