2021年福建省中考數(shù)學(xué)-二次函數(shù)綜合題

2021年福建省中考數(shù)學(xué)

二次函數(shù)綜合題專練

1.如圖，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物

線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作PF_Lx軸于點(diǎn)F,G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.在平面直角坐標(biāo)系中拋物線經(jīng)過點(diǎn)4B、C,已知》(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖1,。為線段此上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)。，當(dāng)△仇步的面積最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)如圖2,拋物線頂點(diǎn)為E,軸于打點(diǎn)，〃是線段)上一動(dòng)點(diǎn)，M(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若N械=90°,

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直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

3.如圖，拋物線y=-/+6/c和直線交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)4在x軸上，點(diǎn)8在直線*=3上，直線x=3與

x軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)戶從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段48向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度沿線段以向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)只。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為方秒(t>0).以戶。為邊作矩形"曲帆使點(diǎn)修在直線x=3上.

①當(dāng)［為何值時(shí)，矩形尸刎的面積最小？并求出最小面積；

②直接寫出當(dāng)力為何值時(shí)，恰好有矩形"。/眼的頂點(diǎn)落在拋物線上.

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4.已知點(diǎn)戶(2,-3)在拋物線Z.：y=ax-lax^a^-k(.a,〃均為常數(shù)，且a/0)上，/■交y軸于點(diǎn)C,連接CA

(1)用a表示〃，并求人的對(duì)稱軸及Z■與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)/?經(jīng)過(3,3)時(shí)，求此時(shí)Z■的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).如圖，當(dāng)a<0時(shí)，若/■在點(diǎn)C,。之間的部分與線段小所圍成的區(qū)域

內(nèi)(不含邊界)恰有4個(gè)整點(diǎn)，求a的取值范圍；

(4)點(diǎn)"(用,%)，N(x2,y2)是2上的兩點(diǎn)，若當(dāng)*2》3時(shí)，均有必力力，直接寫出土的取值

范圍.

5.如圖①，直線y=-x-3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)民C,拋物線y=a/+6/c經(jīng)過8,C兩點(diǎn)，且與x軸的另一

交點(diǎn)為A(1,0).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖①，點(diǎn)戶在第三象限內(nèi)的拋物線上.

①連接AC,PB,PC,當(dāng)四邊形48%的面積最大時(shí)，求點(diǎn)戶的坐標(biāo)；

②在①的條件下，G為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)小艱4G取得最小值時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

5

(3)如圖②，。為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，。是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線加，8。分別交拋物線

的對(duì)稱軸于點(diǎn)必”.問：ZMCW是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

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6.如圖，拋物線y=一#/+￥x+相與X軸交于A6兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C,將直線AC

以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋90轉(zhuǎn)，交軸于點(diǎn)D,交拋物線于另一點(diǎn)E.直線AE的解析式為：y=—3》—也

33

(1)點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△尸的面積最大時(shí)，在線段AE上找一點(diǎn)G(不與AE重合)，使

EG+gGE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，并直接寫出/G+gGE的最小值；

⑵如圖，將ACD沿射線AE方向以每秒哀I個(gè)單位的速度平移，記平移后的AC。為△AC'。'，平移時(shí)間

為，秒，當(dāng)VAC'E為等腰三角形時(shí)，求，的值.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAOB是等腰直角三角形，NA0B=90°,點(diǎn)A(2,1).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、0、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

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(3)在(2)所求的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

3

8.如圖1,經(jīng)過原點(diǎn)0的拋物線y=ax，bx(a*0)與x軸交于另一點(diǎn)A(5,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點(diǎn)

B(2,t).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式;

(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C,滿足以B,0,C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線上，且NMB0=NAB0,在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,使得△POCsaMOB?若

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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9.如圖①已知拋物線y=ax?-3ax-4a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y的正半軸交于點(diǎn)

C,連結(jié)BC,二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.

(1)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，如圖②Q(m,0)是x的正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，與直線BC交于點(diǎn)M,與

拋物線交于點(diǎn)N,連結(jié)CN,將4CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.在圖②中探究：是否存在點(diǎn)Q,使得獷恰好落

在y軸上？若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10.已知，拋物線y=ax2+Z?x+c(a/0)經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A(h,k)(h豐0).

(1)當(dāng)h=1,k=2時(shí)，求拋物線的解析式；

(2)若拋物線了=次2(t/0)也經(jīng)過A點(diǎn)，求a與t之間的關(guān)系式；

(3)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線y=V-%上，且一2Wh<1時(shí)，求a的取值范圍.

11.已知，拋物線y=(a#=0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,拋物線上存在點(diǎn)B,使得aAOB是以A0為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)B的坐

標(biāo)：.

(3)如圖2,直線I經(jīng)過點(diǎn)C(0,-1),且平行與x軸，若點(diǎn)D為拋物線上任意一點(diǎn)(原點(diǎn)0除外)，直線D0交I

于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF_LI,交拋物線于點(diǎn)F,求證：直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G(0,1).

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圖1圖2

12.如圖，已知點(diǎn)A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),拋物線F：y=￡-2，n+川-2與直線x=-2交于點(diǎn)P.

(1)當(dāng)拋物線F經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求它的表達(dá)式；

(2)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為力，求力的最小值，此時(shí)拋物線F上有兩點(diǎn)(%,%),(々，見)，且王＜》2?一2,比較y

與＞2的大?。?/p>

(3)當(dāng)拋物線F與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

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參考答案

1,(1)y=-X2+2X+3；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)；(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(咨。)，*"占，0),(巨0).

2222

【解析】

【分析】

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（1）利用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）連接PC、PE,利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X,

-2X+6）,利用勾股定理表示出PC?和PE?,根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a,0）,表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可.

【詳解】

解：⑴.拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

一1一。+。=0b=2

解得，＜

一9+3。+c=0c

經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x?+2x+3；

h2

(2)如圖1,連接PC、PE,x=-丁=一一,八=1，當(dāng)x=l時(shí)，y=4,

2a2x(-1)

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,4）,設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n,

m+〃=4m--2

解得，〈

3m+?=0n=6

，直線BD的解析式為y=-2x+6,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-2x+6),

則PC2=x2+(3+2x-6)2,PE2=(x-1)2+(-2x+6)2,VPC=PE,

：.x+(3+2x-6)2=(x-1)2+(-2x+6)2,解得，x=2,則y=-2x2+6=2,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）；

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(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a,-a2+2a+3),

???以FM、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,AFM=MG,即12-a|=|-a?+2a+31,

當(dāng)2-a=-a?+2a+3時(shí)，整理得，a2-3a-1=0,解得，a=%43,

2

當(dāng)2-a=-(-a2+2a+3)時(shí)，整理得，a?-a-5=0,解得，a=1土亞',

2

二當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(海，。)，(咨0),(應(yīng)0),(國(guó)，0).

2222

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì).

2.【答案】(1)拋物線解析式為丫=-f+2x+3；

333

(2)當(dāng)。=［時(shí)，/\BDC的面積最大，此時(shí)P(不，—)；

222

(3)機(jī)的取值范圍為：-y</n<5.

4

【解析】(1)由y=+云+「經(jīng)過點(diǎn)A、8、C,A(-1,0),C(0,3),利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解

析式；

(2)首先令-，+2戈+3=0,求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)直線8c的解析式為)=區(qū)+〃，由待定系數(shù)法即可求得直線

1

8c的解析式，再設(shè)P(a,3-a),即可得-a+2a+3),即可求得PQ的長(zhǎng)，由S"OC=S“Z>LSMD8，即可

3327

得SMDC=-7(?--)2+—,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BOC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

228

3S

(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列出關(guān)系式機(jī)=(n--)2-然后根據(jù)”的取值得到最小值.

24

-l-b+c=0

【詳解】解：(1)由題意得:

。=3

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仿=2

解得：*

c=3

:.拋物線解析式為y=-X2+2A-+3；

(2)令-/+公+3=0,

?"?X1—-1,X2=3,

即B（3,0）,

設(shè)直線BC的解析式為y^kx+b',

b'=3

?,13左+少=0'

k=-1

解得：〈

b'=3

二直線BC的解析式為＞-=-x+3,

設(shè)尸（〃，3-6/）,則。（m-a+2a+3）9

；?PD=（-。~+2。+3）-（3-。）=-

?*S&BDC=SAPDLSAPDB

=—PD?a+—PD,（3-a）

32

=—（-4"+3。）

2

333

.??當(dāng)。=工時(shí)，△3OC的面積最大，此時(shí)2(三，-)；

22

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(3)由(1),y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

：.E(1,4),

設(shè)N(Ln),則09%,

取CM的中點(diǎn)Q（￡■，g），

,/NMNC=900,

1

:?NQ=QCM,

???4NQ2=CM2,

m

???NQ22=(1-—)

A4[(1-

35

整理得,m—n-3n+l,即m=(n-----)2------,

24

V0</7<4,

3

當(dāng)?上，"最小值=-—，〃=4時(shí)，M最小僦=5,

24

5

綜上，根的取值范圍為:-----</n<5.

4

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題、判別式的應(yīng)用

以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思

想的應(yīng)用.

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3.【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可;

(2)①分別用f表示PE、PQ、EQ,用/\PQEsAQNC表示NC及QN,列出矩形PQNM面積與r的函數(shù)關(guān)系

式問題可解；

②由①利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)分別等于兩個(gè)端點(diǎn)橫縱坐標(biāo)平均分的數(shù)量關(guān)系，表示點(diǎn)M坐標(biāo)，分別討論M、N、Q

在拋物線上時(shí)的情況，并分別求出f值.

【解答】解：(1)由已知，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為3

：A、B在y=x+l上

AA(-1,0),B(3,4)

把A(-1,0),8(3,4)代入y=-/+法+0得

f-l-b+c=0

I~9+3b+c=4

解得

(b=3

Ic=4

拋物線解析式為y=-/+3x+4；

(2)①過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E.

???直線y=x+l與x軸夾角為45°,尸點(diǎn)速度為每秒五個(gè)單位長(zhǎng)度

?1秒時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為(-1+f,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(3-2,,0)

.,.EQ=4-3f,PE=t

,/NPQE+NNQC=90°

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ZPQE+ZEPQ=9QQ

:.NEPQ=/NQC

：./\PQE^^QNC

.PQPE1

'*NQ'OC'T

，矩形PQNM的面積S=PQ，NQ=2Pd

,：PQ1=PE1+EQ2

.e.5=2(正2+⑷3t產(chǎn))2=20/-48什32

當(dāng)t=上四時(shí)，

2a5

S最小=20X(A)2-48X2+32=也

555

②由①點(diǎn)。坐標(biāo)為(3-2n0),P坐標(biāo)為(-1+f,力

/XPQESAQNC,可得NC=2EQ=8-6t

點(diǎn)坐標(biāo)為(3,8-6?)

由矩形對(duì)角線互相平分

.?.點(diǎn)M坐標(biāo)為(3r-1,8-5Z)

當(dāng)M在拋物線上時(shí)

8-5f=-(3f-1)2+3(3L1)+4

解得胃10-2枚或10+2小

99

當(dāng)點(diǎn)。到A時(shí)，。在拋物線上，此時(shí)f=2

當(dāng)N在拋物線上時(shí)，8-61=4

???,I——2—

3

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綜上所述當(dāng)r=2或衛(wèi)工乂2或竺也巨或2時(shí)，矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上.

399

4.解：(1);點(diǎn)戶(2,-3)在拋物線乙y=ar-2ax^^k(^,々均為常數(shù)且aWO)上,

-3=4a-4a+a+k,

/.k=-3-a；

拋物線/的對(duì)稱軸為直線x=-「善=1,即x=l；

2a

(2)???￡經(jīng)過點(diǎn)(3,3),

.?.9a-65+m■左=3,

■:k=-3-a,

/.a=2,k=-5

."的表達(dá)式為y=27-4x-3；

：y=2(%-1)2-5,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-5)；

(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-a-3),

???在點(diǎn)G尸之間的部分與線段"所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有5個(gè)整點(diǎn)，

：.2<-a-3W3,

-6Wa<-5；

(4)當(dāng)a>0時(shí)，￡23或t+lW-1,

-3或tW-2；

觀察圖象，此時(shí)有不符合條件的點(diǎn)使外》必，

故此情況舍去；

當(dāng)a<0時(shí)，1+1W3且t2-1,

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，-1WW2；

綜上所述，-lWtW2；

5.解：(1)在y=-x-3中，令x=0,得y=-3；令y=0,得x=-3.

：.B(-3,0),C(0,-3).

設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x+3)(x-1).

將點(diǎn)C(0,-3)代入，得a=l.

...拋物線的函數(shù)解析式為尸V+2x-3；

(2)①如圖1,過點(diǎn)P作皿x軸于點(diǎn)E,交比1于點(diǎn)F.

設(shè)點(diǎn)？的坐標(biāo)為(t,t2+2t-3),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(t,-i-3).

：.PF=-t-3-(/+2-3)=-t2-3t.

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112

，S四邊形麗=8優(yōu)+義,二5所.儂彳］"0C=y

?,?當(dāng)￡=~^時(shí),S四邊形^取得最大值.

...此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（得，。）；

②如圖2,在y軸上取一點(diǎn)0（0,/）,作直線四，過點(diǎn)C作”,附于7,連接尸G

在RtZU酸中,4g{OA2+OQ2={I?+份）2=丁,

：.sinZOAQ=—=J^,

AQ5

67=/G?返，

5

.?.尸田逅AG=P/GT,

5

根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)只G,7共線，且時(shí)，小噂■力。的值最小,

5

：直線40的解析式為y=-

又,：PTLAQ,

直線/T的解析式為y=2x-4-

4

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0）.

(3)。卅2V是定值.

如圖3,過點(diǎn)。作0/_Lx軸于點(diǎn)〃

?.FZLLx軸，

：.QH//ND.

：.ABQHs/\BND,△/.』0s△4Q〃

.HQ_BHDM_AD

"DN"BO'HQ"AH'

設(shè)點(diǎn)O的坐標(biāo)為（k,必+2k-3）,

貝lj止-A2-24+3,BH=3+k,AH=1-k.

???〃是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，

:.AD=Bg2.

--k2-2k+3=3+k------^_2_

DN-亍，-k2-2k+31-k

：.DN=2-2k,DM=2k+6.

:.D旅DN=2代6+2-24=8.

〃出ZW是定值，該定值為8.

第18頁共32頁

FG+；GE的最小值為生3.(2)￡或r=J藥或l=5-夜或

6.【答案】(1)點(diǎn)G的坐標(biāo)為

乙1，乙

，=5+后

【解析】

解：(1)過點(diǎn)E作/K_Lx軸于點(diǎn)”，交直線AE于點(diǎn)K(如答圖1),

過點(diǎn)。作OM，F(xiàn)K于點(diǎn)M.

(出20

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為X,——x2H——x+s/3

則點(diǎn)K的坐標(biāo)為

乎+“孚

:?Ss=SFAK-SFDK=^FK-AH-^FK-DN

=3FK(AH-DM)=3FKAO,

G,G2V3

------%?+-x+,

623

第19頁共32頁

1Q

?,?當(dāng)x==不時(shí)，S用有最大值.

2a2

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為

點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)Q,6尸_1后。于點(diǎn)2,

則NPEG=30，GP=-GE,FG+-GE^FG+GP.

22

過點(diǎn)尸作EQ的垂線，交AE于點(diǎn)G,此時(shí)/G+’GE的值最小,

2

，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為［^，一片

GE的最小值為史3.

212

(2)連接CC',過點(diǎn)C'作軸于點(diǎn)尸(如答圖2)

[-A/3

「?點(diǎn)?！淖鴺?biāo)為V3——t

<>

求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為劣一挈1

.3100/,

..AE---,AC=-t+4

33

第20頁共32頁

步事-%竽

①當(dāng)AC=EC'時(shí),

42,4240112，解得r=|.

-r+4=-r------，+——

3333

②當(dāng)AC'=AE時(shí),

g『+4=?,解得4=后/2=-后(舍去)

③當(dāng)AE=EC時(shí)，

竽='-苧+號(hào),解得戶5—血氏=5+低

綜上所述，當(dāng)AC'E為等腰三角形時(shí)，，=1或「=后或/=5—后或f=5+J萬

【點(diǎn)睛】

考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式等，難度較大.

57

7.【答案】(1)B(-1.2);(2)y=/X?—wX；⑶見解析.

66

【解析】(1)過A作ACLx軸于點(diǎn)C,過B作BDLx軸于點(diǎn)D,則可證明AACO絲△ODB,則可求得0D和BD

的長(zhǎng)，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(3)由四邊形ABOP可知點(diǎn)P在線段AO的下方，過P作「￡〃丫軸交線段OA于點(diǎn)E,可求得直線OA解析式，設(shè)

出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出PE的長(zhǎng)，進(jìn)一步表示出APOA的面積，則可得到四邊形ABOP的面

積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)如圖I,過A作AC，x軸于點(diǎn)C,過B作BDLx軸于點(diǎn)D,

第21頁共32頁

???△AOB為等腰三角形，

AAO=BO,

丁ZAOB=90°,

ZAOC+ZDOB=ZDOB+ZOBD=90°,

AZAOC=ZOBD,

SAACO和aODB中

ZAOC=ZOBD

<ZACO=ZODB

AO=BO

AAACO^AODB(AAS),

VA(2,1),

.\OD=AC=1,BD=OC=2,

AB(-1,2)；

(2);拋物線過O點(diǎn),

???可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,

5

a=—

4。+2b=1

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得〈，c，解得<6

a-b=2,7

b=——

6

57

經(jīng)過A、B、O原點(diǎn)的拋物線解析式為y=zx2-^x；

66

第22頁共32頁

(3)?..四邊形ABOP,

可知點(diǎn)P在線段OA的下方,

過P作PE〃y軸交AO于點(diǎn)E,如圖2,

設(shè)直線AO解析式為y=kx,

VA(2,1),

1

k=一

2

直線AO解析式為y=gx,

571、

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t2--t),則E(t,20,

66

1527、5,55、25

.?PE=-t-(—t--t)=--t—1="-(t-1)H---，

2666366

15、25

/.SAAOP=-PEx2=PE=--(t-1)2+-,

266

由A(2,1)可求得OA=OB=逐，

15

**?SAAOB=~AO*BO=—

__5x255_5/x210

?二S四邊形ABOP=SAAOB+SAAOP=_X(t-[)+y=——+彳，

5

'I—VO,

6

.?.當(dāng)t=l時(shí)，四邊形ABOP的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-L),

3

第23頁共32頁

綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(1，-；)?

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

三角形的面積以及方程思想等知識(shí).在(1)中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在(2)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,

在(3)中用t表示出四邊形ABOP的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中.

453345

8.【答案】(1)y=2x?-3x；(2)C(1,-1)；(3)(—,—)或(--,—).

64161664

【解析】

(1)VB(2,t)在直線y=x上，

；.t=2,

AB(2,2),

。=(三

4a+22a-2

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：［93，解得：C，

—a+—b=0b=-3

142i

拋物線解析式為y=2/一3x；

(2)如圖1,過C作CD〃y軸，交x軸于點(diǎn)E,交。B于點(diǎn)D,過B作BFJ_CD于點(diǎn)F,：點(diǎn)C是拋物線上第四象限

的點(diǎn)，

，可設(shè)C(t,2t2-3t),貝ljE(t,0),D(t,t),

AOE=t,BF=2-t,CD=t-(2t2-3t)=-2t2+4t,

,Ill,、2

??SAOBC=SACDO+SACDB=—CD?OE+—CD?BF=—(-2t+4t)(t+2-t)=-2t+4t,

222

VAOBC的面積為2,

A-2t2+4t=2,解得匕工2=1,

AC(1,-1)；

第24頁共32頁

圖1

(3)存在.設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N,

如圖2,

VB(2,2),

；.NAOB=/NOB=45°,

在4AOB和4NOB中，

VZAOB=ZNOB,OB=OB,ZABO=ZNBO,

.".△AOB^ANOB(ASA),

3

.?.ON=OA=一,

2

3

AN(0,

2

331

可設(shè)直線BN解析式為y=kx+-把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2=2k+；,解得匕一，

24

_13r[%=--

13

直線BN的解析式為+j-，聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得：42，解得X°或〈

02q>=245

y=2x-3xiy=——

1132

VC(1,-1),

NCOA=/AOB=45°,且B(2,2),

第25頁共32頁

??OB=2A/2，℃=^[^，

VAPOC^AMOB,

OMOBc

---=——=2,ZPOC=ZBOM,

OPoc

當(dāng)點(diǎn)p在第一象限時(shí)

,如圖3,過M作MG_Ly軸于點(diǎn)G,過P作PH_Lx軸于點(diǎn)H,如圖3

VZCOA=ZBOG=45°,

/.ZMOG=ZPOH,且/PHO=NMG。,

.,.△MOG^APOH,

OMMGOG2

~OP~~PH~~OH~

345

AMG=-,0G=—,

832

13145

..PH=-MG=—,0H=-0G=—,

216264

453、

AP—,—)

6416

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖4,過M作MGJ_y軸于點(diǎn)G,過P作PH，y軸于點(diǎn)H,

同理可求得PH=LMG=2，OH=-OG=—,

216264

345

：

.P布’64

453345

綜上可知：存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為（丁京或（/，才-

第26頁共32頁

y.yt

圖2圖3圖4

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似

三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí).在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用C點(diǎn)坐標(biāo)

表示出ABOC的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出點(diǎn)P的位置，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情

況.

9.【答案】（1）y=-;/+x+4（2）①?②存在滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)P坐標(biāo)為：（7-472.4）

【解析】

(1)由題意得：A(4,0),C(0,4),對(duì)稱軸為x=l.

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,則有：

16。+4/?+c=01

a=——

=

{1c4，解得〃?2.

b,g=l

----二14

2ac=4

1,

拋物線的函數(shù)解析式為：y=--x12+x+4

2

（2）①當(dāng)m=O時(shí),直線/：y=x.

???拋物線對(duì)稱軸為x=l,

，CP=1.

如答圖1,延長(zhǎng)HP交y軸于點(diǎn)M,則AOMH、Z^CMP均為等腰直角三角形.

第27頁共32頁

ACM=CP=1,

A0M=0C+CM=5.

__111X5)2X5X1=515

SAOPH=SAOMH-SQMP="—OM?CP二一xT4T

A亭M"222"T

=

SAOPH—

4

②當(dāng)m=-3時(shí)，直線I：y=x-3.

設(shè)直線/與x軸、y軸交于點(diǎn)G、點(diǎn)D,則G(3,0),D(0,-3).

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P.如答圖2所示，此時(shí)PE=4.

若PE=PF,則點(diǎn)P為NOGD的角平分線與BC的交點(diǎn)，有GE=GF,過點(diǎn)F分別作FH^PE于點(diǎn)H,FKJ_x軸于點(diǎn)K,

VZOGD=135°,

.../EPF=45。，即△PHF為等腰直角三角形,

第28頁共32頁

設(shè)GE=GF=t,則GK=FK=EH=Y2t,

2

：.PH=HF=EK=EG+GK=t+—t,

2

,PE=PH+EH=t+旦+立t=4,

22

解得t=472-4,則0E=3-t=7-4J5,

AP2(7-472>4)

另外，PE=EF,EF=PF不可能.

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)P坐標(biāo)為：(7-40,4).

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)P坐標(biāo)為：(7-4五，4)

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積、勾股定理、角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查

了分類討論的數(shù)學(xué)思想.第(2)問中涉及到了復(fù)雜的分類討論，使得試題的難度較大.

3

10.【答案】(1)y=-2x~+4-x；(2)a=-t；(3)a4—或a>0.

2

【解析】

(1)根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-h)2+k(awO),

第29頁共32頁

,.，h=l,k=2,y=a(x—I)2+2.

拋物線過原點(diǎn)，a+2=0,.Ia=-2,

y--2(x—l)2+2.即y=—2x2+4x；

(2)；拋物線y=比2經(jīng)過點(diǎn)A(h,k),：，k=th2>

y-a(x—h)2+tlr，:拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

:.ah2+th2=0>hwo,；.a=-t；

(3),點(diǎn)A(h,k)在拋物線y=d-x上，女=力2—〃，.?.y=a(x-/z)2+/「一力，；拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，...

.,1.

ah-+h--h=0>Vh*O,

h

分兩種情況討論：

ii3

①當(dāng)-24hV0時(shí)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知：-<一一，.?.”4一：；

h22

②當(dāng)OVh<l時(shí)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知：->1,：.a>0；

h

3

綜上所述，a的取值范圍是a4--或a>0.

2

11.【答案】(1)y=-x2；(2)B(-4,4)或(-8,16)；(3)證明見解析.

4

【解析】

試題分析：。)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，(2)分兩種情況，先確定出直線0B或AB,和拋物線解析式聯(lián)

立確定出點(diǎn)B的解析式；

(3)先設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，確定出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線DF解析式，將點(diǎn)G坐標(biāo)代入直線DF看是否滿足解析式.

9