中南大學(xué) 數(shù)學(xué)建模 lingo matlab 優(yōu)化建模 數(shù)模培訓(xùn)論文 評(píng)價(jià)系統(tǒng)

答卷編號(hào)（參賽學(xué)校填寫）：答卷編號(hào)（競(jìng)賽組委會(huì)填寫）：論文題目：（1題）參賽隊(duì)員1.鄭巧霞專業(yè)、班級(jí)04級(jí)生物科學(xué)2.云春鳳專業(yè)、班級(jí)04級(jí)生物科學(xué)3.徐江龍專業(yè)、班級(jí)04級(jí)醫(yī)學(xué)信息管理公平的競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)摘要數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽吸引了眾多的大學(xué)生、研究生、甚至中學(xué)生的參加，越來(lái)越多的人開始關(guān)心競(jìng)賽評(píng)卷的公平性。本篇論文針對(duì)答卷編號(hào)加密解密、評(píng)閱答卷分配、評(píng)分一致性檢驗(yàn)方法、分?jǐn)?shù)調(diào)整方法、以及其他一些問(wèn)題給出了比較具體的解決方法，并給出了例子，對(duì)這些方法進(jìn)行了驗(yàn)證。對(duì)于答卷編號(hào)的加密解密，選用對(duì)稱性加密解密算法，給出加密解密的算法和流程圖（圖1-1、1-2）以及算法正確性的證明，并對(duì)題中給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行了加密和解密計(jì)算（見附錄一），對(duì)結(jié)果做了簡(jiǎn)要的分析和說(shuō)明。對(duì)于試卷的分配，建立一個(gè)以圓周為基礎(chǔ)的分配圖模型，采用評(píng)委分配和參賽隊(duì)分配兩個(gè)分配算法，并且結(jié)合實(shí)例對(duì)算法進(jìn)行檢驗(yàn)，給出試卷分配表格（見附錄二）。對(duì)于評(píng)分一致性、公正性評(píng)價(jià)及相應(yīng)調(diào)整問(wèn)題，采用誤差分析的方法，對(duì)評(píng)價(jià)過(guò)程進(jìn)行前向計(jì)算，對(duì)調(diào)整過(guò)程進(jìn)行逆向計(jì)算。通過(guò)參數(shù)調(diào)整，對(duì)模擬數(shù)據(jù)得到的評(píng)價(jià)和調(diào)整進(jìn)行分析，對(duì)評(píng)委評(píng)分的尺度誤差和不公平現(xiàn)象都給出了較好評(píng)價(jià)，分?jǐn)?shù)調(diào)整結(jié)果使答卷分?jǐn)?shù)趨于一致性，在一定程度上減少了尺度誤差和不公平現(xiàn)象。關(guān)鍵字：對(duì)稱加密算法公平性評(píng)價(jià)誤差分析尺度誤差一、問(wèn)題重述數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽吸引了眾多的大學(xué)生、研究生甚至中學(xué)生的參與，越來(lái)越多的人關(guān)心競(jìng)賽評(píng)卷的公平性?，F(xiàn)今大多數(shù)的評(píng)卷工作是這樣進(jìn)行的：先將答卷編成密號(hào)，評(píng)委由各參賽學(xué)校（20-50所）派出，按不同的題目分成幾個(gè)題組，每個(gè)題組由M個(gè)評(píng)委組成，評(píng)閱N份答卷，每份答卷經(jīng)L個(gè)評(píng)委評(píng)閱，評(píng)委對(duì)每份答卷給出等級(jí)分（A+，A，A-，B+，B，B-，C+，C，C-，D），如果L個(gè)評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)基本一致，就給出這份答卷的平均分，否則需討論以達(dá)成一致（其中M=5-10，N=60-200，L=3-5）。需要解決以下問(wèn)題：1．有A,B,C,D四個(gè)題目，P（P≥M）所學(xué)校參賽，給出一種答卷編號(hào)加密和解密的數(shù)學(xué)公式方法（其中題號(hào)為明號(hào)）；要求方法簡(jiǎn)單易算、可隨意變換且保密性能好并對(duì)方法給出分析。2．每個(gè)題組的M個(gè)評(píng)委來(lái)自不同學(xué)校，給出一種評(píng)閱答卷分配的數(shù)學(xué)公式方法，要求回避本校答卷，并且每個(gè)評(píng)委評(píng)閱的答卷盡可能廣泛，并滿足某些特殊的要求。3．給出評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法，該方法要求對(duì)每個(gè)評(píng)委的公平性給出評(píng)價(jià)（某評(píng)委分?jǐn)?shù)普遍給的偏高或低屬于尺度偏差，不應(yīng)算作不公平，可在下面的問(wèn)題中調(diào)整）。4．給出最終的分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算公式。該公式要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平”，及尺度偏差。對(duì)可能出現(xiàn)的“不公平”構(gòu)造例子并說(shuō)明方法。5．對(duì)評(píng)卷中的其他問(wèn)題（如采用百分制還是等級(jí)分，一份答卷由幾個(gè)評(píng)委評(píng)閱可以滿足既經(jīng)濟(jì)又公平，等等）提出看法和根據(jù)。6．假定有35所學(xué)校298個(gè)參賽隊(duì)參賽，數(shù)據(jù)如附表。其中：數(shù)字前兩位代表學(xué)校，甲組選做A，B題；乙組選做C，D題；25名評(píng)委所屬的學(xué)校編號(hào)為：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30。每份試卷經(jīng)四位評(píng)委評(píng)閱，編號(hào)為15，22的只容許評(píng)C，D題，編號(hào)為26的只容許評(píng)A，B題，編號(hào)為1，4，6，12，16的評(píng)委要求評(píng)A題，編號(hào)為2，5，7，10的評(píng)委要求評(píng)B題；編號(hào)為24的評(píng)委要求評(píng)C題，編號(hào)為29的評(píng)委要求評(píng)D題。其余按所在學(xué)校的甲、乙組別及個(gè)人的要求安排。要求對(duì)問(wèn)題1，2給出具體的算法及結(jié)果。對(duì)問(wèn)題3，4，5給出模擬數(shù)據(jù)再進(jìn)行分析和運(yùn)算。二、問(wèn)題假設(shè)學(xué)校與參賽隊(duì)的序號(hào)等同于卷子序號(hào)；每份卷子經(jīng)四位評(píng)委評(píng)閱，共298份答卷，每份答卷被評(píng)閱四遍，因此把298份答卷看成份，把答卷分配到評(píng)委手中；參賽的學(xué)校數(shù)要大于每個(gè)題組的評(píng)委數(shù)；評(píng)閱結(jié)果用十分制，，并等級(jí)換算成，A=9，，，，，，，，三、符號(hào)說(shuō)明變量符號(hào)C：答卷編號(hào)（明文）K：密鑰，且是一個(gè)全局密鑰，即對(duì)所有編號(hào)加密都需要的確定密鑰E：答卷編號(hào)被加密后的最終密文函數(shù)符號(hào)f(x,y)：按對(duì)應(yīng)字符位相加，將x、y按字符位相加g(x,y)：按位異或，將x、y按二進(jìn)制位異或，并獲得它們作用的結(jié)果rand：偽隨機(jī)函數(shù)，能獲得一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)，作用相當(dāng)于一個(gè)局部密鑰h(x,y)：將x、y兩個(gè)字符序列按一定規(guī)律串接M：評(píng)委人數(shù)N：參賽隊(duì)數(shù)L：每份答卷所需的評(píng)委數(shù)I：每位評(píng)委的評(píng)卷份數(shù):每一位評(píng)委評(píng)的試卷份數(shù)E：每一組中評(píng)委數(shù)：尺度偏差：不公平偏差：評(píng)分誤差：模擬數(shù)據(jù)中評(píng)委i對(duì)答卷j評(píng)分：模擬數(shù)據(jù)答卷j分?jǐn)?shù)的期望值θ：公平性標(biāo)準(zhǔn)取值d：控制尺度偏差調(diào)整范圍的系數(shù)四、問(wèn)題分析4.1問(wèn)題一：答卷編號(hào)加密和解密關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)：明文：需要被加密的試卷編號(hào)全局密鑰：對(duì)所有編號(hào)加密都要用到的密鑰，全局密鑰和明文可以適當(dāng)組合成中間明文局部密鑰：對(duì)中間明文加密時(shí)用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生的密鑰局部密文：中間明文被加密后的密文最終密文：局部密文和局部密鑰適當(dāng)組合而形成明文和密文的限定：明文和密文的字符集只限定在10個(gè)數(shù)字字符和52個(gè)大小寫英文字母，在算法中它們的二進(jìn)制表示分別為數(shù)字的二進(jìn)制和ASIIC碼二進(jìn)制，例如2的二進(jìn)制是0010（前面適當(dāng)添加0），A的二進(jìn)制是010000014.2問(wèn)題二：答卷分配按照附表中的提示，以A組為例，共有95個(gè)參賽者，共有14個(gè)可以評(píng)判A卷的評(píng)委，這里分配學(xué)校代碼分別為1、3、4、6、9、11、12、13、16的9個(gè)評(píng)委評(píng)A組的試卷。對(duì)于該問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是：1、確定每一個(gè)評(píng)委評(píng)閱幾份答卷。因?yàn)槊總€(gè)題組由M個(gè)評(píng)委組成，評(píng)閱N份答卷，每份答卷經(jīng)L個(gè)評(píng)委評(píng)閱，所以一個(gè)評(píng)委平均應(yīng)該評(píng)閱I=（N*L）/M份答卷。應(yīng)該通過(guò)調(diào)整N，L，M的值使I接近整數(shù)，以便于建模和求解。2、如何將同一個(gè)學(xué)校的參賽者和評(píng)委分開。即評(píng)委不能評(píng)閱自己學(xué)校學(xué)生的答卷。3、以及如何讓每一個(gè)評(píng)委盡量評(píng)閱廣泛的答卷。譬如對(duì)于一個(gè)評(píng)委來(lái)說(shuō)，他應(yīng)該盡量多批幾個(gè)學(xué)校的答卷。4.3問(wèn)題三和問(wèn)題四：尺度偏差、不公平性的評(píng)價(jià)及相應(yīng)調(diào)整（一）尺度偏差和不公平性評(píng)價(jià)設(shè)評(píng)委i對(duì)答卷j評(píng)分為，模擬數(shù)據(jù)j卷期望值為，評(píng)分誤差為。由三部分組成：(1)隨機(jī)偏差；(2)尺度偏差；(3)不公平性偏差即假設(shè)：評(píng)委i只對(duì)少數(shù)答卷存在不公平偏差=取置信水平，作總體評(píng)分誤差期望（0）的區(qū)間估計(jì)，未知置信區(qū)間為[]：第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱試卷的平均分：第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱試卷的標(biāo)準(zhǔn)差若認(rèn)為不存在顯著尺度偏差，否則認(rèn)為存在顯著尺度偏差。因?yàn)槿舨还叫云畈伙@著，是公平性標(biāo)準(zhǔn)取值。若不公平性偏差比較顯著。（二）不公平性和尺度偏差調(diào)整對(duì)于不公平性顯著的答卷分?jǐn)?shù)令進(jìn)行調(diào)整對(duì)于顯著尺度偏差的評(píng)委的評(píng)卷分?jǐn)?shù)，如果則令進(jìn)行調(diào)整其中,為控制尺度偏差調(diào)整范圍的系數(shù)。4.4對(duì)評(píng)卷系統(tǒng)完善分析對(duì)于評(píng)卷系統(tǒng)我們要注意這么幾個(gè)問(wèn)題：1采用的評(píng)分制度，是百分制還是等級(jí)制；2一份答卷由幾位評(píng)委評(píng)閱既比較公平又節(jié)省時(shí)間。采用百分制比較好，劃分得比較細(xì)，這樣評(píng)價(jià)準(zhǔn)確又比較公平。對(duì)于評(píng)委已知給的范圍是E=3～5位，現(xiàn)在把兩邊的范圍擴(kuò)大到E=2～6位，假設(shè)；，其中：i個(gè)評(píng)委評(píng)閱試卷的平均分：i個(gè)評(píng)委評(píng)閱試卷的標(biāo)準(zhǔn)差取置信度=0.1E=3時(shí)置信區(qū)間=E=4時(shí)置信區(qū)間=E=5時(shí)置信區(qū)間=E=6時(shí)置信區(qū)間=五、模型建立和求解5.1模型一的建立與求解加密算法：算法流程如圖1-1所示：加密算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式：E=h(g(f(C,K),rand),rand)注：表達(dá)式中的兩個(gè)rand在同一個(gè)表達(dá)式中的值是一樣的，即在對(duì)某一個(gè)編號(hào)加密后產(chǎn)生局部密文，再將這個(gè)rand——局部密鑰——和局部密文按一定方式串接解密算法：臨時(shí)變量tempRand：從密文中解密出的局部密鑰tempEnco：從密文中解密出的局部密文解密算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式：tempRand=h-1(E,0)tempEnco=h-1(E,1)C=f-1(g(tempRand,tempEnco),K)試卷編號(hào)（明文）試卷編號(hào)（明文）按字符相加全局密鑰由系統(tǒng)默認(rèn)的或者由管理密鑰的人給出按二進(jìn)制位相異或中間明文局部密文局部密鑰由偽隨機(jī)函數(shù)rand產(chǎn)生最終密文按字符交錯(cuò)排列圖1-1加密流程圖采用該算法的理由加密算法大體上分為兩大類：對(duì)稱加密算法和非對(duì)稱加密算法，它們對(duì)應(yīng)的加密算法被稱為單密鑰加密算法和公鑰加密算法。非對(duì)稱加密算法的出現(xiàn)要晚于對(duì)稱加密算法，且非對(duì)稱加密算法一般情況下要比對(duì)稱加密算法安全。非對(duì)稱加密算法有如此強(qiáng)的安全性，但是沒(méi)有采用它，原因有如下幾點(diǎn)：⑴非對(duì)稱加密算法復(fù)雜，它主要用于對(duì)安全性要求極高的領(lǐng)域，雖說(shuō)對(duì)這個(gè)評(píng)卷系統(tǒng)編號(hào)加密后的保密性要好，但它的保密性是相對(duì)的，它的這些密文只需要給閱卷人員看到，且能保證在短時(shí)間內(nèi)和沒(méi)有計(jì)算設(shè)備的情況下不能被破譯；⑵非對(duì)稱加密算法一般用于帶有通信過(guò)程的領(lǐng)域，而該對(duì)閱卷系統(tǒng)編號(hào)加密后密文是不需要進(jìn)行傳輸?shù)模床粫?huì)有通信過(guò)程；⑶非對(duì)稱加密算法適合對(duì)大批量數(shù)據(jù)進(jìn)行加密，而該閱卷系統(tǒng)需要對(duì)有限的幾位編號(hào)進(jìn)行加密，即被加密的數(shù)據(jù)量較?。恢膶?duì)稱加密算法有很多，例如：DES，DES3，RC4等等，之所以沒(méi)采用它們是因?yàn)榭紤]到題目中要求該加密算法簡(jiǎn)單易算，而典型的對(duì)稱加密算法一般都比較麻煩。算法的正確性該算法的核心是：用隨機(jī)密鑰的二進(jìn)制表示和明文的二進(jìn)制表示進(jìn)行異或操作算法作用后，產(chǎn)生的明文與密文之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：明文與密文是一對(duì)多的函數(shù)關(guān)系，即一個(gè)明文可以對(duì)應(yīng)多個(gè)密文，但是一個(gè)密文只能對(duì)應(yīng)一個(gè)明文，具體的證明過(guò)程如下命題所示。試卷編號(hào)（明文）試卷編號(hào)（明文）按字符相減全局密鑰由系統(tǒng)默認(rèn)的或者由管理密鑰的人給出中間明文按二進(jìn)制位相異或局部密文局部密鑰密文按字符交錯(cuò)排列圖1-2解密流程圖命題A若明文C1=C2，且局部密鑰rand1≠rand2，則最終密文E1≠E2。證明結(jié)論顯然，因?yàn)樽罱K密文=局部密文和局部密鑰的排列，所以局部密鑰rand1≠rand2，則必有最終密文E1≠E2命題B若明文C1≠C2，則最終密文E1≠E2。證明（反證法）假設(shè)有兩個(gè)的最終密文E1和E2，且E1=E2，它們對(duì)應(yīng)的局部密文和局部密鑰分別為e1、key1和e2、key2則根據(jù)關(guān)系：最終密文=局部密文和局部密鑰的排列有：若E1=E2，則e1=e2，且key1=key2，又因?yàn)閑i=g(Ci’,keyi)，其中Ci’是Ci跟全局密鑰作用后的中間形式，g為二進(jìn)制按位異或函數(shù)。則由e1=e2和key1=key2知C1’=C2而這與條件C1≠C2矛盾，所以假設(shè)不正確，所以命題B正確。命題C若密文E1=E2，則必有明文C1=C2證明證明方法同上。命題D算法的安全性隨明文的長(zhǎng)度而增加證明命題正確性亦顯然，因?yàn)樗惴▓?zhí)行過(guò)程中，局部密鑰的長(zhǎng)度等于明文的長(zhǎng)度，所以明文越長(zhǎng)，局部密鑰越長(zhǎng)，安全性就越高算法運(yùn)行的數(shù)據(jù)見附錄一。5.2模型二的建立與求解在模型的建立和求解過(guò)程中，從評(píng)委的設(shè)置和參賽隊(duì)的安排兩方面考慮，具體如下：設(shè)置評(píng)委這里建立了一個(gè)圓周，將圓周平均分成N份，每一份代表一個(gè)參賽隊(duì)的編號(hào)（參賽隊(duì)的分配方法會(huì)在后面闡述）。以圓心為頂點(diǎn)，作一個(gè)圓心角，該圓心角的角度為（N*L）/M（圖2-1中的角AOB），所對(duì)的圓周上的參賽隊(duì)編號(hào)作為一個(gè)評(píng)委評(píng)閱的試卷數(shù)，這里的計(jì)算為（95×4）/9,結(jié)果為42.22，為了方便計(jì)算，取42。如圖2—1：圖2-1由于考慮到評(píng)委的工作量應(yīng)該平均，所以每一位評(píng)委對(duì)應(yīng)的圓心角都應(yīng)該相等。將評(píng)委之間錯(cuò)開一個(gè)相位差N/M（即圖2-2中的角AOC）?？梢杂?jì)算出角AOB是角AOC的L倍。假設(shè)L為4，則弧AC上放置11個(gè)試卷編號(hào)。圖2-2圖中陰影部分為兩個(gè)評(píng)委對(duì)應(yīng)的圓心角，弧AB上的答卷由評(píng)委1評(píng)閱，弧CD上的答卷由評(píng)委2評(píng)閱，弧CB上的答卷由評(píng)委1和評(píng)委2共同批閱。以此類推，按照上面的方法將評(píng)委先分配到圓周上，如圖2-3。圖2-3注意到先前的計(jì)算涉及到取整，弧FG，GH，HI，IA上的試卷數(shù)并不是11，而是10。這樣圓周上才剛好是11*5+10*4=95個(gè)參賽隊(duì)。即是說(shuō)評(píng)委并沒(méi)有平均評(píng)閱42份試卷，而是實(shí)際上是評(píng)委AE，BF評(píng)閱了44份試卷，評(píng)委CG，ID評(píng)閱了43份試卷，評(píng)委DH，ID評(píng)閱了42份試卷，評(píng)委EI，GB評(píng)閱41份試卷,評(píng)委FA評(píng)閱40份試卷，在實(shí)際中這是合理的。分配參賽隊(duì)參賽隊(duì)的分配是在圖2-3的基礎(chǔ)上，按照“評(píng)委不能評(píng)閱本校學(xué)生的試卷”和“評(píng)委評(píng)閱試卷盡量廣泛”的原則進(jìn)行的參賽隊(duì)分配分兩種情況，第一種是該學(xué)校出評(píng)委，第二種是該學(xué)校不出評(píng)委。第一種，以學(xué)校編號(hào)為01的評(píng)委和試卷為例說(shuō)明分配方法。學(xué)校編號(hào)為01并且做A組題的試卷有13份，分別是：0101，0104，0105，0108，0111，0113，0115，0117，0118，0121，0126，0127，0130。為了滿足“評(píng)委不能評(píng)閱本校學(xué)生的試卷”，把這13份試卷分配到該評(píng)委評(píng)閱不到的弧上，即圖2-1的優(yōu)弧部分，如圖2-4：圖2-4下面以01學(xué)校的答卷為例，具體按如下方法分配：計(jì)算01學(xué)校的答卷人數(shù)P，確定01評(píng)委對(duì)應(yīng)“外弧”上的答卷份數(shù)T，令C=T/P；從01外弧起點(diǎn)開始，找到一個(gè)空位，按順時(shí)針?lè)较蛎扛鬋放置一份答卷；直到所有答卷分配完為止。如果原位置上已經(jīng)有答卷，并且沒(méi)有超過(guò)“外弧”范圍，則按順時(shí)針?lè)较蛘业降谝粋€(gè)空位放之；如果超過(guò)了“外弧”，則返回2）。第二種是沒(méi)有出評(píng)委的學(xué)校的答卷的分配，在第一種答卷分配完成之后將剩余的答卷以A為起點(diǎn)，順時(shí)針排放，每份答卷與前一份答卷相距L/N弧度，即每個(gè)評(píng)委所對(duì)應(yīng)的圓心角度，若該位置已經(jīng)有答卷，則按順時(shí)針找到一個(gè)空位放之。按照這種方法生成A組的參賽隊(duì)編號(hào)和評(píng)委的對(duì)照表在附錄中。通過(guò)對(duì)該表的分析，證明該方法很好的滿足了“評(píng)委不能評(píng)閱本校學(xué)生的試卷”和“評(píng)委評(píng)閱試卷盡量廣泛”的原則。該方法在計(jì)算機(jī)上很好實(shí)現(xiàn)，需要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一個(gè)環(huán)行指針鏈表，來(lái)模擬圓周，鏈表的每一項(xiàng)指向一個(gè)字符串?dāng)?shù)組，數(shù)組中存儲(chǔ)學(xué)生編號(hào)和評(píng)委編號(hào)。算法不再累述。5.3模型三的建立和求解步驟一：取模擬數(shù)據(jù)按正態(tài)分布，隨機(jī)生成298個(gè)數(shù)據(jù)，再把每個(gè)數(shù)據(jù)作為均值隨機(jī)生成四個(gè)數(shù)據(jù)作為一組，并也服從正態(tài)分布，每組數(shù)據(jù)作為每一份答卷四位評(píng)委給的分?jǐn)?shù)。步驟二：求每位評(píng)委評(píng)閱卷子的尺度偏差第i個(gè)評(píng)委的偏差為其中為評(píng)委i評(píng)閱的答卷數(shù)。步驟三：求第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱第j份答卷分?jǐn)?shù)與此卷平均分的偏差=步驟四：第i個(gè)評(píng)委的尺度偏差顯著性評(píng)價(jià)取置信水平=1-0.1，對(duì)第i個(gè)評(píng)委的尺度偏差進(jìn)行顯著性分析。步驟五：第i個(gè)評(píng)委公平性評(píng)價(jià)取對(duì)第i評(píng)委的第j答卷進(jìn)行公平性評(píng)價(jià)，評(píng)委i的公平性評(píng)價(jià)函數(shù)若=0認(rèn)為第i個(gè)評(píng)委是公平；若認(rèn)為第i個(gè)評(píng)委不公平，并且評(píng)價(jià)函數(shù)越大越不公平。5.4模型四的建立和求解步驟一：不公平性的調(diào)整：如果則對(duì)第i個(gè)評(píng)委評(píng)價(jià)第j份卷子的分?jǐn)?shù)做調(diào)整，把作為新值，即;對(duì)第j份卷子四位評(píng)委給的平均分做調(diào)整，即：.步驟二：尺度偏差的調(diào)整根據(jù)第i評(píng)委尺度偏差是否顯著判斷，若顯著，則對(duì)第i評(píng)委的評(píng)卷分?jǐn)?shù)進(jìn)行調(diào)整。取d=1.5若把第j份卷子第i個(gè)評(píng)委給的分?jǐn)?shù)做相應(yīng)調(diào)整，記結(jié)果調(diào)整前后比較公平性標(biāo)準(zhǔn)置信水平為=1-0.1調(diào)整范圍系數(shù)d=1.5調(diào)整前：A卷結(jié)果輸出：006A0405A016A0909A018A1405A044A1108A047A1401A052A0801A086A0127A089A0609A092A0907AB卷結(jié)果輸出：011B1109B342410(03)06(05)06(07)08(09)7.50023B0603B262904(05)07(07)07(09)07(10)6.25025B1003B332404(05)07(17)07(28)07(30)6.25D卷結(jié)果輸出：D3202D090310(11)06(13)06(22)08(29)7.50各分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)：01020304050607080910042120128198216221143082030012不公平性調(diào)整：評(píng)委3評(píng)閱答卷不公平分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷B1109原來(lái)分?jǐn)?shù)10調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：668評(píng)委5評(píng)閱答卷不公平分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷B0603原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：777答卷B1003原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：777評(píng)委11評(píng)閱答卷不公平分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷D3202原來(lái)分?jǐn)?shù)10調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：668尺度偏差調(diào)整：評(píng)委16評(píng)閱答卷尺度偏差分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷A0127原來(lái)分?jǐn)?shù)1調(diào)整為：2其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：232答卷A0405原來(lái)分?jǐn)?shù)6調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：788答卷A0609原來(lái)分?jǐn)?shù)1調(diào)整為：2其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：232答卷A0801原來(lái)分?jǐn)?shù)3調(diào)整為：5其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：664答卷A0907原來(lái)分?jǐn)?shù)1調(diào)整為：2其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：223答卷A0909原來(lái)分?jǐn)?shù)6調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：697答卷A1108原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：5其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：565答卷A1401原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：5其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：556答卷A1405原來(lái)分?jǐn)?shù)6調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：697調(diào)整后：A卷結(jié)果輸出：004A0405A010A0909A013A1405A037A0801A040A1108A041A1401A085A0127A086A0609A087A0907AB卷結(jié)果輸出：019B0603B262907(05)07(07)07(09)07(10)7.00020B1003B332407(05)07(17)07(28)07(30)7.00022B1109B342407(03)06(05)06(07)08(09)6.75D卷結(jié)果輸出：010D3202D090307(11)06(13)06(22)08(29)6.75各分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)：01020304050607080910039123127194219218150082030010圖1：調(diào)整前后分?jǐn)?shù)分布圖5.5模型五的建立與求解從公平性考慮，在置信度不變的條件下，置信區(qū)間越小就越接近于平均值從經(jīng)濟(jì)上考慮每份答卷評(píng)閱次數(shù)越多，越浪費(fèi)時(shí)間，經(jīng)濟(jì)性越差，因此我們建立目標(biāo)函數(shù)a是公平性參數(shù)，b是經(jīng)濟(jì)性參數(shù)表5.1：答卷不同評(píng)閱次數(shù)目標(biāo)函數(shù)比較表4.5882.4392.4152.6402.9414.8042.3922.2832.4432.6865.0202.3462.1512.2252.4315.4512.2521.8871.8531.921從圖表上可以看出E=4時(shí)是目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，每題組評(píng)委的最佳人數(shù)是4個(gè)人。作一份試卷分配評(píng)委時(shí)對(duì)應(yīng)的公平性和經(jīng)濟(jì)性的曲線圖，橫軸是評(píng)委人數(shù)，公平性是一個(gè)近似的指數(shù)函數(shù)曲線，經(jīng)濟(jì)性是一條一次函數(shù)，如圖5-1所示：圖5-1曲線很直觀，酬勞隨著評(píng)委人數(shù)的增加而增加，公平性在起初評(píng)委數(shù)增加時(shí)快速增加，隨著評(píng)委的繼續(xù)增加，公平性增加緩慢，直到趨近一個(gè)常數(shù)。需要找到一個(gè)最合理的評(píng)委人數(shù)，使L/N最小。如圖5-2：圖5-2圖中m平行于n，并且與l相切，D為切點(diǎn)，D的橫坐標(biāo)A。A就是要找的點(diǎn)。不妨給出曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)：l：y=xa其中，a為總結(jié)歷年評(píng)委人數(shù)和公平性得出的參數(shù)，a∈（0，1），x∈（0，+∞）的整數(shù)n：y=Px，x∈（0，+∞）的整數(shù)計(jì)算A點(diǎn)橫坐標(biāo)的過(guò)程是對(duì)曲線l求導(dǎo)，l’=axa-1它應(yīng)該等于P，即axa-1=P，解得x=,對(duì)x取整就是最佳評(píng)委人數(shù)。這里說(shuō)的最佳是相對(duì)意義上的，比如當(dāng)對(duì)評(píng)閱試卷的公平性要求很高時(shí)，可以適當(dāng)增加評(píng)委的人數(shù)，用“經(jīng)濟(jì)”來(lái)提高“公平”程度。經(jīng)計(jì)算x=4，與由表5.1得出的結(jié)果一致。5.6特殊要求下的分配方案根據(jù)評(píng)委的特殊要求評(píng)A卷評(píng)委編號(hào)：1，4，6，12，16，26評(píng)B卷評(píng)委編號(hào)：2，5，7，10，26評(píng)C卷評(píng)委編號(hào)：15，22，24評(píng)D卷評(píng)委編號(hào)：15，22，29表5.6.1：有特殊要求評(píng)委所在學(xué)校各類答卷數(shù)目與各類答卷總數(shù)比例表124571012A13/954/956/957/956/954/954/95B17/104/1074/1074/1075/1076/1076/107C0/500/500/502/500/500/500/50D0/460/460/462/460/460/460/461516222426296A2/952/950/950/950/950/956/95B3/1075/1070/1070/1070/1070/1074/107C0/500/507/503/504/504/500/50D0/460/463/464/464/464/460/46剩下無(wú)要求的評(píng)委來(lái)自編號(hào)3，8，9，11，13，14，17，20，21，28，30的學(xué)校。把這11所學(xué)校中各類答卷數(shù)目與各類答卷總數(shù)比值求出，見表5.6.2表5.6.2389101113A3/957/956/954/954/957/95B3/10713/1074/1076/1076/1078/107C0/500/500/500/500/500/50D0/460/460/460/460/460/46141720212830A5/955/950/950/950/950/95B6/1072/1070/1070/1070/1070/107C2/500/503/502/503/502/50D2/460/464/466/463/463/46根據(jù)評(píng)委要求對(duì)比例表進(jìn)行調(diào)整：對(duì)所有評(píng)委的比例進(jìn)行調(diào)整，若評(píng)委不能評(píng)閱某類答卷，則令其比例為1，見表5.6.3表5.6.312345678910111213A13/9513/956/9516/9517/956/9514/954/957/95B14/1073/10714/10715/10713/1074/1076/1076/10711C1101111001011D1101111001011141516172021222426282930A5/9512/955/9500110010B6/107112/10700110010C2/500103/502/507/503/5013/5012/50D2/460104/466/463/46113/464/463/46對(duì)于所有評(píng)委，對(duì)他們所在學(xué)校中A，B，C，D題分別所占各自題型的比例大小進(jìn)行比較，選取最小者，作為評(píng)委分配初始方案。表5.612345678910111213A13/9513/956/9516/9517/956/9514/954/957/95B14/1073/10714/10715/10713/1074/1076/1076/10718/107C1101111001010D1101111001010141516172021222426282930A5/9512/955/9500110010B6/107112/10700110010C2/500103/502/507/503/5013/5012/50D2/460104/466/463/46113/464/463/46表5.6.5A14612162021262830B257102021262830C241438911131517D222938911131517將（A+B）：(C+D)=14：11與分配比例（A+B）：(C+D)=17：8進(jìn)行比較，需在CD組調(diào)整3人到AB組，比較CD組評(píng)委對(duì)AB答卷的比例，在每位評(píng)委對(duì)AB答卷的比例中查找最小值（不能為1）并標(biāo)記表5.6.638911131417222429A3/957/956/954/957/955/955/95111B3/10713/1074/1076/1078/1076/1072/107111選取最小的三個(gè)（3、9、17）調(diào)入AB組的相應(yīng)組（B組）中，作為評(píng)委分配方案表表5.6.7A14612162021262830B2357910172021262830C24148111315D22298111315按照比例A：B：C：D=8：9：4：4分配評(píng)委，我們選取一種作為最終評(píng)委分配方案表表5.6.8A1461216202126B2357910172830C2414815D22291311步驟二：四個(gè)題組的試卷分配方案A題分配：編號(hào)為1，4，6，12，16的學(xué)校分別含有答卷份數(shù)為13，6，6，4，2，這些試卷均不能分配給各自本校評(píng)委，其余學(xué)校A題都可以分配給這5位評(píng)委。為了試卷能盡量平均分配到每個(gè)評(píng)委手中，按避免評(píng)閱本校卷子原則，先把編號(hào)為1，4，6，12，16學(xué)校的A題分配給8位評(píng)委，再把其他學(xué)校的A題平均分配給這8個(gè)人。每份卷子要經(jīng)過(guò)4位評(píng)委審閱，因此還要保證每份A卷分配到4位不同的評(píng)委手中。B題分配：標(biāo)號(hào)為2，5，7，10，3，9，17號(hào)學(xué)校分別含有B卷的份數(shù)為4，4，5，6，3，4，2，這些試卷均不能分給各自本校評(píng)委，其他學(xué)校B卷都可以分配給這7位評(píng)委，B卷分配處理過(guò)程與A卷類似。C題分配：評(píng)閱C卷有4位評(píng)委，恰巧每一份試卷都可以被4位評(píng)委評(píng)閱，但14號(hào)，24號(hào)學(xué)校分別有2份，3份C題不能由本校評(píng)委評(píng)閱，只能由其它的3位評(píng)委評(píng)閱，而其余學(xué)校的C題均可由這4位評(píng)委評(píng)閱，這樣就會(huì)出現(xiàn)評(píng)C題的老師只能完全評(píng)閱50-5=45份卷子，其余5份C卷還要借助評(píng)閱D卷的評(píng)委共同合作。D題分配：與C題情況一樣，D題評(píng)委只能完全評(píng)閱46-3-4=39份D卷，其余7份D卷需要借助評(píng)閱C題的評(píng)委共同合作。所以14號(hào)學(xué)校的2份C題，24號(hào)學(xué)校的3份C題和22號(hào)學(xué)校3份D題，29號(hào)學(xué)校4份D題放在一起交錯(cuò)分配給評(píng)閱C題和D題的評(píng)委，共同完成評(píng)閱。交錯(cuò)分配要保證：交錯(cuò)試卷份數(shù)盡量少；因D題被完全評(píng)閱39份，C題被完全評(píng)閱45份，C題完全評(píng)閱數(shù)量比D題完全評(píng)閱數(shù)量多45-39=6份。所以評(píng)閱C題的每位評(píng)委分配卷數(shù)比評(píng)閱D題每位評(píng)委分配卷數(shù)大約少6份；24號(hào)評(píng)委不分配C卷，29號(hào)評(píng)委不分配D卷。六、模型評(píng)價(jià)6.1模型一的評(píng)價(jià)該加密算法簡(jiǎn)單易算，用隨機(jī)密鑰的二進(jìn)制表示和明文的二進(jìn)制表示進(jìn)行異或操作。算法作用后，產(chǎn)生的明文與密文是一對(duì)多的函數(shù)關(guān)系，即一個(gè)明文可以對(duì)應(yīng)多個(gè)密文，但是一個(gè)密文只能對(duì)應(yīng)一個(gè)明文，并且明文越長(zhǎng)，局部密鑰越長(zhǎng)，安全性就越高。6.2模型二的評(píng)價(jià)建立的圓周模型能夠在滿足回避本校答卷，評(píng)委評(píng)閱答卷廣泛等要求下，較好的完成評(píng)委和參賽隊(duì)之間的匹配問(wèn)題。以A組為例求出的解充分驗(yàn)證了解法的可行性。6.3模型三的評(píng)價(jià)公平性標(biāo)準(zhǔn)取得不一樣，對(duì)于公平性評(píng)判有影響。公平性標(biāo)準(zhǔn)取得小，則被判斷不公平的評(píng)委比較多，；公平性標(biāo)準(zhǔn)取得大，則判斷不公平的評(píng)委比較少公平性標(biāo)準(zhǔn)置信水平為=1-0.1調(diào)整范圍系數(shù)d=1.5公平性評(píng)價(jià)：見附錄3.1公平性標(biāo)準(zhǔn)置信水平為=1-0.1調(diào)整范圍系數(shù)d=1.5公平性評(píng)價(jià)：見附錄3.26.4模型四的評(píng)價(jià)選擇合適的參數(shù)，對(duì)于不公平和尺度偏差的調(diào)整，是每份試卷給分更加合理化。例如：公平性標(biāo)準(zhǔn)置信水平為=1-0.1調(diào)整范圍系數(shù)d=1.5尺度偏差分析：評(píng)委16評(píng)分存在顯著尺度偏差-0.5121偏差指標(biāo)正負(fù)0.2522180.5011180.7507141.0003091.2502021.5001011.7500012.000000公平性評(píng)價(jià)：評(píng)委3對(duì)于答卷B1109的評(píng)閱分?jǐn)?shù)不公平，評(píng)分如下：10668評(píng)委3的不公平性指數(shù)：1評(píng)委5對(duì)于答卷B0603的評(píng)閱分?jǐn)?shù)不公平，評(píng)分如下：4777評(píng)委5對(duì)于答卷B1003的評(píng)閱分?jǐn)?shù)不公平，評(píng)分如下：4777評(píng)委5的不公平性指數(shù)：2評(píng)委11對(duì)于答卷D3202的評(píng)閱分?jǐn)?shù)不公平，評(píng)分如下：10668評(píng)委11的不公平性指數(shù)：1不公平性調(diào)整：評(píng)委3評(píng)閱答卷不公平分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷B1109原來(lái)分?jǐn)?shù)10調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：668評(píng)委5評(píng)閱答卷不公平分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷B0603原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：777答卷B1003原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：777評(píng)委11評(píng)閱答卷不公平分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷D3202原來(lái)分?jǐn)?shù)10調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：668尺度偏差調(diào)整：評(píng)委16評(píng)閱答卷尺度偏差分?jǐn)?shù)調(diào)整：答卷A0127原來(lái)分?jǐn)?shù)1調(diào)整為：2其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：232答卷A0405原來(lái)分?jǐn)?shù)6調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：788答卷A0609原來(lái)分?jǐn)?shù)1調(diào)整為：2其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：232答卷A0801原來(lái)分?jǐn)?shù)3調(diào)整為：5其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：664答卷A0907原來(lái)分?jǐn)?shù)1調(diào)整為：2其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：223答卷A0909原來(lái)分?jǐn)?shù)6調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：697答卷A1108原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：5其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：565答卷A1401原來(lái)分?jǐn)?shù)4調(diào)整為：5其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：556答卷A1405原來(lái)分?jǐn)?shù)6調(diào)整為：7其它三個(gè)分?jǐn)?shù)為：697七、參考文獻(xiàn)[1]計(jì)算機(jī)密碼學(xué)，盧開澄，清華大學(xué)出版社[2]C程序設(shè)計(jì)教程（第三版），譚浩強(qiáng)，清華大學(xué)出版社[3]運(yùn)籌學(xué)手冊(cè)，S.E.愛(ài)爾瑪拉巴，上?？萍汲霭嫔鏪4]概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)，中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社附錄1：加密解密附錄2：答卷分配1評(píng)委(共48份答卷)A0201A0203A4評(píng)委(共48份答卷)A0101A0104A6評(píng)委(共48份答卷)A0101A0111A12評(píng)委(共48份答卷)A0101A0108A16評(píng)委(共47份答卷)A0101A0105A20評(píng)委(共47份答卷)A0104A0105A21評(píng)委(共47份答卷)A0104A0105A26評(píng)委(共47份答卷)A0104A0105A2評(píng)委(共48份答卷)B0103B0107B0110B0116B0120B0123B0125B0302B0304B0306B0402B0407B0501B0601B0605B0702B0704B0709B0803B0806B0808B0812B0818B0820B0901B0905B1006B1010B1102B1106B1202B1204B1208B1305B1309B1311B1315B1404B1408B1502B1505B1602B1607B1708B1709B1802B1804B18083評(píng)委(共48份答卷)B0103B0107B0112B0116B0120B0123B0128B0202B0204B0205B0206B0402B0407B0501B0503B0510B0601B0607B0704B0709B0803B0806B0808B0815B0818B0820B0901B1007B1010B1102B1109B1202B1204B1208B1306B1309B1311B1315B1406B1408B1502B1505B1603B1607B1708B1802B1804B19025評(píng)委(共48份答卷)B0103B0109B0112B0116B0120B0124B0128B0202B0204B0205B0306B0402B0407B0603B0607B0701B0704B0803B0806B0811B0815B0818B0820B0901B0910B1003B1007B1009B1010B1105B1109B1202B1204B1209B1306B1309B1311B1403B1406B1408B1502B1601B1603B1607B1708B1802B1807B19027評(píng)委(共48份答卷)B0106B0109B0112B0116B0122B0124B0128B0204B0302B0306B0402B0409B0501B0503B0509B0510B0603B0607B0803B0807B0811B0815B0818B0904B0905B1001B1007B1009B1010B1101B1105B1109B1202B1205B1209B1306B1309B1314B1403B1406B1408B1503B1601B1603B1607B1803B1807B19029評(píng)委(共48份答卷)B0102B0106B0109B0112B0119B0122B0124B0128B0204B0205B0206B0302B0306B0406B0409B0501B0503B0509B0510B0603B0607B0805B0807B0811B0815B0819B1001B1007B1009B1101B1105B1109B1203B1205B1209B1306B1310B1314B1403B1406B1409B1503B1601B1603B1801B1803B1807B190210評(píng)委(共47份答卷)B0102B0106B0109B0114B0119B0122B0124B0129B0202B0302B0304B0406B0409B0503B0509B0510B0603B0701B0708B0802B0805B0807B0811B0816B0819B0904B0905B1101B1105B1110B1203B1205B1209B1308B1310B1314B1403B1407B1409B1503B1601B1606B1708B1709B1801B1803B180717評(píng)委(共47份答卷)B0102B0106B0110B0114B0119B0122B0125B0129B0304B0406B0409B0509B0605B0701B0702B0708B0802B0805B0807B0812B0816B0819B0904B0905B0910B1001B1003B1006B1009B1101B1106B1110B1203B1205B1305B1308B1310B1314B1404B1407B1409B1503B1602B1606B1801B1803B180828評(píng)委(共47份答卷)B0102B0107B0110B0114B0119B0123B0125B0129B0206B0304B0406B0601B0605B0701B0702B0708B0709B0802B0805B0808B0812B0816B0819B0904B0910B1001B1003B1006B1102B1106B1110B1203B1208B1305B1308B1310B1315B1404B1407B1409B1505B1602B1606B1709B1801B1804B180830評(píng)委(共47份答卷)B0103B0107B0110B0114B0120B0123B0125B0129B0202B0205B0206B0407B0601B0605B0702B0704B0708B0709B0802B0806B0808B0812B0816B0820B0901B0910B1003B1006B1102B1106B1110B1204B1208B1305B1308B1311B1315B1404B1407B1502B1505B1602B1606B1709B1802B1804B180824評(píng)委(共47份答卷)C0512C0513C14評(píng)委(共50份答卷)C0512C0513C2001C2002C2