第四章 模型3研究函數(shù)y=Asin(ωxφ)的性質(zhì)與圖象模型 （含解析）2024年高考數(shù)學三輪沖刺考點歸納

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型3

研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象【問題背景】函數(shù)的性質(zhì)與圖象是高考的高頻考點，其考查角度豐富，常見考點有單調(diào)性、零點、最值、交點、切線等，設問形式可以從代數(shù)表達式和函數(shù)圖象兩個方向展開．【解決方法】【典例1】（2024四川眉山仁壽第一中學9月摸底測試）函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則下列說法正確的是（）A．的最小正周期為B．C．在上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象【套用模型】第一步：整體審題，分析題目條件．根據(jù)圖中已知的特殊點的具體情況，引入合適的解題切入點.由函數(shù)圖象可得，函數(shù)在處取得最小值，為，函數(shù)圖象過點且為單調(diào)遞減區(qū)間上的零點．【規(guī)避易錯】必須意識到是單調(diào)遞減區(qū)間上的零點，即“下降零點”，不可直接令第二步：翻譯條件，得出函數(shù)解析式．由可得．由對稱軸和平衡點相鄰可得，的最小正周期，所以．由函數(shù)在處取得最小值，得，又，所以，所以．第三步：深研條件，根據(jù)題中條件與解析式，逐一判斷各選項．對于A，函數(shù)的最小正周期，A錯誤．對于B，，B錯誤．對于C，因為，所以，而，則，即，則，所以在上不單調(diào)，C錯誤．對于D，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，D正確．第四步：得出結(jié)論故選D．【典例2】（2024湖南長沙一中9月開學考試）已知函數(shù)，先將該函數(shù)圖象向右平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是__________．【套用模型】第一步：整體審題題中所給函數(shù)的表達式顯然不能直接變換，肯定需要先化簡變形，然后再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行解題.第二步：分析條件，利用條件，明確函數(shù)解析式對原函數(shù)變形化簡得，由函數(shù)圖象向右平移個單位長度得的圖象，根據(jù)橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變得．第三步：深研條件，根據(jù)題中條件與解析式，解決問題．由于函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，【關鍵提醒】題干中只說了函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，并沒有說是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減，因此接下來要分類討論則①，可得解得；【易錯】在的條件下，，務必要考慮到兩數(shù)最小也要大于，與之最相近的單調(diào)區(qū)間是不完整的，必須單獨進行討論②，可得，解得，又，解得，結(jié)合，得，則．第四步：得出結(jié)論．綜上，的取值范圍為．【典例3】（2024江西省名校9月聯(lián)合測評｜多選）已知函數(shù)的圖象的任意一條對稱軸與其相鄰的零點之間的距離為，若將曲線向左平移個單位長度得到的圖象關于軸對稱，則下列說法正確的是（）A．B．直線為曲線的一條對稱軸C．若在上單調(diào)遞增，則D．曲線與直線有且僅有5個交點【套用模型】第一步：整體審題題中所給函數(shù)的表達式無需化簡變形，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行解題，任意一條對稱軸與其相鄰的零點之間的距離為四分之一周期為解題切入點.第二步：分析條件，利用題中條件，明確函數(shù)解析式．由題意得（為的最小正周期），故．由的圖象向左平移個單位長度得的圖象，由該函數(shù)圖象關于軸對稱，得，又，故，故．第三步：深研條件，根據(jù)題中條件與解析式，逐一判斷各選項．由的解析式知，A正確．因為，為的最小值，所以直線為曲線的一條對稱軸，B正確．易知在上單調(diào)遞增，故，C錯誤．如圖2，直線與曲線均過點，且直線與曲線均關于該點中心對稱，圖2【會思考】直線與三角函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，主要利用數(shù)形結(jié)合思想，直線剛好經(jīng)過點，該點為三角函數(shù)圖象的對稱中心，故利用對稱性只需考慮一半的交點個數(shù)即可對于，當時，，當時，，由對稱性可知曲線與直線有且僅有5個交點，D正確．第四步：得出結(jié)論故選ABD．一、單選題（2023·陜西漢中·二模）1．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．（23-24高三上·天津·期末）2．已知函數(shù)，其圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，且直線是其一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到一個奇函數(shù)的圖象（22-23高三上·四川成都·期中）3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸B．函數(shù)的圖象的對稱中心為，C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數(shù)的圖象（2023·云南紅河·模擬預測）4．已知函數(shù)其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)在上有且僅有1個零點D．函數(shù)在上為減函數(shù)（22-23高三上·天津南開·階段練習）5．已知函數(shù)(，)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數(shù)是偶函數(shù).關于函數(shù)給出下列命題：①函數(shù)的圖象關于直線軸對稱；②函數(shù)的圖象關于點中心對稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞減；④把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模缓笤賹⑺玫膱D象向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象.其中真命題共有（）個A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（2023·廣東肇慶·模擬預測）6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到一個奇函數(shù)的圖象B．的圖象的一條對稱軸可能為直線C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的圖象關于點對稱（22-23高三上·江蘇揚州·開學考試）7．已知向量，函數(shù)，則（

）A．若的最小正周期為，則的圖象關于點對稱B．若的圖象關于直線對稱，則可能為C．若在上單調(diào)遞增，則D．若的圖象向左平移個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象，則的最小值為（23-24高三上·河南·開學考試）8．已知函數(shù)圖象的任意一個對稱中心到與之相鄰的對稱軸的距離為，且將該圖象向左平移個單位長度得到的圖象關于軸對稱，則下列說法正確的是（

）A．，B．直線為的圖象的一條對稱軸C．若在單調(diào)遞增，則的最大值為D．對任意，關于的方程總有奇數(shù)個不同的根三、填空題（2023·貴州畢節(jié)·模擬預測）9．已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象先向左平移個應位長度，再將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是．四、解答題（22-23高三上·貴州貴陽·階段練習）10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．（22-23高三下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象.（i）若，當時，的值域為，求實數(shù)m的取值范圍；（ii）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.（22-23高三上·重慶云陽·期中）12．已知函數(shù)（其中）的最小周期為．（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，若關于的方程在區(qū)間上有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)函數(shù)圖形得到與，即可求出，再根據(jù)函數(shù)過點，代入函數(shù)解析式，求出即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意，，故，故，故，將點代入可得，因為，解得；故，則，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C2．C【分析】利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小正周期和解析式，可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項.【詳解】對于A，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；，，因為直線是函數(shù)的一條對稱軸，則，得，因為，則，所以，.對B，當時，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B錯；對C，，故點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，C對；對D，由題意可知，，不為奇函數(shù)，D錯.故選：C.3．B【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象，求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)區(qū)間，奇偶性逐項進行檢驗即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，最小正周期為，所以.將點代入函數(shù)解析式中，得.又因為，所以，故.對于A，令，，即，，令，則，故A錯誤；對于B，令，則，，所以，，即函數(shù)的圖象的對稱中心為，，故B正確；對于C，令，解得，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，該函數(shù)不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：.4．D【分析】根據(jù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離求出周期，則A錯誤；根據(jù)周期公式求出，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性求出，這樣可得函數(shù)解析式，代入點可知B錯誤；根據(jù)和可知C錯誤；由得，可知D正確.【詳解】∵函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，∴，，故A錯誤；由得，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后的圖象對應的解析式為，其圖象關于原點對稱，所以為奇函數(shù)，所以，所以，所以，因為，所以，，于是．∵，∴B錯誤；∵，，故C錯誤；由得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查了由三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，考查了正弦函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱中心、零點、單調(diào)性，屬于基礎題.5．C【分析】根據(jù)已知題意可知，則有，根據(jù)求出，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)還可得到的值；由上述分析可得函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)就能判斷各個命題的真假，從而得解.【詳解】因為函數(shù)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，因為，所以，則，，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，,因為，所以，所以函數(shù)，令，，所以，，令k=-1，可得①正確；因為，，可知函數(shù)圖象的對稱點為，，當時，對稱點為，故②正確；令，，解得，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故③正確；把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，解析式變?yōu)?，然后再將圖象向左平移個單位長度后，解析式變?yōu)?，得不到函?shù)的圖象，故④錯誤.綜上，①②③是真命題.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題是一道有關三角函數(shù)的題目，掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵.6．ABD【分析】先由題目所給圖象求出的解析式，再利用三角函數(shù)的平移及奇偶性對A選項進行判斷，利用三角函數(shù)的對稱軸對B選項進行判斷，利用三角函數(shù)的單調(diào)性對C選項進行判斷，利用三角函數(shù)的對稱中心對D選項進行判斷，即可得到答案.【詳解】由圖知，函數(shù)的周期滿足：，解得將點代入函數(shù)的解析式：，解得，對A，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到，此時為奇函數(shù)，故A正確；對B，當時，，此時是的對稱軸，故B正確；對C，的單調(diào)增區(qū)間滿足：，即單調(diào)增區(qū)間為，，當時，增區(qū)間為，當時，增區(qū)間為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C錯誤；對D，當時，，故D正確.故選：ABD.7．ABC【分析】由平面向量數(shù)量積運算，結(jié)合三角恒等變換將函數(shù)化簡為，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得解．【詳解】由向量，，，則:對于選項A，,令，則，，則的圖像關于點對稱，故A正確，對于選項B，即選項令，則為方程的解，即，，即可能為，即選項B正確；對于選項C，令，解得的單調(diào)遞增區(qū)間為，又在上單調(diào)遞增，則，即，即，即選項C正確，對于選項D，將的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像對應解析式為，由為偶函數(shù)，則，即，，則的最小值為，即選項D錯誤；故選：ABC．8．ABD【分析】首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，再利用整體代入的方法判斷函數(shù)的對稱軸，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求的值，最后利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對稱性，判斷實數(shù)根的個數(shù).【詳解】A.由題意可知，，得，，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)，因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以,得，因為，所以

，所以，故A正確；B.當時，，所以直線為的圖象的一條對稱軸，故B正確；C.當時，，由題意可知，，，，得，，只有當有解，得，所以的最大值為，故C錯誤；D.，所以函數(shù)關于對稱，而也關于對稱，所以兩個函數(shù)圖象必有一個交點，若有其他交點，交點也關于對稱，所以交點個數(shù)是奇數(shù)個，方程總有奇數(shù)個不同的根，故D正確.故選：ABD9．【分析】利用降冪公式化簡函數(shù)，根據(jù)圖象平移可得函數(shù)，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.【詳解】，由題意，，當時，由，則，由在上單調(diào)，則，可得不等式組，解得；或，可得不等式組，解得，由，解得，由，則，則.綜上，的取值范圍為.故答案為：.10．（1）；（2）．【分析】（1）利用最值求出，根據(jù)得出，再由特殊值求出即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得出，再由正弦函數(shù)在上單調(diào)即可求解.【詳解】解：（1）由圖可知，．的最小正周期，所以．因為，所以，，，．又，所以，故．（2）由題可知，．當時，．因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，解得．故的取值范圍為．11．(1)(2);【分析】(1)由圖象的最小值求得，函數(shù)的最小正周期求得，再求得，即可求出函數(shù)的解析式；(2)（i）利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換，先求出，再由，求出的范圍，即可得出的值域為，m的取值范圍；（ii）利用恒成立將不等式轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，設