浙江省杭州市蕭山區(qū)蕭山區(qū)新街初級中學2023-2024學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題

第22周校內(nèi)自主作業(yè)（考試時間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.二次函數(shù)的頂點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點式的頂點坐標為，即可求解．【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，故選：C．2.某路口紅綠燈的時間設置為：紅燈30秒，綠燈60秒，黃燈10秒．當人或車隨意經(jīng)過路口時，遇到紅燈的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：根據(jù)題意可得：遇到紅燈的概率，故選：A．3.一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體的最大深度（如圖）．則截面圓中弦的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出的長，即可由垂徑定理求得的長．【詳解】解：由題意得：，，∴，在中，由勾股定理，得，∵，∴，故選：C．4.如果，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個量的比值時，常用的解法是：設一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設的未知數(shù)表示出來，實現(xiàn)約分．根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可分別設出x和y，再代入進行計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴設，，∴．故選：B．5.函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為（）A. B.或 C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義可得且即可，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)．【詳解】解：由題意得，解得：，故選：．6.晚自習時，小敏和小聰在討論一道題目：“已知點O為△ABC外心，∠BOC＝126°，求∠A．”，小敏的解答為：畫△ABC以及它的外接圓O，連結(jié)OB，OC，如圖．由∠BOC＝2∠A＝126°，得∠A＝63°．而小聰說：“小敏考慮的不周全，∠A還應有另一個不同的值．”，下列判斷正確的是（）A.小敏求的結(jié)果不對，∠A應得54°B.小聰說的不對，∠4就得63°C.小聰說的對，且∠A的另一個值是117°D.兩人都不對，∠A應有3個不同值【答案】C【解析】【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∠A還應有另一個不同的值與∠A互補，故＝180°﹣63°＝117°．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及圓周角定理，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，弦與弦交于點．已知，，，則的長為（）A.3 B.4或3 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握同弧所對圓周角相等和相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．設，則，由同弧所對圓周角相等可得出，再根據(jù)對頂角相等得出，即證，得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出的長．【詳解】設，則∵，∴又∵，∴，∴，即，∴解得，∴的長為4或3．故選：B．8.如圖，在矩形中，，，點分別在和上，，為上一點，且滿足．連接、，若，則的長為（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，通過相似找出其他線段與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設長為，借助于相似表示出的長，進一步表示出和的長，最后再利用便可解決問題．【詳解】解：設的長為，，，，又，，．，，，則，又，是等腰直角三角形，則，，．又，．是等腰直角三角形，則，即，解得，即的長為3．故選：C．二、填空題（每小題4分，共24分）9.已知扇形面積為，半徑為6，則扇形的弧長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形面積的計算公式即可求出答案．【詳解】解：設扇形的弧長為，由扇形面積公式可得，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是正確解答的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)，則其頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點式，得到頂點坐標，再求出頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標即可．【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的頂點是，則頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，故答案為：11.有兩道門，各配有2把鑰匙，這4把鑰匙分別放在兩個抽屜里，使每個抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，若從每個抽屜里任取1把鑰匙，則能打開兩道門的概率是______．【答案】【解析】【分析】設第一個門的鑰匙為、，第二個門的鑰匙為、，每個抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，則設一個抽屜里放、，另一個抽屜里放、，結(jié)合題意，做樹狀圖并統(tǒng)計能打開門的結(jié)果數(shù)量，經(jīng)計算即可得到答案．【詳解】設第一個門的鑰匙為、，第二個門的鑰匙為、

每個抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，則設一個抽屜里放、，另一個抽屜里放、

畫樹狀圖為：

共有4種可能的結(jié)果數(shù)，其中從每個抽屜里任取1把鑰匙，能打開兩道門的組合為+、+，占4種組合中的2種；

∴從每個抽屜里任取1把鑰匙，能打開兩道門的概率故答案為：．【點睛】本題考查了概率的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握樹狀圖求概率的方法，從而完成求解．12.已知線段，點是它的黃金分割點，．求______，______．（保留根號）【答案】①.##②.##【解析】【分析】本題考查了黃金分割點的定義“把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比”，熟練掌握黃金分割點的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割點的定義可求出，再根據(jù)線段和差即可得的長．【詳解】解：∵線段，點是它的黃金分割點，，，解得，，故答案為：，．13.已知關(guān)于的二次函數(shù)，當函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，若，則的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．先求對稱軸，確定與關(guān)于對稱軸對稱，分兩種情況：①當N在對稱軸的左側(cè)時，y隨x的增大而減小，②當N在對稱軸的右側(cè)時，y隨x的增大而增大，可得結(jié)論．詳解】解：∵∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴與關(guān)于對稱軸對稱，當N在對稱軸的左側(cè)時，y隨x的增大而減小，∵，∴，當N在對稱軸的右側(cè)時，y隨x的增大而增大，∵，∴，綜上，若，則的取值范圍是或．故答案為：或．14.如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一動點，且．（）當為等邊三角形時，______．（）的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】（）如圖，在的垂直平分線上取點，使得，以點為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點，均有，當為等邊三角形時，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點即為點，過點作于，解直角三角形求出，即可求解；（）連接，與圓交于點，此時，的值最小，過點作于，解直角三角形求出，，進而求出，利用勾股定理求出，即可求出；本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)題意，準確找到點的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）如圖，在的垂直平分線上取點，使得，以點為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點，均有，當為等邊三角形時，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點即為點，過點作于，則，∴四邊形為矩形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（）連接，與圓交于點，此時，的值最小，過點作于，則，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本題8大題，共66分）15.如圖，已知三個頂點的坐標分別為，，，在給出的直角坐標系中：（1）畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的．（2）計算點旋轉(zhuǎn)到點位置時，經(jīng)過的路徑弧的長度．【答案】（1）作圖見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查了作旋轉(zhuǎn)后的圖形，勾股定理，計算弧長，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（）利用弧長公式計算即可求解；【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：由勾股定理可得，，∴弧的長度．16.（1）下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不確定事件？我班體育委員跑步成績?yōu)槊耄╛_____事件）個等腰三角形一定相似．（______事件）（2）在一個盒子中放有三個分別寫有數(shù)字、、的小球，大小和質(zhì)地完全相同．小明從口袋里隨機取出一個小球，記為數(shù)字，將球放回后小明再從個小球中隨機取出一個小球，記為數(shù)字，求的值為的倍數(shù)的概率（要求列舉法或畫樹狀圖說明）【答案】（）不可能事件；隨機事件；（）【解析】【分析】（）根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可；根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可；（）先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式進行計算即可；本題主要考查了事件發(fā)生的可能性大小和樹狀圖或列表格求概率，根據(jù)題意正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念和畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）解：我班體育委員跑步成績?yōu)槊?，是不可能事件；個等腰三角形一定相似，是隨機事件；故答案為：不可能；隨機；（2）畫樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中的值為的倍數(shù)的結(jié)果有種，∴的值為的倍數(shù)的概率的概率為．17.如圖所示，已知，．求的值．【答案】【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過點E，作，交于，證明，因為，得，因為，得，再證明，由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過點E，作，交于∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．18.如圖，的直徑為，弦為的平分線交于點D．（1）求的度數(shù)；（2）求陰影部分的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查角平分線性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理及扇形的面積，（2）中結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線及圓周角定理即可求得答案；（2）連接，根據(jù)圓周角定理求得度數(shù)，再利用扇形面積公式及三角形面積公式計算即可．【小問1詳解】∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴；【小問2詳解】如圖，連接，，，∴，∴，∴，∵，，，即陰影部分的面積為．19.新定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦．（1）如圖，，是的等垂弦，，，垂足分別為，求證：四邊形是方形；（2）如圖，是的弦，作，，分別交于，兩點，連接求證：，是的等垂弦．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得出，即可判定矩形是正方形；（2）連接，由圓心角、弦的關(guān)系可得，由圓周角定理可得，，可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵，是的等垂弦，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，是的等垂弦，∴，∵，，∴，∴矩形是正方形；【小問2詳解】證明：設交于點，連接，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴、是的等垂弦．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角的性質(zhì)，圓心角、弦的關(guān)系，正方形的判定，新定義等垂弦，熟練掌握垂徑定理的定義是解題關(guān)鍵．20.如圖，正方形內(nèi)接于，點E為的中點，連接交于點F，延長交于點G，連接．（1）求證：；（2）若．求和的長．【答案】（1）見詳解（2）FB=【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=BC，可證∠ABD=∠CGB，再證△BFE∽△GFB即可；（2）根據(jù)點E為AB中點，求出AE=BE=3，利用勾股定理求得BD=，CE=，然后證明△CDF∽△BEF，得出DF=2BF，CF=2EF，求出BF=,EF=即可．【小問1詳解】證明：正方形內(nèi)接于，∴AD=BC，∴，∴∠ABD=∠CGB，又∵∠EFB=∠BFG，∴△BFE∽△GFB，∴，即；【小問2詳解】解：∵點E為AB中點，∴AE=BE=3，∵四邊形ABCD為正方形，∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，∵，∴△CDF∽△EBF，∴，∴DF=2BF，CF=2EF，∴3BF=BD=，3EF=，∴BF=，EF=，由（1）得FG=．【點睛】本題考查圓內(nèi)接正方形性質(zhì)，弧，弦，圓周角關(guān)系，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接正方形性質(zhì)，弧，弦，圓周角關(guān)系，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)解題關(guān)鍵．21.已知關(guān)于的二次函數(shù)與一次函數(shù)，令．（1）若的圖象交于軸上的同一點．①求的值；②當為何值時，的值最大，試求出該最大值．（2）當，時，有最小值為，求的值．（3）當時，時，試比較的大小．【答案】（1）①；②當時有最大值，（2）（3）當時，；當時，；當時，【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）①先求出與軸的交點為，把點的坐標代入二次函數(shù)解析式即可解得．②由得到，則，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到在的范圍內(nèi)，隨的增大而減小，則當時有最小值，即，即可解得；（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式和性質(zhì)得到對稱軸為直線．與y軸交點的橫坐標為則在范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，分三種情況進行分析即可得到答案．【小問1詳解】①當時，則，∴與軸的交點為，把代入得，解得．②∵，∴，∵，∴當時有最大值，．【小問2詳解】∵，∴拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，∴在的范圍內(nèi)，隨的增大而減小，∴當時有最小值，即，解得．【小問3詳解】∵的對稱軸為直線，，∴對稱軸為直線．當時，∴在范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，∴當時，