2018-2022年五年高考數(shù)學(xué)真題匯編：三角函數(shù)與解三角形解答題

(2018-2022)五年高考數(shù)學(xué)真題匯編：三角函數(shù)與解三角形解答題

解答題

1.（2022?全國(guó)乙（文）T17）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin（A-=sinBsin（C-A）.

（1）若A=25,求G

（2）證明：2a12=b2+c2

2.（2022?全國(guó)乙（理）T17）記的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為己知

sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）.

（1）證明：2a2=b2+c2;

25

（2）若Q=5,COSA=—,求△ABC的周長(zhǎng).

3.(2022.新高考工卷T18)記aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

cosA_sin23

1+sinA1+cos2B

27r

（1）若C=——，求B；

3

2f2

（2）求"的最小值.

4.（2022?新高考II卷T18）記4回。的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,其對(duì)邊分別為a,b,c,分

別以?！?。為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為5,52,53，已知51-52+53=弓，5皿8=：.

（1）求AABC的面積：

5

（2）sinAsinC=——，求。.

3

5.(2022?北京卷T16)在AABC中，sin2C=>^sinC

(1)求NC；

(2)若b=6,且AABC的面積為66,求AABC的周長(zhǎng).

3

6.（2022?浙江卷T18）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=&,cosC=g.

（1）求sinA的值；

（2）若人=11,求AABC的面積.

7.（2021?全國(guó)）記△ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知從二.。，點(diǎn)。在

邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2。。，求cosNABC.

8.(2021?浙江)設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+cosx(xeR).

I的最小正周期;

(1)求函數(shù)y+

兀

(2)求函數(shù)y=在o,-上的最大值.

9.(2020?天津)在AABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,仇c.已知a=2發(fā),b=5,c=JT5.

(I)求角。的大小；

(II)求sinA的值；

(III)求sin[2A+?kj值.

10.(2020?北京)在AABC中，a+b^ll,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為

已知，求：

(I)a的值：

(II)sinC和△ABC的面積.

條件①：c—7,cosA=—；

7

19

條件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

11.(2020?浙江)在銳角△/%中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且28sinA—百a=0.

（I）求角束的大小;

（II）求cos/1+cos班cosC的取值范圍.

12.（2020?海南）在①如=6,②csinA=3,③c=回這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問題中，若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC，它的內(nèi)角A5,C的對(duì)邊分別為a/,C,且sinA=6sin8,C=J,

6

?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

13.（2020?江蘇）在△兒;匯中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知a=3,c=0,8=45。.

（1）求Sin。的值；

4

（2）在邊以上取一點(diǎn)。，使得cosZAQC=-g,求tanZZMC的值.

14.（2020?全國(guó)（文））AABC的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知比150°.

(1)若王JJc,b=2不,求△715c的面積；

(2)若sin/f+6sinCbXZ,求C

^2

15.(2020?全國(guó)(理))△ABC中，sir?力一sir?夕一sin'C=sia5sinC

(1)求力；

(2)若臟3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

今兀5

16.(2020?全國(guó)(文))△做的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos~(—+A)+cosA=—.

24

(1)求4

(2)若b—c=@a,證明：是直角三角形.

3

17.(2019?江蘇)在△45C中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

2

(1)若爐3c,/庭,cos廬,，求c的值；

、jSinAcosB4./八兀、—

(2)右----=——,求sm(3+一)的值.

a2b2

18.(2019?天津(文))在△A6C中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為兄。,。.已知〃+c=2a,

3csin3=4asinC.

(I)求cos8的值;

(II)求sin|28+不)的值.

19.(2019?北京(理))在中，a=3,b-dcosB=~-.

2

([)求8,c的值;

(II)求sinQB-O的值.

20.(2019?全國(guó)(理))△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)

(sinS—sinC)2=sin2A—sinBsinC.

(1)求4

(2)若Ca+b=2c，求sinC.

A+C

21.(2019?全國(guó)(理))AABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,。,c,已知asin-----=Z?sinA.

2

(1)求3；

(2)若AA8C為銳角三角形，且。=1,求AABC面積的取值范圍.

22.(2019?上海)己知等差數(shù)列｛4｝的公差de(0,可，數(shù)列也｝滿足a=sin(%),集合

S={x|x=6“,"eN*}.

(1)若q=0,6/=—,求集合S;

(2)若4=］，求"使得集合S恰好有兩個(gè)元素；

(3)若集合S恰好有三個(gè)元素：bn+T=b?,T是不超過7的正整數(shù)，求T的所有可能的值.

23.(2018?上海)設(shè)常數(shù)awR,函數(shù)/(x)=asin2x+2cos2x.

(1)若/(x)為偶函數(shù)，求。的值；

(2)若/、卜百+1,求方程/(x)=l-血在區(qū)間［一兀，可上的解.

24.(2018?北京(文))2知函數(shù)f(x)=sin2%+由sinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期；

jr3

(H)若/(x)在區(qū)間一］,〃？上的最大值為一，求加的最小值.

_32

25.(2018?浙江)已知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過

34

點(diǎn)、P(———)?

(I)求sin(a+n)的值;

(II)若角￡滿足sin(。+￡)=—,求cosB的值.

13

26.(2018?天津(理))在△A5C中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為&b,c已知

〃sinA=acos/-?).

(1)求角8的大小;

(2)設(shè)爐2,6-3,求力和sin(2A-5)的值.

27.(2018?四川(理))在aABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別a、b、c,且

2cos2A"cosB一sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

25

(1)求cosA的值；

(2)若"4五，b=5,求向量就在前方向上的投影.

答案及解析

1.【答案】(1)—;

O

(2)證明見解析.

【小問1詳解】

由A=28，sinCsin(A-jB)=sin3sin(C-A)可得,sinCsinB=sinBsin(C-A),而

0<,所以sin3￡((),l),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<C<兀,0<。一4<兀,

57c

顯然CwC—A,所以，C+C—A=7i,而A=28，A+8+C=TI,所以C=^—.

8

【小問2詳解】

由sinCsin(A—B)=sin5sin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB—becosA—becosA—ahcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

^(a2+c2-b2)-^b2+c2-a2)=^b2+c2-a2)-^a2+b2-c2),化簡(jiǎn)得：

2/=〃+/,故原等式成立.

2.【答案】(1)見解析(2)14

【小問1詳解】

證明：因?yàn)閟inCsin(A—8)=sin8sin(C-A),

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sin3sinCcosA—sin3sinAcosC，

所以ac/+C'辦/+c

lac2bc2ab

即上嚀W_,2+/_4)=_

所以2/=b2+c2;

【小問2詳解】

25

解：因?yàn)椤?5,cosA=—,

由⑴得<+。2=50,

由余弦定理可得2

a?=/+C_2/JCCOSA>

則50-史加=25,

31

所以從=二31，

2

故（/?+。）2=〃+。2+2/^=50+31=81,

所以Z?+c=9,

所以AABC的周長(zhǎng)為a+h+c=14.

3.【答案】（1）-；

6

（2）472-5.

【小問1詳解】

e、jcosAsin252sin8cos8sin8nn

因?yàn)?-------=----------=-------Z--------=-----------，即

1+sinA1+cos2B2cosBcos3

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+=-cosC=^-,

7TTT

而0<8〈一，所以8二二

26

【小問2詳解】

7171

由（1）知，sinB=-cosC>0,所以耳<C<兀,0<6<萬(wàn),

而sin8=-cosC=sin

_71TT

所以C=—+8,即有A二——28.

22

匚匚?a1+〃2sin2A+sin2Bcos223+1—cos2B

所以——；—=--------7--------=-----------------------

c~sin~Ccos2B

(2cos2B-l)2d-l-cos2B

=4cos2B+—4——522^-5=40-5-

cos2Bcos-5

當(dāng)且僅當(dāng)cos?8=變時(shí)取等號(hào)，所以二:夕的最小值為4近一5.

2c2

4.【答案】(1)—

8

⑵I

【小問1詳解】

由題意得E=L.q2,立=3〃2s,=3/邑=苴，2,則

12242434

<2V3,2^V32百

￡-S?+Sq=—ci---bHc=—，

1234442

22r2

即42+02-32=2，由余弦定理得cos3="^^,整理得accos8=l,則cos8>0,

lac

又sin6=」，

13V2則S=‘QcsinB--

則cosB=ac=----=----ARC

cos3428

【小問2詳解】

372

bb2aac-9

山正弦定理得:，則

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinCy/24,

3

,b3

則n-----=-b^-sinB=-

sinB222

5.【答案】（1）3

6

（2）6+6省

【小問1詳解】

解：因?yàn)镃e(O,"),則sinC>(),由已知可得百sinC=2sinCeosC，

可得cosC=《3,因此，C=-.

26

【小問2詳解】

解：由三角形的面積公式可得S"Bc=gabsinC=Ta=6ji,解得

由余弦定理可得/=。2+/一2。/?(：05。=48+36-2乂46乂6乂5=12,:.c=26

所以，△ABC的周長(zhǎng)為〃+/?+c=66+6.

6.【答案】(1)好；

5

(2)22.

【小問1詳解】

34r-

由于cosC=y,0<C<7T,則sinCug.因?yàn)?〃=底?，

由正弦定理知4sinA=J^sinC，則sinA=^sinC=亞.

45

【小問2詳解】

因?yàn)?a=&c，由余弦定理，得?a2+b2-c2a+iZi-Ja11-y3,

cosC=--------------=--------------——=-------=-

2ab22a2a5

4

即。2+64-55=0，解得a=5,而sinC=《，b=\\,

114

所以AABC的面積S=—?/?sinC=—x5xllx—=22.

225

7

7.(1)證明見解析；(2)cosZ4SC=—.

12

【分析】

cic

(1)根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有丁，結(jié)合已知即可證結(jié)論.

Q11

(2)由題設(shè)5O="AO=」,Z)C=—,應(yīng)用余弦定理求cosNA/汨、cosZCDB,又

33

A411A2

ZADB=兀一ZCDB,可得2/+、=上匕，結(jié)合已知及余弦定理即可求cosNABC.

a23

【解析】

ch?,sinCc

(1)由題設(shè),由正弦定理知:—，即r——

sinCsin/ABCsinZABCh

：?BD=,又b?=ac.

b

:,BD=b,得證.

r\11

(2)由題意知：BD=h,AD=—,DC=-,

33

,,4b2213〃2,2b210b22

b-+------c--------c~b+-----a2~--------a

...cosZADB=-------%----=9——，同理cosZCDB=---------------=°北~~

2b4Zr”b2tr

3333

*/ZADB-TC—ZCDB,

13/2210Z?2

--------ca--------Ij2

~~—=—,’9-，整理得2/+(72=-----,又I)?=ac，

4t>2b~3

~T~T

2?2+4=-.整理得6/-+3/=0,解得；或!=m，

/+/一〃4a2

由余弦定理知：cos/43C=幺二——=

2ac32b2

當(dāng)雪=_L時(shí)，cos/4BC=Z>l不合題意；當(dāng)時(shí)，cosZ4BC=—；

b236b2212

7

綜上，cosZABC——.

12

8.(1)乃；(2)1+—.

2

【分析】

(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得N=l-sin2x,再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解;

(2)由三角恒等變換可得y=sin12x—()+白，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【解析】

(1)由輔助角公式得/(x)=sinx+cosx=J^sin[x+f,貝!!

所以該函數(shù)的最小正周期T=—=7T；

2

(2)由題意，y-.f\x)f\x~—=V2sinfx+—\>/2sinx=2sinjx+4inx

也

2sinx-cosx=V2sin2x+V2sinxcosx

2)

icos2x

V2--+sin2x=—sin2x--cos2x+—=sinf2x--,

2222214)2

,_7T_谷71兀37r

由xe0,—可得—

2444

所以當(dāng)2x—f=工即x=當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值1+巫.

4282

9.(I)C=-；(II)sinA=(HI)sin(24+a=^^.

413<4J26

【分析】

(1)直接利用余弦定理運(yùn)算即可；

(n)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先計(jì)算出5由43054進(jìn)一步求出5皿2430524,再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.

【解析】

(I)在△ABC中，由”=2夜,b=5,c=JB及余弦定理得

cos。，、〃士=8+2513=也,

2ab2x2>/2x52

TT

又因?yàn)椤！?0,乃)，所以c二-；

4

(H)在AABC中，由C=a=20,c=屈及正弦定理，可得

5

..asinC竺1

sinA=------=----1—乙，=i&

cV13

(HI)由知角A為銳角，由sinA=2叵，可得cosA=Jl-sin?A=巫^,

125

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=一,cos2A=2cos2A-1=—

1313

sin2Ac-+cos2Asin22也+，也=2

所以sin(2A+?)

4413213226

10.選擇條件①(I)8(II)sinC=4,S=6jL

2

選擇條件②(I)6(H)sinC=電,15幣

44

【分析】

選擇條件①(I)根據(jù)余弦定理直接求解，(II)先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinA,再根據(jù)

正弦定理求sinC,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；

選擇條件②(I)先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinAsin8,再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，(H)

根據(jù)兩角和正弦公式求sinC,再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.

【解析】

選擇條件①(I),.,c=7,cosA=--,a+b=\1

7

222

a=b+c-?ccosAa?=(ii_+72_2(11_.7.(_1)

「?a=8

(II)?/cosA=,AEsinA=Jl-cos?A-

77

ac87.A/3

______.q1n(____

由正弦定理得：sinA-sinC-473-sinC"2

S=-^sinC=-(ll-8)x8x—=6^

1

-

選擇條件②(I);cosA8

「?sinA=A/1-cos2A=-----,sinB-Jl-cos2B--------

816

aba\\-a/

------=-------/.----r=-=----r=~?\Q=6

由正弦定理得：sinAsin3377577

~8~/

n、-..37795771

(11)sinC=sin(A+B)=sinAcosn+sin8DcosA=-----x—+------x-=—

8161684

C1〃?「A、A新15s

S=-basinC=—(ll-6)x6x----=-------

2244

/、c乃'A/3+13

11.(I)B=一；(II)

32,2

【分析】

(I)首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定的大?。?/p>

(II)結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有//的三角函數(shù)式，然后由三角

形為銳角三角形確定N/I的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC

的取值范圍.

【解析】

（I）由2/?sinA=結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=GsinA,.，,sin3

2

JT

△力比為銳角三角形，故B

(II)結(jié)合⑴的結(jié)論有：

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

sG=立

="-+立sinA+-cosA+-

222222

=山+勺+，.

I6j2

O<-7V-A<-

32萬(wàn)，717cA兀27c

由，可得:—<A<—,—<A+—<—,

c4n62363

0<A<一

2

1'百+13

則sin[A+?）￡,sinfA+y+—G

22

6+13

即cosA+cosB+cosC的取值范圍是

2'2'

12.詳見解析

【分析】

解法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,6的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，

設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到。的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

解法二：利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得切公的值，得到角A6,C的值，然后根

據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

【解析】

解法一：

由sinA=6sin3可得：f=V3,

不妨設(shè)ci=Jim,b=m（m>0）,

則：c2=a?+b2-2abcosC=3m2+m2-2x>/3mxmx——=m2，即c=機(jī).

2

選擇條件①的解析：

2

據(jù)此可得：ac=xm=y/3m=V3，m=lf此時(shí)c=〃z=l.

選擇條件②的解析：

1

一,

2

V3c-m-2G.

T=3，則:

選擇條件③的解析:

可得上c=—m=1,c=b,

bm

與條件。=取矛盾，則問題中的三角形不存在.

解法二：sinA-\/3sinB,C——，8="一（A+C）,

6

A5mA=V3sin（A+C）=V3sinfA+.），

hI

sinA=V3sin（?l+C）=y/3sinAl-^-+V~cosA—,

*??sinA——\[3cosA,-*?tanA——\/3,A=——,?*.B=C=—

36

若選①，歐=也，?：a=6b=6c,：.=百，；.c=l;

若選②，csinA=3,則=3,c=2百；

2

若選③，與條件。=揚(yáng)矛盾.

J?2

13.（1）sinC=—；（2）tanZDAC=—

511

【分析】

(1)利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.

(2)根據(jù)cos/AOC的值，求得sinNADC的值，由(1)求得cosC的值，從而求得

sinZZMC,cosZPAC的值，進(jìn)而求得tanNZMC的值.

【解析】

(1)由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB=9+2-2x3x夜xX-=5，所以=

2

由正弦定理得一J=一也nsinC=出叫=立.

sinCsinBb5

(2)由于cosZAOC=-1,ZADC,所以sinZADC=Jl二cos?NAZJC=1.

由于NADCE],,乃)，所以所以cosC=Jl-sin?C=.

所以sinADAC=sin(〃一ZDAC)=sin(ZADC+ZC)

32石(4、近2A/5

=sinZADC?cosC+cosZADC-sinC=——x------F—x—=-----

55I5j525

11V5

由于NDACe0,5所以cosADAC=71-sin2ZD/1C

25

sinZDAC2

所以tanZDAC=

cosZ.DACn

14.(1)6(2)15°.

【分析】

(1)已知角臺(tái)和b邊，結(jié)合。關(guān)系，由余弦定理建立。的方程，求解得出。，。，利用面積公

式，即可得出結(jié)論；

(2)將A=3()o-C1代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)C角的三角

函數(shù)值，結(jié)合。的范圍，即可求解.

【解析】

⑴由余弦定理可得從=2S=a2+c2-lac-cos150°=7c2>

c-2,a-2\/3,.'./\ABC的面積S=—tzcsinB=>/3；

(2)?.?A+C=30°,

sinA+百sinC=sin(30°-C)+\^sinC

=—cosC+—sinC=sin(C+30°)=-，

222

0°<C<30°,.-.30o<C+30°<60°,

.?.C+30°=45°,;.C=15°.

15.(1)y；(2)3+2V3.

【分析】

(1)利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進(jìn)而求得A；

(2)利用余弦定理可得到(AC+A8)2—AC-AB=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最

大值，進(jìn)而得到結(jié)果.

【解析】

(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB>

AC2+AB2-BC2

cosA=

2ACAB2

?.?Aw(0,")，A

(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9>

即(AC+A3)2-ACAB=9.

竺)(當(dāng)且僅當(dāng)4C=AB時(shí)取等號(hào)),

/.9=（AC+AB）2-AC；4B>（AC+AB）2-=|（AC+AB）2,

解得：AC+AB<2y[3（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào)），

..△ABC周長(zhǎng)L=AC+AB+6c43+26，/.△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+26.

冗

16.(1)4=一；(2)證明見解析

3

【分析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，cos2(]+A)+cosA=：可化為

1-cos2A+cosA=—,即可解出；

4

(2)根據(jù)余弦定理可得62+一〃=6°,將b—,=立4代入可找到a/,c關(guān)系,

3

再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出.

【解析】

(1)因?yàn)閏os?(工+A〕+cosA=*,所以sin?A+cosA=*,

U)44

B|J1-cos2A+cosA=—,

4

解得cosA='，又0cAe4，

2

Jt

所以A二—；

3

(2)因?yàn)?='，所以cosA="_+c——―-X,

32bc2

EPb2+c2-a2=bc?>

又b—c=^a②,將②代入①得，b2+c2-3(b-c)2=bc,

即2b?+2c?-5。。=0，而匕〉c，解得b=2c,

所以。=V3c，

故〃2=cr+c2，

即aABC是直角三角形.

17.(1)=—：(2)—.

c35

【分析】

(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長(zhǎng)c的值；

(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得cos3的值，然后由誘導(dǎo)公式可得

sin(B+」71)的值.

2

【解析】

(1)因?yàn)椤?3。力=逝,853=1,

2222

.DCl~+C-b~ZB2(3c)+c—(>/2)日n21

由余弦定理cos3=----------,得一二--------\,即c=一.

lac32x3cxc3

所以c=立.

3

/、e、，sinAcos8

(2)因?yàn)椤?

a2b

abcosBsinB八八.八

由正弦定理-----=-----,得------=-----，所以cos8=2sin3.

sinAsinB2bb

從而cos2_B=(2sinB)2,即cos?B=4(l—cos?3),故cos?6=：.

因?yàn)閟inB>0,所以cosB=2sinB>0,從而cosB=X5.

5

因此sin3+二］=cos3=^^.

I25

18.(I)--；

4

(ID一地+7.

16

【分析】

(I)由題意結(jié)合正弦定理得到a,Ac的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得cosB的值

(II)利用二倍角公式首先求得sin28,cos2B的值，然后利用兩角和的正弦公式可得

sin12B+1y的值.

【解析】

bc

(I)在^^。中，由正弦定理——=----得8sinC=csin5,

sinBsinC

又由3csin8=4t7sinC,得3bsinC=4asinC,即30=4〃.

4?

又因?yàn)槿?C=2Q,得到〃=一。，c=-a.

33

242162

22i2--Cl----Cl[

由余弦定理可得cosB-a+C----=------—啜*

242"2a4

3

(H)由(I)可得sin3=Jl—cos28=m5,

JTs9.97

從而sin28=2sin5cosjB=-----,cos2B=cosB-sin~B=--

88

3石+7

故sin2B+—|=sin28cos——i-cos2Bsin—=-----x------x—=

I6J66828216

b=l

19.(I)《

c=5

(II)-V3.

7

【分析】

(I)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值;

(II)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得sin(3-C)的值.

【解析】

a2+c2-b2_

cos8二~~2

2ac4=3

(I)由題意可得：，b-c-2，解得：，b=7

Q二3c=5

(II)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：sinB=Vl-cos25=—，

2

hccsinB_56

結(jié)合正弦定理——=——可得:sinC=

sinBsinCh

很明顯角C為銳角，故cosC=Jl—sin2C=—,

14

4r-

故sin(B-C)=sin8cosC-cos8sinC=1J3.

20.(1)A=-；(2)sinC二息巫.

34

【分析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：b2+c2-a2=bc，從而可整理出cosA,根據(jù)

Ac(O,〃)可求得結(jié)果；(2)利用正弦定理可得J5sinA+sin3=2sinC，利用

sinB=sin(A+C)、兩角和差正弦公式可得關(guān)于sinC和cosC的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)

系解方程可求得結(jié)果.

【解析】

(1)(sinB-sinC)2=sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC

即：sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc

vAG(O,^)A=y

(2)+匕=2c,由正弦定理得：V2sinA+sinB=2sinC

兀

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=§

..，V2x—+^cosC+-sinC=2sinC

222

整理可得：3sinC—#=JicosC

22

,.,sin2C+cos2C=1/.(3sinC-V6)=3(l-sinC)

解得：sin。=近土臣或縣立

44

2sinC-&sinA=2sinC-逅>0所以sinC>—>故sinC=V6+V2

因?yàn)閟inB=

244

(2)法二：~j2a+h=2c<由正弦定理得：J^sinA+sin3=2sinC

兀

又sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=§

；，72x—+—cosC+-sinC=2sinC

222

C-^=>/6

整理可得：3sinC—?=JicosC，即3sinC-JicosC=2/sin

6)

.-.sin!C--^V|

=-V

由Ce(0爭(zhēng),所以=

.?.)兀、V6+5/2

sinC=sin(—l——)=----------

464

21.(1)B=^；(2)

382

【分析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得

JI1

8=(2)根據(jù)三角形面積公式S.A8c二/aLsinB,又根據(jù)正弦定理和c=l得到S“BC關(guān)于

TT

C的函數(shù)，由于AABC是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于一來計(jì)算。的定義域，最后

2

求解S“A8C(C)的值域.

【解析】

A+rA+r

(1)根據(jù)題意asin-------=Z?sinA,由正弦定理得sinAsin-------=sinBsinA,因?yàn)?/p>

22

A+C

0<A</r,故sinA>(),消去sinA得sin------■=sin6.

2

A+CA+C

0<B<7T,0<-------<萬(wàn)因?yàn)楣?------=5或者-------+8=萬(wàn)，而根據(jù)題意A+B+C=〃,

222

A+CA+C

故------+8=乃不成立，所以------=B,又因?yàn)锳+B+C=?,代入得38=?，所以

22

B=2.

3

JT2

(2)因?yàn)锳ABC是銳角三角形，由(1)知8=—，A+B+C="得到A+C=—》,

33

0<C<-

2

故，解得會(huì)c小