人教版原創(chuàng)高中數(shù)學(xué)雙基自我檢測(cè)-高中數(shù)學(xué)雙基自我檢測(cè)

高中數(shù)學(xué)雙基自我檢測(cè)

目前的高考以能力立意，強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生分析問題解決問題的能力。但能力的考查是

以知識(shí)為載體的，只有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解透徹，基本技能熟練才有可能培養(yǎng)出能力，在我

們喟嘆自己能力始終不見長(zhǎng)進(jìn)的時(shí)候，不妨讓我們來做一番自我檢測(cè)，我們對(duì)一些基本

概念真正理解了嗎？一些基本技能真正熟練了嗎？下面將我們應(yīng)該掌握的要點(diǎn)羅列出

來（基礎(chǔ)知識(shí)標(biāo)識(shí)為★,基本技能標(biāo)識(shí)為?）,請(qǐng)你按這樣三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)檢查：（1）理解透

徹，考查時(shí)不會(huì)出錯(cuò)。（2）理解一般，有時(shí)清晰有時(shí)模糊，考查時(shí)偶有出錯(cuò)。（3）不理

解，考查時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。如果對(duì)于某一點(diǎn)，你尚達(dá)不到第一個(gè)層次，請(qǐng)你有針對(duì)性地做一

些研討，過一段時(shí)間后再做一次檢測(cè)。

1、★有關(guān)集合的問題，首先要弄清集合的元素是什么？是數(shù)集還是點(diǎn)集或其他？是函

數(shù)關(guān)系中的自變量的取值？還是因變量的取值？?

例（1）4=｛.I）,=X'-1｝,B=｛x|y-1｝，求Ac8。

（2）A=｛（x,y）|^=x2-1｝,B=｛（x,y）|y=Vx2-1），求AcB

（3）A=｛直線｝,B=｛圓｝,則AcB的元素個(gè)數(shù)有幾個(gè)？

★當(dāng)集合的元素以字母參數(shù)的形式給出時(shí)，要注意集合元素的互異性與無序性。

例（4）ae｛1,a2｝，則。=。

★對(duì)于符號(hào)“史”與“仁”的應(yīng)用要清楚。。的特殊性使得｛0｝，0[｛0｝。

?由于集合語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性與嚴(yán)謹(jǐn)性，很多題目的條件常用集合的形式給出，對(duì)于

集合化簡(jiǎn)（主要是解不等式或解方程）是解題的最基本的步驟（往往也是得分

點(diǎn)），在化簡(jiǎn)的過程中一定不要忘記分析集合是否有可能為空集！另外對(duì)于子

集關(guān)系的一些變化形式要熟悉，如=AcC=C1等。參考《2006高

考綠卡》（以下簡(jiǎn)稱綠卡）P3例3。（綠卡指我校第一,輪復(fù)習(xí)用書一由人民日?qǐng)?bào)

出版社出版的《走向高考》〈理科數(shù)學(xué)〉）

?數(shù)形結(jié)合是解集合問題常用方法，文氏圖、數(shù)軸或坐標(biāo)系將抽象的問題具體化、

形象化、直觀化，你是否能自覺地應(yīng)用這些方式？

?在討論集合之間的關(guān)系時(shí)，常對(duì)整數(shù)集作細(xì)分與合并，你還記得下面這個(gè)題及

類似的題嗎？

例：M={x\x=m+-,meZ},N={x\x=---,neZ},P={x\x=-+-,peZ}

62326

則M,N,P相互之間的關(guān)系是。

★對(duì)于有n個(gè)元素的集合的子集的數(shù)目、真子集數(shù)目、非空真子集數(shù)的分析要結(jié)合

組合的相關(guān)知識(shí)，不應(yīng)該只是機(jī)械地記住結(jié)論而已。

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

2、★關(guān)于簡(jiǎn)易邏輯。主要掌握兩個(gè)內(nèi)容，一是命題的真假判斷，“或命題”的真假特

點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真"；“非命

題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”。有些命題的真假不容易判定時(shí)，你能否想到用其“逆

否命題”來判斷真假。二是充分必要條件的分析，緊緊抓住定義：

p=>q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件。

既有P=>q，又有q=0,則p<=>q,p與q互為充要，

另外從集合的角度來說，可以這樣理解：充分不必要條件充要條件必要不充分條

件。

工自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

3、?解含絕對(duì)值類型的問題的7敘審鞍是去絕對(duì)值號(hào)。其方式有（1）利用絕對(duì)值的

定義；（2）平方法，使用平方去絕對(duì)值號(hào)要謹(jǐn)慎，要注意不等式兩邊非負(fù)，也要考慮平

方的升幕作用，塞次升高后是否便于運(yùn)算！

?形如|x-21+1x+3巨。之類含兩個(gè)絕對(duì)值的和或差的不等式分析除掌握“零

點(diǎn)分段法”去絕對(duì)值號(hào)外，對(duì)其幾何意義要熟悉。

?要研究哪些情況下要反其道而行之，在某些情況下保留絕對(duì)值號(hào)，甚至有意識(shí)

地添加絕對(duì)值號(hào)，卻可使問題簡(jiǎn)化！例如解不等式/-5次|+6<0,相對(duì)于

分類不如解卜「-5區(qū)+6<0簡(jiǎn)單。還記得下題怎樣避免分類討論嗎？例：設(shè)

定義在［-2,2］上的偶函數(shù)/（x）在［0,2］上單調(diào)遞減，若,求

實(shí)數(shù)m的取值范圍。

?另外在進(jìn)行一些絕對(duì)值的不等式證明時(shí)，去絕對(duì)值號(hào)不可行的情況下，利用絕

對(duì)值不等式的重要性質(zhì)||a\-\b||<|a+b\<\a\+\b\以實(shí)現(xiàn)放縮達(dá)到證明的目

的。

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4、★對(duì)?二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的“親緣”關(guān)系是否有深刻的

認(rèn)識(shí)！解一元二次方程就是分析二次函數(shù)函數(shù)值為0時(shí)的自變量的值，解一元二次不

等式就是分析二次函數(shù)函數(shù)值在一定范圍內(nèi)忖自變量的范圍。

?一元二次方程根的分布討論是函數(shù)分析最基本的技能，也是考查數(shù)形結(jié)合思想

的載體，必須熟練掌握。在結(jié)合圖形建立不等式組時(shí)，一般來說，要注意控制

四個(gè)要素：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸的位置；（4）給定的區(qū)間

端點(diǎn)處的函數(shù)值正負(fù)，對(duì)于區(qū)間的開閉要多加注意。要體會(huì)二次函數(shù)被對(duì)稱軸

分成兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，二次方程根的分布討論充分地利用了單調(diào)性。參考《綠卡》

P59考例3。

?二次函數(shù)在閉區(qū)間上仃最大值和最小值。其求法要熟練掌握，特別是含參數(shù)的

兩類最值分析：一類是區(qū)間固定，對(duì)稱軸隨參數(shù)的變化而變化，另一類固定對(duì)

稱軸，區(qū)間含參數(shù)。解法要點(diǎn)是抓住“三點(diǎn)一軸”分類討論，即按對(duì)稱軸與區(qū)

間的兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)的位置關(guān)系分類。參考《綠卡》P59考例2。

?用函數(shù)的思想去理解不等式或方程，許多問題便化繁為易了。含參數(shù)的二次不

等式恒成立問題，其實(shí)質(zhì)也是函數(shù)的最值討論，除利用上述方式分類討論最值

夕卜，通?？梢圆捎米兏髟灰环蛛x出參變量的方式來構(gòu)造新的函數(shù)，通過對(duì)

新函數(shù)的最值分析，化繁為易。尤其是新的函數(shù)是關(guān)于參變量的一次函數(shù)時(shí)，

利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性求參數(shù)十分高效。參考《綠卡》P204例題2

及以下各例：（1）至少有一個(gè)xe-,2，使得0?一2工+2>0成立，求a

.2.

的取值范圍。（2）當(dāng)xw-,2時(shí)，ax2—2x+2>0恒成立，求a的取值范

2

圍。

(3)nJ?+52-520在1e［-2,2］上恒成立，求m的取值范圍。

?二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的函數(shù)分析，一定要注意分析二次項(xiàng)系數(shù)是否為0。

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

5、?解分式不等式一般應(yīng)遵循“移項(xiàng)一一通分一一化成整式不等式”這樣的步驟。只

有在能夠確定分母的正負(fù)的情況下，可以通過兩邊同乘的方式去分母，當(dāng)分母為負(fù)時(shí)，

注意不等式符號(hào)要變向！?對(duì)于含參數(shù)的不等式，分類討論是基本方式，但分類時(shí)機(jī)

的選擇(在尚不需要分類的情況下盡可能不要分，只有當(dāng)不分已不能說明問題的時(shí)候才

分)，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，分類層次的遞進(jìn)都要仔細(xì)地斟酌。條理分明地做好一個(gè)題，如

解關(guān)于x的不等式小二D>1(aeR),則分式不等式的解法就可以過關(guān)了。

x—2

?解高次不等式，采用“序軸標(biāo)根”時(shí)注意的幾個(gè)要點(diǎn)你清楚嗎？解簡(jiǎn)單的三角

不等式(或方程)你會(huì)使用單位圓及三角函數(shù)線嗎？解指對(duì)數(shù)不等式你記得對(duì)

底數(shù)分類、對(duì)定義域進(jìn)行分析嗎？

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧力

6、★關(guān)于函數(shù)概念的理解中，有二個(gè)難點(diǎn)，一個(gè)是復(fù)合函數(shù)的概念，一個(gè)反函數(shù)的概

念。做一做下面兒個(gè)題以檢測(cè)你對(duì)這兩個(gè)概念的理解程度。

1+x

R檢測(cè)已知/(x)=---的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=/［/(X)］的定義域?yàn)锽,

1-x

則A與B之間的關(guān)系是。

R檢測(cè)21已知函數(shù)y=/(》2)的定義域?yàn)椋郇D3,1),求函數(shù)y=/(x+l)的定義域

R檢測(cè)31判斷下列命題的真假：①已知函數(shù)y=/(2x+l)為奇函數(shù)，則

/(—2x+l)=—/(2x+l)；②已知函數(shù)y=f(2x+\)為奇函數(shù)，則

/(-2x-l)=-/(2x+l)；③已知函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，則有

/(-2x+l)=-/(2x+l)；④已知函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，則

/(-2x-l)=-/(2x+l)o

R檢測(cè)4》①若函數(shù)y=/(2x+l)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為/T(2X+1)；②若

函數(shù)y=/(2x+l)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=："T(x)—l]；③若函數(shù)

y=/[g(x)]存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=/T[gT(x)]④若函數(shù)y=/[g(x)]存

在反函數(shù)，貝U其反函數(shù)為y=gT"T(x)]：

R檢測(cè)52已知/(x)=3i(24x?41為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則

F(x)=[/-'(x)]2-7-'(?)的值域是

R檢測(cè)6D(2005年天津高考)設(shè)尸(x)是/(x)=；(優(yōu)-4)伍〉1)的反函數(shù),

則/T(X)>1成立的x的取值范圍為。

正確答案：(1)8uA(2)[-1,8](3)①④為真，②③為假。

(a2)

(4)②④為真，①③為假。(5)[2,5](6)-----,+oo

12a)

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的理解關(guān)鍵之處在于弄清函數(shù)卜=/[g(x)]中x是其自變量的符號(hào)表

示，即x表示其定義域中的元素，而不是g(x)。因而有以下一些結(jié)論：

(1)已知/(x)的定義域?yàn)閇a,b],則y=/[g(x)]的定義域由aWg(x)Wb解出

x的范圍即可。

(2)已知y=/[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求/(x)的定義域，相當(dāng)于xe[a,b],

求g(x)的值域。

(3)“X)為奇函數(shù)，則/[-g(x)]=-/[g(x)]；而力g(x)]為奇函數(shù),則

/[g(-x)]=-加(刈。

(4)求卜=-g(x)]的反函數(shù)時(shí),先將g(x)作為一個(gè)整體反解得g(x)=/T(y),

進(jìn)一步反解出x=gT"T(y)],最后交換x,y得反函數(shù)為y=gT"T(x)]。(一個(gè)具

體的例子：求函數(shù)y=/(x+l)的反函數(shù)，反解得x+l=/T(y),x=最

后交換x,y得反函數(shù)為y=/」(x)—1,特別注意其反函數(shù)不是y=/T(x+l)。

?通過畫映射圖的方式，示意二個(gè)函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù)的過程，示意復(fù)合函數(shù)求

反函數(shù)的過程，是理解復(fù)合函數(shù)概念的最好方式。自己試著畫一畫。

?在深刻領(lǐng)會(huì)函數(shù)及其反函數(shù)的關(guān)系后，許多涉及到反函數(shù)的問題并不需要去求

出反函數(shù)而能快速高效地解決，例如當(dāng)已知y=/(x),求/-[a)時(shí)，只需要令

/(x)=a,從中解Hix,即/⑷，用映射圖示意如下(圖1)：

圖2檢測(cè)6圖解

對(duì)于K檢測(cè)65，最直接的思路是求出再解不等式，運(yùn)算量大而繁，不是

好的解法。事實(shí)上如圖2所示，問題的實(shí)質(zhì)就是分析原函數(shù)定義域中自變量取值大于1

a2-I

時(shí)的函數(shù)值y的取值范圍。由于f(x)是增函數(shù)，故當(dāng)了>1時(shí)，f(x)>f(l)=——

2a

所以/T(X)>1成立的X的取值范圍為二-,+8o

I2a)

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

7、★關(guān)于函數(shù)定義域。研究一個(gè)函數(shù)首先要關(guān)注其定義域！求定義域主要考慮分式分

母不為零，偶次方根有意義、對(duì)數(shù)、指數(shù)的底數(shù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)，問題的實(shí)際意義等。復(fù)

合函數(shù)的定義域的求法等。

8、★關(guān)于求函數(shù)解析式。

(1)給定/(x)的解析式求/[g(x)]的解析式一定要注意分析復(fù)合函數(shù)的定義域。

(2)已知/[g(x)]的解析式求/(x)的解析式基本方式是換元法，有些可以用“湊形

法”，例如已知/(》+▲)=d+二，求/(x),同樣要注意定義域的變化。

XX

(3)解函數(shù)方程求解析式。例：已知/(x)—/(」)lnx=l,求/(x)。

X

(4)分段函數(shù)/(x)已知區(qū)間(。/)上的解析式，求區(qū)間(c,d)上的解析式，這類問

題往往結(jié)合了函數(shù)的奇偶性或周期性，不論是哪種情況，其基本解法都是一致的，要點(diǎn)

是首先令xe(c,d),再利用周期性或奇偶性使(即x加減若干個(gè)周期)或

-xe(a,b),再將x±〃7或-x代入已知段的解析式化簡(jiǎn)卻得。參考《綠卡》P68高

考預(yù)測(cè)1。

(自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

9、★關(guān)于函數(shù)的值域。方法有直接法、配方法、反解法、分離變量、換元法、單調(diào)性

法、求導(dǎo)法、判別式法，每一種方法適用的函數(shù)模型你都清楚嗎（參考《綠卡》P36）?

應(yīng)用判別式法的條件是什么？求y=2x-5+J15-4x的值域與求

y=2x-5+-15的值域方法是可以有不同的方式,你注意到了嗎？利用函數(shù)的幾

何意義采用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)值域的習(xí)題還有印象嗎？參考《綠卡》P39考例4。給定值

域求函數(shù)中參數(shù)的范圍的逆向思考要求更高，看一看《綠卡》P39考例6。

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

10、★關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式要熟悉（《綠卡》P42）。證明函

數(shù)單調(diào)性的方式：（1）定義法：取值——作差——判號(hào)，其中作差后如何變形是關(guān)鍵，

常用的變形方式要熟悉，如變形成多個(gè)因式的積、二次三項(xiàng)式等。（文科生必須熟練學(xué)

握這種方法）。抽象函數(shù)的單調(diào)性分析也只能用這種方法，參考《綠卡》P45考例4及

變式，體會(huì)抽象函數(shù)作差后的變形技巧。（2）求導(dǎo)法。一個(gè)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，單

調(diào)區(qū)間謹(jǐn)慎使用并集符號(hào)！?

★復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷：“同增異減”。當(dāng)外層函數(shù)的單調(diào)性比較單一時(shí)，問題比

較簡(jiǎn)單，相對(duì)比較復(fù)雜的是外層函數(shù)的單調(diào)性在不同的區(qū)間上有變化，要考慮內(nèi)層函數(shù)

的函數(shù)值的變化范圍。請(qǐng)參考《綠卡》P44考例1變式（維坊一模）。

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧兒

11、★關(guān)于函數(shù)的奇偶性。要熟悉下列一些結(jié)論：

（1）若/（X）為偶函數(shù)數(shù),則/（＞）=/（—x）=/（|x|）

（2）對(duì)于定義域含零的奇函數(shù)有/（0）=0,在求奇函數(shù)中的參數(shù)時(shí)，往往要用此結(jié)

論。

（3）奇函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的

單調(diào)性。

（4）"奇士奇=奇"，"偶±偶=偶"，"奇＞＜奇=偶”，"偶＞＜偶=偶”，"奇＞＜偶=奇"。復(fù)

合函數(shù)的奇偶性判斷口訣“內(nèi)（層函數(shù)）偶則偶，內(nèi)奇取外（層函數(shù)的奇偶性）

(5)若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)必為奇函數(shù)。

(6)奇偶性雖然是部分函數(shù)的性質(zhì)，但任何一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)都可以

表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和的形式。即

仆/(x)+/(-x)J(x)-八一幻

"X)=22°

?討論奇偶性先考查函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。在分析/(-%)與/(x)的關(guān)

系時(shí)，不要忘記判斷條件的等價(jià)形式，即

/(-x)=±/(x)of(-x)+f(x)=0,在討論對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性時(shí)采用等價(jià)

形式有可能減少運(yùn)算量。若所給函數(shù)解析式比較復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇

偶性。在判斷奇偶性時(shí)，對(duì)于一些非奇非偶的函數(shù)的判定，不必拘泥于討論

/(—x)與/(x)的關(guān)系，而只須分析幾個(gè)具體的函數(shù)值即可，參考《綠卡》P49

考例1(5)。(廣東省2005年的高考題第19題)對(duì)函數(shù)f(x),當(dāng)xG(-o=,8)時(shí),

/(2—x)=/(2+x),/(7-x)=/(7+x)在閉區(qū)間［0,7］上，只有f(l尸f(3)=0;

試判斷函數(shù)尸f(x)的奇偶性；

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

12、★關(guān)于函數(shù)的周期性。對(duì)于函數(shù)/*),若存在一個(gè)非零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定

義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，/(x+T)=/(x)恒成立，則稱/(x)為周期函數(shù)。周期性反映

的是當(dāng)自變量發(fā)生一個(gè)增量后，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的特征。周期性的定義本身就是一種求

周期的方法，當(dāng)我們討論某些三角函數(shù)的周期時(shí)常用這種方式。

?題目中函數(shù)的周期性常常以這樣一些形式來表達(dá)，如/(x+2)=-"X)或

/(x+2)=--—,/(x+2)=—看到這些式子，你能夠很快意識(shí)到它表示周期

“X)f(x)

函數(shù)？周期是多少？周期性常常與奇偶性、分段函數(shù)相綜合，前面關(guān)于函數(shù)解析式中己

經(jīng)提到了。

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧出

13、★關(guān)于反函數(shù)。要深入理解y=/(x)與y=/T(x)中的X的異同之處，從而真正

理解原函數(shù)與反函數(shù)的定義域與值域之間的關(guān)系。

(1)要清楚只有定義域和值域之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)才存在反函數(shù)。在定義域上

具有單調(diào)性的函數(shù)存在反函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定有單調(diào)性(如一些不連續(xù)

函數(shù))。

(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，它們的圖象關(guān)于

y-x對(duì)稱

(3)若原函數(shù)與反函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)不一定就在y=xh?,如果原

函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，則公共點(diǎn)在y=x上，若原函數(shù)為減函數(shù)，則可能同時(shí)存在

在y=x上與不在y=x上的公共點(diǎn)。參考《綠卡》P56能力提高4,分析y=(

和y=log[X圖象的交點(diǎn)。

?求反函數(shù)時(shí)要注意標(biāo)注反函數(shù)的定義域，反函數(shù)的定義域不能由其解析式來

求，而應(yīng)該是原函數(shù)的值域?。分段函數(shù)的反函數(shù)可分段求出后再合成。對(duì)于

某些特殊的函數(shù)求反函數(shù)，反解法可能有困難，此時(shí)分析一下函數(shù)的其他性質(zhì)

如奇偶性或許可以找到求解的思路。例如求>?=ln(x+Vx2+l)的反函數(shù)。

?在解與反函數(shù)相關(guān)的問題時(shí)，直接去求解反函數(shù)往往不是最佳方式，一定要充

分地利用反函數(shù)的與原函數(shù)之間的關(guān)系解題，要習(xí)慣用映射圖來理解這種關(guān)

系，參考第5條中的內(nèi)容。《綠卡》P56第6題(遼寧五校聯(lián)考)。

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

14、★關(guān)于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)。首先關(guān)于指數(shù)函數(shù)的概念要準(zhǔn)確把握?,只有嚴(yán)格符

合y=a*(a>O,axl的常數(shù))形式的函數(shù)才稱之為指數(shù)函數(shù)，形如y=—2"y=2'之

類都是指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，同樣對(duì)數(shù)函數(shù)也只是嚴(yán)格符合

y=logo'（a〉0,qw1的常數(shù)）。

★單調(diào)性的分析是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考查的重點(diǎn)，要記住單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論,

只需要記住下列兩個(gè)圖形，一切盡在其中!

?對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則要熟練掌握。判斷l(xiāng)og/的正負(fù)的口訣“同正異負(fù)”,

所謂“同”是指底數(shù)a與真數(shù)b均大于1或者均在(0,1)內(nèi)。

15、★關(guān)于函數(shù)圖象。要掌握：

(1)函數(shù)圖象與方程的曲線之間的關(guān)系，函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)

系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像，函數(shù)圖像與x軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)(參考《綠卡》

P27考例變式)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有(如存在漸近線)，也可任意多個(gè)。

(2)奇、偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性。

(3)原函數(shù)與反函數(shù)圖象之間的對(duì)稱性。

(4)描點(diǎn)法作函數(shù)圖象，主要是“五點(diǎn)作圖法”作三角函數(shù)的圖象，參考《綠卡》

P130考例5。

(5)圖象的平移、伸縮、翻轉(zhuǎn)三種變換。要點(diǎn)是弄清楚圖象的變化與函數(shù)中的變量(自

變量或因變量)變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。會(huì)用向量平移的方式來理解平移變換，y=f(x)

按向量。平移后得的新的解析式為y-k=f(x-h)。試問y=/(2x)按向量

Q=(〃,公平移后得的新的解析式是什么？對(duì)于y=/(x),當(dāng)自變量x被換作

時(shí)，圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大(或壓縮)為原來的1/。倍。當(dāng)

因變量y被換作)，/A(A>0)時(shí)，圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大(或壓縮)為原

來的A倍。三角函數(shù)的平移與伸縮變換是考查的重點(diǎn)。而對(duì)稱變換要熟悉

y=/(x)與y=-/(x)，y=/(x)與y=/(—x)，y=/(x)與>=一/(一了)，

y=/(x)與y=/(|x|),y=/(x)與y="(x)|之間的對(duì)稱性。

⑹關(guān)于某7個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性證明。即在圖象上任取一點(diǎn)(%,%),求出其關(guān)于

對(duì)稱中心(或?qū)ΨQ軸)的對(duì)稱點(diǎn)，再驗(yàn)證它在函數(shù)圖象上即可。另一種情況是證明兩條理

繾G與G的對(duì)稱性，思路與方法與上一樣，先在G上任取一點(diǎn)Qo，y。)，求出其關(guān)于

對(duì)稱中心(或?qū)ΨQ軸)的對(duì)稱點(diǎn)，再驗(yàn)證它在曲線G上。后一種情況常變化為已知曲線G

的方程，求其對(duì)稱曲線G的方程，要點(diǎn)是要求的是哪一條曲線方程就設(shè)(％y)是該曲

線上任意一點(diǎn)?,此處即設(shè)(X,)，)是曲線上任一點(diǎn)，然后求出它關(guān)于對(duì)稱中心(或?qū)?/p>

稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)，該對(duì)稱點(diǎn)必在G上，將其坐標(biāo)代入G方程，化簡(jiǎn)即得曲線G的方程。

(7)若/(a+x)=/S-x),xwR恒成立，則y=/(x)的圖象關(guān)于x=(a+匕)/2成

軸對(duì)稱圖形。函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=/(b—x)的圖象關(guān)于直線x=(b—a)/2對(duì)

稱。注意兩者的不同，前者是考查：個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，而后一個(gè)命題是說明可個(gè)函數(shù)的

對(duì)稱性。?

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16、★關(guān)于函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題。仔細(xì)閱讀，通過畫圖、列表、歸類等各種手段弄清數(shù)

據(jù)之間有關(guān)系后，建立函數(shù)模型，到目前為止我們所學(xué)過的函數(shù)不過這樣幾類：一次函

數(shù)(含正比例函數(shù))、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、另外有

所謂的形如y=x+@(a>0)的“對(duì)鉤函數(shù)”和分段函數(shù)。因此我們完全不必懼怕應(yīng)

x

用題，靜心讀懂題目是關(guān)鍵，值得注意的是新教材增加了線性規(guī)劃內(nèi)容后，函數(shù)應(yīng)用題

還可能出現(xiàn)不等式。在建立函數(shù)模型時(shí)，注意定義域!18

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17、★關(guān)于數(shù)列的概念理解。

(1)要有數(shù)列即一種特殊的函數(shù)的意識(shí)，因而許多數(shù)列問題，都可以用函數(shù)的方法

加以解決。等差數(shù)列的通項(xiàng)=%+(〃—1)4=曲+(q-3)表明?！笆莕的一

次函數(shù)，其前n項(xiàng)和S,,=+當(dāng)3d=g〃2+(%一表明s”是n的二

次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0)。其應(yīng)用參考?《綠卡》P88函數(shù)思想例1,P89考例1變式2。

等比數(shù)列的通項(xiàng)%=a?-=表明q,是n的指數(shù)型函數(shù)，其前n項(xiàng)和

當(dāng)q=1時(shí)為S“="4是n的一次函數(shù)，當(dāng)q#1時(shí)，

S,,=必匕心=——Lq"是形如/(〃)=k-kqn的指數(shù)型函數(shù)。我們可

l-q\-q\-q

以據(jù)此判斷或證明?個(gè)數(shù)列是否是等差或等比數(shù)列。

(2)關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)公式，從概念上講并非每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列的

通項(xiàng)公式也不一定是惟一的，但就我們現(xiàn)階段所研究的數(shù)列都是一些比較特殊

的數(shù)列，典型如等差、等比數(shù)列，一旦知道了通項(xiàng)公式，則整個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)

都清楚了，整個(gè)數(shù)列的性質(zhì)也就可以分析了，因此解決通項(xiàng)公式是解數(shù)列問題

的核心。常見的題型有：

?根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(參考《綠卡》P83例1),這種題

型盡管不大可能直接出現(xiàn)在高考題中，但它能檢測(cè)你的觀察能力，歸納能力，

從特殊到一般的抽象能力，在高考有關(guān)數(shù)列的大題中，常有根據(jù)數(shù)列的前幾

項(xiàng)猜想出通項(xiàng)然后結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法加以證明的解題方式。

?已知S“求右。這是數(shù)列題中最常見的問題，必須十分熟練掌握，要記得驗(yàn)證

n=l時(shí)是否也符合通項(xiàng)公式!@

?由遞推式求通項(xiàng)公式的幾種模型要清楚。①已知《用=an+/(?),累和求凡。

②已知4+1=?！?/(〃)，累商求4”。③已知見+1=+4(p,4為常數(shù))，

用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等比數(shù)列，即設(shè)4田+，=”(%+。(，為待定系數(shù))，

解出t。④*=pa"+q"S，q為常數(shù))，兩邊同除q向轉(zhuǎn)化為③的形式。

⑤%+2=pa“+qa用為常數(shù))，用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等比數(shù)列，設(shè)

a“+2+fa“+i=機(jī)（?！?1+柩”）（f,加為待定系數(shù)），解出t,m。⑥

a,1+1=,通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化成一匚=—+—。文科生只要求熟悉

%+/（〃）氏+|4）（〃）

前三種形式。

?不論是已知S.求?！?，還是由遞推式求通項(xiàng)公式，在解題的過程中都要注意下

標(biāo)n的變化情況?,它與研究函數(shù)時(shí)注意定義域的變化是相同的。比如已知

S“=/（〃）（〃22）,則由它得到S.T=/（〃」）時(shí)“23,此時(shí)由二式相減

得?！?/（〃）一/（〃一1）中的“23。又比如：已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)6=1,當(dāng)

”22時(shí)，%=3《i+2,求生，根據(jù)前面模型③中所述待定系數(shù)法可得

%+1=3（an_i+1）,此式中〃N2,當(dāng)n取最小值2時(shí)，即為%+1=3（6+1）,

它說明新數(shù)列｛?！?1｝從第1項(xiàng)開始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是定值3,所以

新數(shù)列的首項(xiàng)為q+l=2,通項(xiàng)4+1=2-3"］，所以%=2?3"］一1,此時(shí)

不用再驗(yàn)證n=l是否也符合通項(xiàng)公式了?

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18、?數(shù)列中最基本的題型即數(shù)列基本量之間的運(yùn)算，在五個(gè)基本量

%,d（或q），氏，S“，〃中“知三求二”，它體現(xiàn)了方程的思想，而在解方程的過程

中往往要布.整體代換的思想，尤其是等比數(shù)列中的知三求二，公比q幕次可能很高，不

具備整體代換的思想，往往解不出方程!?（參考《綠卡》P94考例2）,這是典型的基本

技能，你確信過了關(guān)嗎？

工自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

19、?數(shù)列求和是最重要的數(shù)列問題之一。（1）公式法求和。記得等差數(shù)列｛4｝各項(xiàng)取

絕對(duì)值后得｛|凡|｝，其前n項(xiàng)和如何求嗎？@參考《綠卡》P89考例2。等比數(shù)列求和

時(shí)要注意什么問題嗎？?（2）其他的求和方式有哪些？各自適用于哪些類型的數(shù)列求和

（參考《綠卡》P103）?錯(cuò)位相減法的運(yùn)算你能過關(guān)嗎？?常見的裂項(xiàng)方式有哪些？裂

項(xiàng)相消后保留下多少項(xiàng)你注意到了嗎？?（3）|q|<1的無窮等比數(shù)列的和與其前n項(xiàng)和

是同一個(gè)概念嗎？公式記得嗎？（4）會(huì)用二次函數(shù)的方式討論等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

嗎？

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧X

20、?對(duì)等差和等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要以小題的形式出現(xiàn)，中項(xiàng)公式及其變式（當(dāng)

m+〃=p+q時(shí)，等差am+an=ap+aq,等比%，凡=%,）的考查最多，用整

體化的方式、函數(shù)的方式解題往往能顯著提高解題效率，你對(duì)此是否有深刻的體會(huì)？！

在理解的基礎(chǔ)上記住以下結(jié)論對(duì)解題有幫助：⑴等差（或等比）數(shù)列中“間隔相等的連續(xù)

等長(zhǎng)片段的和（如%+a2+a3,a4+a5+4，%+/+。9）仍是等差（或等比）數(shù)列。參

考《綠卡》P100考例2變式）。（2）對(duì)于等差數(shù)列也｝,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S奇—S偶=nd；

項(xiàng)數(shù)為2n—1時(shí)，S奇一S偶=4中

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧》

21、★分期付款型應(yīng)用問題

（1）重視將這類應(yīng)用題與等差數(shù)列或等比數(shù)列相聯(lián)系.

（2）若應(yīng)用問題像“森林木材問題”那樣，既增長(zhǎng)又砍伐，怎樣解決？還記得這個(gè)

題否：一列火車從A站到B站，沿途有n個(gè)車站（包含A和B）,車上有一節(jié)郵政車廂，

每停靠一站便卸下前面各站發(fā)發(fā)往該站的郵袋各?個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站

的郵袋各一個(gè)，試求：列車從第k站出發(fā)時(shí);郵政車廂內(nèi)共有郵袋數(shù)多少個(gè)？第幾站的

郵袋數(shù)最多？最多是多少？

⑶“分期付款”、“森林木材”等問題的解決過程中，務(wù)必''卡手指"，細(xì)心計(jì)算“年

限”作為相應(yīng)的“指數(shù)”.?

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧兒

22、★關(guān)于三角函數(shù)的基本概念。

(1)熟悉終邊相同的角的表示。a終邊與。終邊相同=a=6+2k乃(keZ)。你

能熟練地寫出下列角度嗎？終邊在x(或y)軸正半軸、負(fù)半軸；終邊在x(或y)

軸；終邊在坐標(biāo)軸；終邊在直線y=x上；終邊在|y|=|x|上等。

(2)你注意到了角度區(qū)間的表示中容易犯什么樣的錯(cuò)誤嗎？

(3)已知a是第n象限的角,用“等分象限法”快速判斷a/2,a/3你會(huì)嗎?

(4)弧長(zhǎng)公式：/=|a|R,扇形面積公式：S=^/R==|a|R2，1弧度

(Irad)?57.3°.

(5)三角函數(shù)符號(hào)特征是：一全正、二正弦、三是切、四余弦.

注意：sin15°=cos75°=網(wǎng)二亞,cos15°=sin75°=皿后,

44

tan15°=cot750=2-瓜cot15°=tan75°=2+G,sin18°=.

(6)你會(huì)在單位圓中畫三角函數(shù)線嗎？會(huì)用三角函數(shù)線解簡(jiǎn)單的三角方程與三角

不等式嗎(參考《綠卡》P133考例1及變式？會(huì)用三角函數(shù)線證明：“a為銳角

時(shí)，sina<a<tana”嗎？

(7)關(guān)于同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。一是你是否能明確意識(shí)到：已知一個(gè)角的一

個(gè)三角函數(shù)值，則其它五個(gè)三角函數(shù)值便可求得！二是在選用倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)

關(guān)系、平方關(guān)系時(shí)，一般應(yīng)該遵循什么樣的順序，你是否體會(huì)到公式選用不同，

計(jì)算量上有很大差別，使用平方關(guān)系時(shí)要注意什么問題？

(8)誘導(dǎo)公式口訣"奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“奇”“偶”是以什么作為基

準(zhǔn)的？符號(hào)看象限怎樣看？你真正弄清了嗎？

(9)三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)(常值)的變換，其核心是“角

的變換”！

?角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍

角的變換、兩角與其和差角的變換.如a=(a+￡)—￡=3-力)+月，

2a=(a+￡)+(a一夕)，2(z=(^+a)-(/?-a),a+=2--

區(qū)￥=(。一3)一(方一等.參考《綠卡》P126考例5。

?要深入理解倍半關(guān)系，不要只看見2a與a之間的倍半關(guān)系，4a與2a、

,a與3a、-a與等之間均有倍半關(guān)系，即便是2a與a士工之間

2364

也可通過誘導(dǎo)公式的變換建立倍半關(guān)系。要會(huì)用倍角公式推導(dǎo)半角公式。會(huì)用

單位圓中的三角函數(shù)線表示半角的正切。

asina1-cosa

tan—=----------=-----------

21+cosasina

?常值變換主要指“1”的變換:

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan-^=siny=cosO=…等

?三角函數(shù)名互化——切割化弦是最基本的變換；升幕與降塞——余弦倍角公式

的三種形式靈活選用；運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化——和式與積式的互化，要注意公式的

正用、逆用、變形用，參考《綠卡》P126考例3,考例8。

?你熟悉正余弦'三兄妹-sinx±cosx、sinxcosx'的內(nèi)在聯(lián)系嗎？它們常和三

角換元法聯(lián)系在一起f=sinx土cosx,注意

re[-V2,V2],sinxcosx-o

?形如asin?x+/>sinxcosx+ccos2x的式子稱之為sinx,cosx的二次齊次式,

對(duì)它的變形有哪些方式？重溫2004年湖北省高考題：已知

6sin，a+sinacosa-2cos2a=0,aen,求sin（2a+工）的值。分

別用因式分解、兩邊同除cos?。、倍角公式降哥三種方式解一解，體會(huì)它們的

優(yōu)劣。

?輔助角公式中輔助角的確定：asinx+/?cosx=Ja?+/sin(x+6)(其中6

b

角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，。角的值由tan。=上確定)在求最值、化簡(jiǎn)

a

時(shí)起著重要作用。尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為1或百的情形。

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧為

23、★關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換

(1)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。注意正切函數(shù)、

余切函數(shù)的定義域及它們的單調(diào)性，要弄清它們?cè)谡麄€(gè)定義域上并不具有單調(diào)

性?!

?求函數(shù)定義域時(shí)可能要解簡(jiǎn)單的三角不等式，你會(huì)用三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖

象解三角不等式嗎？

?有關(guān)三角函數(shù)的最典型的問題就是討論正(或余)弦型函數(shù)

y=Asin(/x+9)(3>0)的單調(diào)區(qū)間，必須熟練再熟練!，形式上又有兩種

類型，一類是沒有限定區(qū)域，討論函數(shù)在整個(gè)定義域上的單調(diào)區(qū)間，這類問題

TTTT

相對(duì)簡(jiǎn)單，只須令2hr—,40工+9<2左乃+彳，解出x即得函數(shù)的增區(qū)間，

特別注意當(dāng)。<0時(shí)的變化！?o另一類是限定區(qū)域如分析函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間，解決這類問題可以和前?類問題一樣先求出它在整個(gè)定義域上的單調(diào)

區(qū)間后再與可作交集，其缺點(diǎn)是交集往往包含了若干個(gè)區(qū)間，容易遺

漏!因此推薦使用以下方法：先求得((yx+°)+@ob+e],再看

y=sinf在fwycoa+(p,a)b+(p\上哪些區(qū)間遞增，哪些區(qū)間遞減，使((yx+(p)

分別在這些區(qū)間上，解出相應(yīng)的x的范圍。參考《綠卡》P139練習(xí)8。

?關(guān)于三角函數(shù)的對(duì)稱性，常常在客觀題中考查，正弦型函數(shù)對(duì)稱軸的特征是在

該處的函數(shù)值為±1,對(duì)稱中心的特征是在該處的函數(shù)值為0；余弦型與之相反。

正切的對(duì)稱中心要特別注意那些定義不存在的地方！

?絕對(duì)值對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：?般說來，某?周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或

平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)(如余

弦函數(shù))自變量加絕對(duì)值，其周期性不變；其他不定.如〉，=5沛%,丫=卜111乂的周

期都是力，但y=|sinA)+|cos乂的周期為％/2,y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)

y=cos|x|,y=sinx2,y=sin|x|,y=cos4x是周期函數(shù)嗎？

(3)三角函數(shù)圖像及性質(zhì)。在新考綱中這部分要求提高了，“五點(diǎn)作圖法”必須熟練

掌握，圖象的變換中先變周期與先變相位的異同你是否清楚？！?

?給出正(余)弦型函數(shù)的圖象求其解析式的難點(diǎn)是確定初相，還記得要點(diǎn)嗎？參

考《綠卡》P132考例4及變式。

(4)求三角函數(shù)最值或值域有哪些題型？參考《綠卡》P140?

(5)三角形中的三角函數(shù)：解三角形一直是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是很多同學(xué)的薄弱

點(diǎn)，在解析幾何，立體幾何中也時(shí)時(shí)有解三角形的內(nèi)容，因此要加強(qiáng)這方面訓(xùn)

練。

★內(nèi)角和定理：三角形三角和為萬，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角

三角形=任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

★正弦定理：-4=r［=/K=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：已

sinAsin8sine

知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩

解，利用“大邊對(duì)大角”是確定有幾解。參考《綠卡》P167考例1。要清楚正

余弦定理的作用就是實(shí)現(xiàn)邊與角的互化

★余弦定理：?=。+c2-2反cosA,cosA=?/耳e-2=("+：)一-"-一］

2bc2hc

等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

★面積公式：S=gabsinC=芻崢=!?a+0+c).廠為三角形內(nèi)

ZZ4A2

切圓的半徑。

★在ABC中，tanA+tanB+tanC=tan/I-tanB-tanC

?在ABC中，給定A、B的正弦或余弦值，則C的正弦或余弦存在的充要條件是

cosA+cos5>0?這一結(jié)論有助于判斷增根。例在4BC中，已知

sinA=5/13,cosB=4/5,求cosC。

K自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧加

24、★關(guān)于反三角函數(shù)：

⑴反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范圍分別是

—n

[0,%],。當(dāng)x<0時(shí)，arcsinxG—,0arccosxG—,乃

2

arctanxe----,0|。

I2)

(2)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是

7TTT

(0，］］，［0，］］，［0，汨，［0,刈直線的傾斜角、/1到乙的角、L與右的夾角的范圍依次是

TT

［0,初［0,乃),(0,q.當(dāng)用反三角函數(shù)表求這些角度時(shí)，要特別注意它們的范圍。例如現(xiàn)

有cosa=-；,a=arccos(-；)=乃-arccos；,則異面直線所成角為arccos：(即a

的補(bǔ)角)；直線與平角所成角為arccos」，銳二面角為arccos」，鈍二面角為

33

(z=arccos(--)?又如tana=-3,直線傾斜角表示為萬+arctan(-3)=萬-arctan3。

R自我評(píng)述與相關(guān)例習(xí)題回顧出

25、★關(guān)于平面向量

（1）幾個(gè)基本概念。零向量、單位向量（與通共線的單位向量是土衛(wèi)，特別：

~\AB\

（『+產(chǎn)三），（-一尸三））、平行（共線）向量（無傳遞性，是因?yàn)橛?）、

回\AC\|AB|\AC\

相等向量、相反向量、向量垂直、以及一個(gè)向量在另一向量方向上的投影

在b上的投影是=laicos<a,b>=eR）.

11\b\

⑵兩非零向量平行（共線）的充要條件：a//hoa=Ab=（7楊2=（臼歷了

='再+>辦=0?特別：零向量和任何向量共線.>是向量平行的充分丕

必要條件!

?三點(diǎn)A、B、C共線。而、就共線；向量而、A反定中三終點(diǎn)4、B、C

共線=存在實(shí)數(shù)出夕使得：^=a麗+/定且a+尸=1.即直線方程的向

量形式

⑶兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a±boa-b=0<^>\a+b\=\a-b\

<=>xtx2+y}y2^0.

（4）平面向量的基本定理：如果外和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該

平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、％,使a=4e1+

?平向量基本定理是解決平面向量問題的核心，一定要深入領(lǐng)會(huì)。在解題應(yīng)用

中的要點(diǎn)是選擇二個(gè)不共線向量作為基底，則其它向量均可由這組基底線性表

示。線性系數(shù)的確定往往要利用方程的思想建立方程求解。一個(gè)例子：已知在

048中，點(diǎn)C是以A為中心的B的對(duì)稱點(diǎn)，D是將麗分成2：1的一個(gè)內(nèi)分

點(diǎn)，DC和0A交于E點(diǎn)，設(shè)m=￡,OB^b,試用（i）￡表示近，DC；

（ii）若赤=4次，求實(shí)數(shù)X的值。

22

(5)向量的數(shù)量積：|?|=(a)=a?ci,a-b=\a\\b\cos0=xxx2y1y2?

IB_蒼天之”2

cos。=

I。畫Jx；+y；Jx；+y；

Z在江的投影=|a|cos<a,b>==.*，.+")?一?

注意：<a,B>為銳角=a-B>0且a、B不同向;

<a,b>為直角oa.B=0且a、否W6；

<a,b>為鈍角oa-B<0且a、B不反向

a-B<0是<a,B>為鈍角的必要非充分條件.

?向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：

①一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，

要注意運(yùn)用；向量的加法運(yùn)算可以形象地看作是從起點(diǎn)出發(fā)沿多邊形的邊

走向終點(diǎn)的過程，實(shí)質(zhì)上三角形法則的反復(fù)運(yùn)用；而共起點(diǎn)的向量的加法

則用平行四邊形法則。

②對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同

時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能

約去一個(gè)向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即切

記兩向量不能相除(相約).

(6)向量的模滿足117HBi兇區(qū)⑸+⑻

注意：a、b同向或有6O\a+b\=\a\+\b\>||a|-|^||=|a-b\；

a、B反向或有6O|a-i|=|a|+1S|>||a|-1ft||=|a+b\;

￡、B不共線O|向-|同|<,±7<|々|+何.(這些和實(shí)數(shù)類似)

(6)平移與定比分點(diǎn)。

★線段的定比分點(diǎn)公式的向量形式了解：聲=畫土巫表示肝=2砥即P

1+2

分五月定比為2,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式即：設(shè)