專題四-第2講-空間中的平行與垂直

第2講空間中的平行與垂直自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1．(2012·浙江)設(shè)l是直線，α、β是兩個不同的平面A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定，用特例法．設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l，又因為l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時l在平面β內(nèi)，因此C錯誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此D錯誤．答案B2．(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE證明(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B所以CC1⊥A1F又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F考題分析空間線面位置關(guān)系的判定與證明是高考的必考考點，多以選擇題與解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，解答高考題時，推理過程不完整是失分的重要原因，需引起特別注意．網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：線線、線面的平行與垂直【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點．(1)求證：BD⊥平面CDE；(2)求證：GH∥平面CDE；(3)求三棱錐D－CEF的體積．[審題導(dǎo)引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；(3)變換頂點，求VC－DEF.[規(guī)范解答](1)證明∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明∵G是DF的中點，又易知H是FC的中點，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設(shè)Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，∴BC＝2，BD＝eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×2×h＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)，即點C到平面DEF的距離是eq\f(\r(3),2)，∴VD－CEF＝VC－DEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).【規(guī)律總結(jié)】線線、線面位置關(guān)系證法歸納(1)證線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換．(2)證線面平行常用的兩種方法：一是利用線面平行的判定定理，把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；二是利用面面平行的性質(zhì)，把證線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．(3)證線面垂直常用的方法：一是利用線面垂直的判定定理，把證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直；另外還要注意利用教材中的一些結(jié)論，如：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面等．【變式訓(xùn)練】1．(2012·山東實驗中學(xué)一診)如圖，在幾何體ABCDEP中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝2BE＝4eq\r(2).(1)證明：BD∥平面PEC；(2)若G為BC上的動點，求證：AE⊥PG.證明(1)連接AC交BD于點O，取PC的中點F，連接OF，EF，∵EB∥PA，且EB＝eq\f(1,2)PA，又OF∥PA，且OF＝eq\f(1,2)PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四邊形EBOF為平行四邊形，∴EF∥BD.又∵EF?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC.(2)連接BP，∵eq\f(EB,AB)＝eq\f(BA,PA)＝eq\f(1,\r(2))，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，PA?平面APEB，∴平面ABCD⊥平面APEB，∵BC⊥AB，平面ABCD∩平面APEB＝AB，∴BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∵G為BC上的動點，∴PG?平面PBC，∴AE⊥PG.考點二：面面平行與垂直【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．(1)求證：DM∥平面APC；(2)求證：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－BCM的體積．[審題導(dǎo)引](1)只要證明MD∥AP即可，根據(jù)三角形中位線定理可證；(2)證明AP⊥BC；(3)根據(jù)錐體體積公式進(jìn)行計算．[規(guī)范解答](1)證明由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，所以VM－DBC＝eq\f(1,3)×S△BCD×MD＝eq\f(1,3)×2eq\r(21)×5eq\r(3)＝10eq\r(7).【規(guī)律總結(jié)】面面平行與垂直的證明技巧在立體幾何的平行關(guān)系問題中，“中點”是經(jīng)常使用的一個特殊點，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點”，連“中點”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關(guān)系的根本．在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結(jié)論是線面垂直．【變式訓(xùn)練】2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.證明(1)在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)如圖，連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF?平面ABCD，所以BF⊥平面PAD.又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.考點三：平面圖形的折疊問題【例3】(2012·南京模擬)在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線段BC的中點，E、F為線段AC的三等分點(如圖1)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連接B′C(如圖2)．圖1圖2(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′－ADC的體積；(2)記線段B′C的中點為H，平面B′ED與平面HFD的交線為l，求證HF∥l；(3)求證：AD⊥B′E.[審題導(dǎo)引](1)解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊前后的線面位置關(guān)系求得B′到平面ADC的距離，可利用線面垂直求得；(2)線面平行?線線平行；(3)線面垂直?線線垂直．[規(guī)范解答](1)在直角△ABC中，D為BC的中點，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等邊三角形．取AD中點O，連接B′O，所以B′O⊥AD.因為平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O?平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為BC的中點，所以AC＝eq\r(3)，B′O＝eq\f(\r(3),2).所以S△ADC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4).所以三棱錐B′－ADC的體積為V＝eq\f(1,3)×S△ADC×B′O＝eq\f(1,8).(2)證明因為H為B′C的中點，F(xiàn)為CE的中點，所以HF∥B′E.又HF?平面B′ED，B′E?平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因為HF?平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.(3)證明由(1)知，B′O⊥AD.因為AE＝eq\f(\r(3),3)，AO＝eq\f(1,2)，∠DAC＝30°，所以EO＝eq\r(AE2＋AO2－2AE·AOcos30°)＝eq\f(\r(3),6).所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.又B′O?平面B′EO，EO?平面B′EO，B′O∩EO＝O，所以AD⊥平面B′EO.又B′E?平面B′EO，所以AD⊥B′E.【規(guī)律總結(jié)】解決翻折問題的注意事項(1)解決與翻折有關(guān)的幾何問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些量改變、哪些量不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口．(2)把平面圖形翻折后，經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中去解決．【變式訓(xùn)練】3．如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E、F分別為AD和BC上的點，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的形狀，使AD＝AE.(1)求證：BC∥平面DAE；(2)求四棱錐D－AEFB的體積．解析(1)證明∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E，∴平面CBF∥平面DAE.又BC?平面CBF，∴BC∥平面DAE.(2)取AE的中點H，連接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.又DH?平面DAE，∴EF⊥DH.∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝eq\r(3).∴DH⊥平面AEFB.則四棱錐D－AEFB的體積V＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2×2＝eq\f(4\r(3),3).名師押題高考【押題1】已知直線a、b與平面α、β，且b⊥α，則下列命題中正確的是①若a∥α，則a⊥b；②若a⊥b，則a∥α；③若b∥β，則α⊥β；④若α⊥β，則b∥β.A．①③ B．②④C．①④ D．②③解析命題①，若a∥α，過直線a作一平面γ，使得α∩γ＝c，則由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，又因為b⊥α，c?α，所以b⊥c，故有a⊥b，所以該命題為真；命題②，若a⊥b，b⊥α，則直線α與平面α的位置關(guān)系有兩種：a?α或a∥α，故該命題為假；命題③，若b∥β，則過直線b作一平面δ，使得δ∩β＝d，則由線面平行的性質(zhì)定理可得b∥d，又b⊥α，所以d⊥α，因為d?β，所以由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故該命題為真；命題④，若α⊥β，b⊥α，則直線b與平面β的位置關(guān)系有兩種：b?β或b∥β，故該命題為假．綜上，①③為真命題，故選A.答案A[押題依據(jù)]線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內(nèi)容，在高考試題中通常會有一道解答題和一道選擇題或填空題，主要考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大．【押題2】如圖，在三棱錐A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，BC＝eq\r(2)，D、E分別為AB、OB的中點．(1)求證：CO⊥平面AOB.(2)在線段CB上是否存在一點F，使得平面DEF∥平面AOC？若存在，試確定F的位置；若不存在，請說明理由．解析(1)證明因為AO⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，即△AOC與△AOB為直角三角形．又因為∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，所以O(shè)B＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC為直角三角形．所以CO⊥BO，又因為AO∩BO＝O，所以CO⊥平面