2023-2024學(xué)年河北省滄州市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河北省滄州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的通項公式，則123是該數(shù)列的（）A.第9項 B.第10項 C.第11項 D.第12項〖答案〗C〖解析〗由，解得（舍去），故選：C．2.已知直線方程為，則其傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知直線斜率為，若直線的傾斜角為，則，∵，∴，故選：D．3.已知，，若與垂直，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗，∴，解得，故選：A．4.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為()A.1 B.0C.0或2 D.0或1〖答案〗D〖解析〗當(dāng)AB與CD斜率均不存在時，故得m=0，此時兩直線平行；此時AB∥CD，當(dāng)kAB=kCD時，，得到m=1，此時AB∥CD.故〖答案〗選D．5.若焦點為F的拋物線上一點P的縱坐標(biāo)為，則原點O到直線PF的距離（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得點P的橫坐標(biāo)為，由拋物線定義知，因為且，所以，解得.故選：B．6.已知雙曲線C：（，），若四個點，，，（，）中有三個點在C上，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，關(guān)于原點對稱，線段垂直于y軸且在x軸的同側(cè)，∴不在雙曲線上，將代入雙曲線方程，解得，代入點解得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7.在等差數(shù)列中，p，，且，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，兩式相減得，則，故選：C．8.已知平面上兩定點A，B，滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱作阿氏圓．利用上述結(jié)論，解決下面的問題：若直線與x，y軸分別交于A，B兩點，點M，N滿足，，，則直線MN的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題得，，設(shè)，∵，∴點M在圓：上．∵，∴，整理得，∴點M也在圓：上，同理點N也在這兩個圓上，∴MN是這兩圓的公共弦，兩圓方程作差，得，即直線MN的方程為，故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個單調(diào)區(qū)間 B.有兩個極值點C.有最小值 D.有最大值e〖答案〗AC〖解析〗由已知得，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴只有一個極值點，且在處取得極小值也是最小值，無最大值，故選：AC．10.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比為q（），前n項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.（m，） B.C.是等比數(shù)列 D.〖答案〗ABD〖解析〗，，兩式相除可得，故A正確；因為，由等比數(shù)列求和公式，可得，故B正確；因為（常數(shù)），所以是等差數(shù)列，故C不正確；對于D，，，…，，可看作是以為首項，（）為公比的等比數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD11.在棱長為2的正四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G是△BCD的重心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.〖答案〗AB〖解析〗如圖，取DC的中點M，連接AM，BM，∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正確；取BD的中點H，連接HE，HF，則，，∴HE⊥FH，即，又，∴，，∴，故B正確；由B知，在上的投影向量為，故C不正確；，故D不正確，故選：AB．12.已知是雙曲線C：（，）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.離心率 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗如圖，∵，∴，，∵點F到兩條漸近線的距離相等，∴，故A正確；∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正確；由B知，一條漸近線的斜率，則，故C不正確；由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線被圓截得的弦長為______________．〖答案〗〖解析〗由已知得圓的半徑，圓心為，圓心到直線距離，所以弦長為．故〖答案〗為：.14.已知，則______________．〖答案〗〖解析〗由已知得，則，解得．故〖答案〗為：．15.在棱長為3的正方體中，點到平面的距離為______________．〖答案〗〖解析〗以B為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：，，，因為，所以，又平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，又，∴點到平面的距離．故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且首項為1，，則______________．〖答案〗210〖解析〗由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故〖答案〗為：210.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在△OAB中，O是坐標(biāo)原點，，．（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求△OAB的外接圓方程解：（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．18.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項和，證明：．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，，．由已知得，解得或（舍），∴數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，∴，∴．19.已知P為拋物線C：（）上一點，且點P到拋物線的焦點F的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為10．（1）求p值；（2）過點F作直線l交C于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．解：（1）由拋物線的定義得，故．（2）由（1）得，，則拋物線C的方程為，焦點，設(shè)，，，∴，，當(dāng)M，F(xiàn)不重合時，相減整理得，，∴，即，當(dāng)M，F(xiàn)重合時，滿足上式．∴點M的軌跡方程為．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，則，∴，，曲線在點處的切線方程為，即．（2）由題意得當(dāng)時，恒成立，∴在時恒成立，∵，則，由于二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，∴，即實數(shù)a的取值范圍是．21.如圖，在斜三棱柱中，所有棱長均相等，O，D分別是AB，的中點．（1）證明：平面；（2）若，且，求平面與平面所成角的余弦值．解：（1）連接交于點E，連接OE，，∵O，E分別是AB，的中點，D為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）連接OC，∵，∴為正三角形，∴，∵，且，∴平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O(shè)為原點，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由，可得．則，，，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．22.已知橢圓C：（），F(xiàn)是其右焦點，點在橢圓上，且PF⊥x軸，O為原點．（1）求橢圓C方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩點，且△OMN的面積為，求證：直線OM與ON的斜率之積為定值．解：（1）由已知得，，∵，∴，，∴橢圓C的方程為．（2）設(shè)，，當(dāng)直線MN的斜率不存在時，不妨令點M在x軸上方，點N在x軸下方，此時，，即，且解得：，得，或，，則；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為，代入橢圓方程，整理得，，即，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，設(shè)點O到直線MN的距離為d，則，∴，整理得．∵，∴．綜上，直線OM與ON的斜率之積為定值．河北省滄州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的通項公式，則123是該數(shù)列的（）A.第9項 B.第10項 C.第11項 D.第12項〖答案〗C〖解析〗由，解得（舍去），故選：C．2.已知直線方程為，則其傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知直線斜率為，若直線的傾斜角為，則，∵，∴，故選：D．3.已知，，若與垂直，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗，∴，解得，故選：A．4.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為()A.1 B.0C.0或2 D.0或1〖答案〗D〖解析〗當(dāng)AB與CD斜率均不存在時，故得m=0，此時兩直線平行；此時AB∥CD，當(dāng)kAB=kCD時，，得到m=1，此時AB∥CD.故〖答案〗選D．5.若焦點為F的拋物線上一點P的縱坐標(biāo)為，則原點O到直線PF的距離（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得點P的橫坐標(biāo)為，由拋物線定義知，因為且，所以，解得.故選：B．6.已知雙曲線C：（，），若四個點，，，（，）中有三個點在C上，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，關(guān)于原點對稱，線段垂直于y軸且在x軸的同側(cè)，∴不在雙曲線上，將代入雙曲線方程，解得，代入點解得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7.在等差數(shù)列中，p，，且，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，兩式相減得，則，故選：C．8.已知平面上兩定點A，B，滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱作阿氏圓．利用上述結(jié)論，解決下面的問題：若直線與x，y軸分別交于A，B兩點，點M，N滿足，，，則直線MN的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題得，，設(shè)，∵，∴點M在圓：上．∵，∴，整理得，∴點M也在圓：上，同理點N也在這兩個圓上，∴MN是這兩圓的公共弦，兩圓方程作差，得，即直線MN的方程為，故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個單調(diào)區(qū)間 B.有兩個極值點C.有最小值 D.有最大值e〖答案〗AC〖解析〗由已知得，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴只有一個極值點，且在處取得極小值也是最小值，無最大值，故選：AC．10.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比為q（），前n項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.（m，） B.C.是等比數(shù)列 D.〖答案〗ABD〖解析〗，，兩式相除可得，故A正確；因為，由等比數(shù)列求和公式，可得，故B正確；因為（常數(shù)），所以是等差數(shù)列，故C不正確；對于D，，，…，，可看作是以為首項，（）為公比的等比數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD11.在棱長為2的正四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G是△BCD的重心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.〖答案〗AB〖解析〗如圖，取DC的中點M，連接AM，BM，∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正確；取BD的中點H，連接HE，HF，則，，∴HE⊥FH，即，又，∴，，∴，故B正確；由B知，在上的投影向量為，故C不正確；，故D不正確，故選：AB．12.已知是雙曲線C：（，）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.離心率 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗如圖，∵，∴，，∵點F到兩條漸近線的距離相等，∴，故A正確；∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正確；由B知，一條漸近線的斜率，則，故C不正確；由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線被圓截得的弦長為______________．〖答案〗〖解析〗由已知得圓的半徑，圓心為，圓心到直線距離，所以弦長為．故〖答案〗為：.14.已知，則______________．〖答案〗〖解析〗由已知得，則，解得．故〖答案〗為：．15.在棱長為3的正方體中，點到平面的距離為______________．〖答案〗〖解析〗以B為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：，，，因為，所以，又平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，又，∴點到平面的距離．故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且首項為1，，則______________．〖答案〗210〖解析〗由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故〖答案〗為：210.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在△OAB中，O是坐標(biāo)原點，，．（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求△OAB的外接圓方程解：（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．18.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項和，證明：．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，，．由已知得，解得或（舍），∴數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，∴，∴．19.已知P為拋物線C：（）上一點，且點P到拋物線的焦點F的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為10．（1）求p值；（2）過點F作直線l交C于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．解：（1）由拋物線的定義得，故．（2）由（1）得，，則拋物線C的方程為，焦點，設(shè)，，，∴，，當(dāng)M，F(xiàn)不重合時，相減整理得，，∴，即，當(dāng)M，F(xiàn)重合時，滿足上式．∴