北師大初中數(shù)學八下《1.2.直角三角形》教案 （三）

解直角三角形教案【課標要求】1．掌握直角三角形的判定、性質(zhì)．2．能用面積法求直角三角形斜邊上的高．3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解決簡單的實際問題．4．理解銳角三角函數(shù)定義（正弦、余弦、正切、余切），知道四個三角函數(shù)間的關(guān)系．5．能根據(jù)已知條件求銳角三角函數(shù)值．6．掌握并能靈活使用特殊角的三角函數(shù)值．7．能用三角函數(shù)、勾股定理解決直角三角形中的邊與角的問題．8．能用三角函數(shù)、勾股定理解決直角三角形有關(guān)的實際問題．【課時分布】解直角三角形部分在第一輪復(fù)習時大約需要5課時，其中包括單元測試，下表為課時安排（僅供參考）．課時數(shù)內(nèi)容1直角三角形邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)、簡單的解直角三角形2解直角三角形的應(yīng)用2解直角三角形單元測試及評析【知識回顧】建模出數(shù)學圖形，再添設(shè)輔助線求解解直角三角形解直角三角形直角三角形的邊角關(guān)系建模出數(shù)學圖形，再添設(shè)輔助線求解解直角三角形解直角三角形直角三角形的邊角關(guān)系實際應(yīng)用已知一邊一銳角解直角三角形已知兩邊解直角三角形添輔助線解直角三角形直接構(gòu)建直角三角形已知斜邊一銳角解直角三角形已知一直角邊一銳角解直角三角形已知兩直角邊解直角三角形已知斜邊一直角邊解直角三角形2．基礎(chǔ)知識直角三角形的特征⑴直角三角形兩個銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑶直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；ABCABCD在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C＝90°；ABCacb⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DAABCacb銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c,則sinA=eq\f(a,c),cosA=eq\f(b,c),tanA=eq\f(a,b),cotA=eq\f(b,a)特殊角的三角函數(shù)值：（并會觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）sincostancot30°eq\f(1,2)錯誤！未找到引用源。eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)eq\r(3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)1160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)eq\f(\r(3),3)解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2．⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．⑶邊角之間的關(guān)系：sinA=,cosA=． tanA=,cotA=．⑷解直角三角形中常見類型：①已知一邊一銳角．②已知兩邊．③解直角三角形的應(yīng)用．2．能力要求例1在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于點D，求∠BCD的四個三角函數(shù)值．【分析】求∠BCD的四個三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清其定義，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一個內(nèi)角，根據(jù)定義，僅一邊BC是已知的，此時有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD和CD，二是把∠BCD轉(zhuǎn)化成∠A，顯然走第二條路較方便，因為在Rt△ABC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)定義即可求出答案．【解】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，DBCA∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝DBCA在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10，∴sin∠BCD=sinA=eq\f(BC,AB)=eq\f(4,5),cos∠BCD=cosA=eq\f(AC,AB)=eq\f(3,5),tan∠BCD=tanA=eq\f(BC,AC)=eq\f(4,3),cot∠BCD=cotA=eq\f(AC,BC)=eq\f(3,4)． 【說明】本題主要是要學生了解三角函數(shù)定義，把握其本質(zhì)，教師應(yīng)強調(diào)轉(zhuǎn)化的思想，即本題中角的轉(zhuǎn)換．（或可利用射影定理，求出BD、DC，從而利用三角函數(shù)定義直接求出）30°ABEDFCG60°例2如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C30°ABEDFCG60°【分析】求CE的長，此時就要借助于另一個直角三角形，故過點A作AG⊥CD，垂足為G，在Rt△ACG中，可求出CG，從而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的長．【解】過點A作AG⊥CD，垂足為點G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°=eq\f(CG,AG)，∴CG=6×eq\f(\r(3),3)=2eq\r(3)∴CD=2eq\r(3)+1.5,在Rt△CED中，sin60°=eq\f(CD,EC)，∴EC=eq\f(CD,sin60°)==4+eq\r(3)．答：拉線CE的長為4+eq\r(3)米．【說明】在直角三角形的實際應(yīng)用中，利用兩個直角三角形的公共邊或邊長之間的關(guān)系，往往是解決這類問題的關(guān)鍵．老師在復(fù)習過程中應(yīng)加以引導(dǎo)和總結(jié)．例3如圖，某縣為了加固長90米，高5米，壩頂寬為4米的迎水坡和背水坡，它們是坡度均為1∶0.5，橫斷面是梯形的防洪大壩，現(xiàn)要使大壩順勢加高1米，求⑴坡角的度數(shù)；⑵完成該大壩的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大壩需要的土方＝橫斷面面積×壩長；所以問題就轉(zhuǎn)化為求梯形ADNM的面積，在此問題中，主要抓住坡度不變，即MA與AB的坡度均為1∶0.5．ABCDMNEF【解】⑴∵i=tanB,即tanB=eq\f(1,0.5)=2，∴∠ABCDMNEF⑵過點M、N分別作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分別為E、F．由題意可知：ME＝NF＝5，∴eq\f(ME,AE)＝eq\f(1,0.5)，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4，∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝eq\f(1,2)(1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方為2.75×90=247.5(m3)．【說明】本題的關(guān)鍵在于抓住前后坡比不變來解決問題，坡度＝eq\f(垂直高度,水平距離)＝坡角的正切值，雖然2007年中考時計算器不能帶進考場，但學生應(yīng)會使用計算器，所以建議老師還是要復(fù)習一下計算器的使用方法．例4某風景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測得B在北偏東32°方向上，且量得B、C間距離為100米，根據(jù)上述測量結(jié)果，請你幫小明計算A、B之間的距離．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tans32°≈0.6249,cot32°≈1.600）【分析】本題涉及到方位角的問題，要解出AB的長，只要去解Rt△ADCCAB北D和CAB北D【解】過點C作CD⊥AB，垂足為D．由題知：∠=45°，∠=32°．在Rt△BDC中，sin32°=eq\f(BD,BC)，∴BD＝100sin32°≈52.99．cos32°=eq\f(CD,BC)，∴CD=100cos32°≈84.80．在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．∴AB=AD+BD≈138米．答：AB間距離約為138米．【說明】本題中涉及到方位角的問題，引導(dǎo)學生畫圖是本題的難點，找到兩個直角三角形的公共邊是解題的關(guān)鍵，教師在復(fù)習中應(yīng)及時進行歸納、總結(jié)由兩個直角三角形構(gòu)成的各種情形．例5在某海濱城市O附近海面有一股臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于該城市的東偏南70°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向西偏北25°的PQ的方向移動，臺風侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴張．(1)當臺風中心移動4小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米；又臺風中心移動t小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米．(2)當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風是否侵襲這座海濱城市？請說明理由(參考數(shù)據(jù)，)．【分析】⑴由題意易知．⑵先要計算出OH和PH的長，即可求得臺風中心移動時間，而后求出臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑，此圓半徑與OH比較即可．【解】⑴100；．⑵作OH⊥PQ于點H，可算得（千米），設(shè)經(jīng)過t小時時，臺風中心從P移動到H，則，算得（小時），此時，受臺風侵襲地區(qū)的圓的半徑為：（千米）＜141（千米）．∴城市O不會受到侵襲．【說明】本題是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形問題，對于此類問題常常要構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)知識來解決．例6如圖所示：如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA=100米，山坡坡度為eq\f(1,2)，（即tan∠PAB=eq\f(1,2)）且O、A、B在同一條直線上。求電視塔OC的高度以及所在位置點P的鉛直高度.（測傾器的高度忽略不計，結(jié)果保留）．CAB水平地面O山坡60°CAB水平地面O山坡60°45°PEF要求點P的鉛直高度，即求PE的長，由坡度i=1:2，可設(shè)PE=x,則AE＝2x.此時只要列出關(guān)于x的的方程即可.而此時要借助于45°所在的Rt△來解決.故過點P作PF⊥OC，垂足為F.在Rt△PCF中，由PF＝CF，得100+2x=100eq\r(3)–x,即可求得PE的長.【解】過點P作PF⊥OC，垂足為F.在Rt△OAC中,由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OAtan∠OAC=100過點P作PE⊥AB，垂足為E.由i=1:2,設(shè)PE=x,則AE＝2x.∴PF＝OE＝100+2x，CF＝100eq\r(3)–x.在Rt△PCF中,由∠CPF＝45°，∴PF＝CF,即100+2x=100eq\r(3)–x,∴x＝eq\f(100\r(3)-100,3),即PE=eq\f(100\r(3)-100,3)答：電視塔OC高為100eq\r(3)米.點P的鉛直高度為eq\f(100\r(3)-100,3)米【說明】本題是解直角三角形的應(yīng)用中又一類型，即解直角三角形時，當不能直接解出三角形的邊時，可設(shè)未知數(shù)，利用方程思想來解決，這是解決數(shù)學問題中常用的方法，溝通了方程與解直角三角形之間的聯(lián)系．【復(fù)習建議