基于問題解決的高中數(shù)學(xué)情境教學(xué)：以“隨機(jī)抽樣”教學(xué)為例

基于問題解決的高中數(shù)學(xué)情境教學(xué)：以“隨機(jī)抽樣”教學(xué)為例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力遠(yuǎn)比單純記憶公式更為重要。本次情境教學(xué)案例以隨機(jī)抽樣為主題，旨在通過實(shí)際場景引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，提升他們的數(shù)學(xué)思維和統(tǒng)計(jì)學(xué)技能。一、利用生活體驗(yàn)問題情境，形成問題意識(shí)創(chuàng)設(shè)生活化的問題情境有助于學(xué)生形象、直觀地理解問題本身的含義，同時(shí)便于培養(yǎng)學(xué)生在生活中用數(shù)學(xué)眼光看待實(shí)際問題的思維。以“隨機(jī)抽樣”為例，首先場景設(shè)定為學(xué)校舉辦了一次奶茶品嘗活動(dòng)，旨在了解學(xué)生對不同奶茶品牌的喜好，以便在學(xué)校食堂引入更受歡迎的奶茶。每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)品嘗來自不同品牌的奶茶，然后投票選擇自己最喜歡的。老師：早上好，同學(xué)們！我們今天有一個(gè)有趣的活動(dòng)——一起來品嘗不同品牌的奶茶。接下來，我們將借此機(jī)會(huì)了解大家對奶茶的喜好。如果你是學(xué)校食堂負(fù)責(zé)人，你會(huì)怎樣了解全校同學(xué)對不同品牌奶茶的喜好呢？學(xué)生：我可能會(huì)在班級群里發(fā)一個(gè)投票，看看大家都喜歡哪個(gè)牌子。老師：那是一個(gè)好方法，但是你有沒有考慮到每個(gè)班級的學(xué)生口味可能不太一樣呢？我們希望能夠全面了解整個(gè)學(xué)校學(xué)生的喜好，所以有沒有其他更全面的方式呢？學(xué)生：難道要全校所有同學(xué)都嘗一遍嗎？這樣好像太費(fèi)時(shí)間了。老師：不一定需要每個(gè)人都嘗試，我們可以通過一種“隨機(jī)抽樣”的方法來了解整個(gè)學(xué)校學(xué)生的口味。這樣可以更有效地了解大家的喜好。你們知道“隨機(jī)抽樣”是什么嗎？學(xué)生：是不是就是從整個(gè)群體里隨機(jī)挑一部分人參與調(diào)查？老師：很好！就是這個(gè)意思。這樣我們就能夠更全面、更客觀地了解學(xué)校同學(xué)的口味，而不僅僅是在一個(gè)小范圍內(nèi)。讓我們來思考一下，如何設(shè)計(jì)一個(gè)合理的隨機(jī)抽樣方案呢？假設(shè)我們只在一個(gè)班級里進(jìn)行投票，會(huì)不會(huì)得出一個(gè)準(zhǔn)確反映全校同學(xué)口味的結(jié)果呢？學(xué)生：可能不太準(zhǔn)確，因?yàn)槊總€(gè)班級學(xué)生的口味可能有差異。老師：對，你說得很對。如果我們希望了解整個(gè)學(xué)校的情況，我們就需要考慮到所有班級的差異。那么，如果我們要從每個(gè)班級中選擇代表性的學(xué)生，應(yīng)該怎么辦呢？學(xué)生：我們可以從每個(gè)班級中隨機(jī)選擇一些人來參與。老師：很好，你提到了隨機(jī)選擇，這正是隨機(jī)抽樣的核心。通過隨機(jī)抽樣，我們能夠在全體學(xué)生中公平地選擇代表樣本，避免了僅僅在一個(gè)班級中進(jìn)行調(diào)查可能導(dǎo)致的片面性。學(xué)生：但是，老師，我們要怎么確保隨機(jī)抽樣的公正性呢？老師：這是一個(gè)很關(guān)鍵的問題。我們可以使用不同的方法，比如使用學(xué)生的學(xué)號進(jìn)行編號，然后利用隨機(jī)數(shù)生成器或其他方法進(jìn)行抽樣。這樣，每個(gè)同學(xué)都有平等的機(jī)會(huì)被選中，確保了抽樣的公正性。學(xué)生：原來如此，這樣就可以更全面地了解大家的口味了。老師：是的，通過合理的隨機(jī)抽樣，我們可以在不浪費(fèi)太多時(shí)間的情況下獲取更全面、更準(zhǔn)確的信息。這也是數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用之一。你們覺得呢？學(xué)生：感覺數(shù)學(xué)還挺實(shí)用的，以前沒想到還能這樣運(yùn)用。老師：數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用，而隨機(jī)抽樣就是其中一個(gè)很好的例子。希望大家在日常生活中也能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式，發(fā)現(xiàn)更多有趣的問題。通過這種生活化的問題情境，學(xué)生更直觀地理解了隨機(jī)抽樣的概念，并開始思考如何在實(shí)際生活中運(yùn)用這個(gè)方法。教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，培養(yǎng)了他們對問題解決的主動(dòng)思考意識(shí)。二、設(shè)置猜想驗(yàn)證問題情境，探明問題根本在問題情境中設(shè)置猜想并進(jìn)行驗(yàn)證可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行問題探究并逐步探明問題的根本。我們繼續(xù)以“隨機(jī)抽樣”為例進(jìn)行詳細(xì)闡述。通過生活化問題情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生對隨機(jī)抽樣的方法產(chǎn)生了興趣，并且想知道是否存在一種更簡單、更直觀的方法來進(jìn)行奶茶品嘗調(diào)查。他們希望能夠通過一種猜想驗(yàn)證的方式探明問題的根本，即是否有一種模式能夠更有效地了解全校學(xué)生對奶茶的喜好。老師：那么，同學(xué)們，我們現(xiàn)在已經(jīng)了解到了隨機(jī)抽樣的方法，但是你們有沒有想過是否存在一種更簡便的方式可用來推斷全校學(xué)生對奶茶的喜好呢？學(xué)生：可以根據(jù)學(xué)生的年級來抽樣，比如每個(gè)年級抽取一些學(xué)生。老師：這是一個(gè)有趣的猜想！那么，我們來驗(yàn)證一下這個(gè)猜想。你們認(rèn)為根據(jù)年級抽樣能夠代表全校學(xué)生的喜好嗎？學(xué)生：如果每個(gè)年級學(xué)生的口味都相似的話，應(yīng)該可以吧。老師：非常好的分析！我們現(xiàn)在來看看之前的奶茶品嘗活動(dòng)記錄，整理出每個(gè)年級學(xué)生對奶茶的喜好情況。我們將根據(jù)這些數(shù)據(jù)來驗(yàn)證你們的猜想。我們先來看看下面這份模擬數(shù)據(jù)：（見表1）學(xué)生：我們還需要考慮到每個(gè)年級的學(xué)生人數(shù)可能會(huì)不一樣。怎么處理這個(gè)問題呢？老師：很敏銳的問題！我們可以考慮按照每個(gè)年級學(xué)生人數(shù)的比例進(jìn)行抽樣，這樣可以更公平地代表每個(gè)年級學(xué)生的喜好。你們覺得怎么樣？學(xué)生：好像挺合理的，這樣每個(gè)年級學(xué)生的喜好就能夠比較均衡地反映出來。通過這個(gè)猜想驗(yàn)證情境，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下思考了根據(jù)年級抽樣的可能性，并且在實(shí)際數(shù)據(jù)處理中考慮了人數(shù)的差異。三、融入數(shù)學(xué)史故事情境，升華問題內(nèi)涵在問題解決的背景下，高中數(shù)學(xué)教師在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境中應(yīng)當(dāng)積極融入數(shù)學(xué)史故事情境。這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能幫助學(xué)生更加深入地了解數(shù)學(xué)歷史。如在隨機(jī)抽樣中，老師決定通過一個(gè)數(shù)學(xué)史故事情境來深入探討隨機(jī)抽樣的問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。故事的背景：20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家阿倫·圖靈在研究計(jì)算機(jī)科學(xué)的過程中提出了著名的“隨機(jī)數(shù)生成器”概念。他意識(shí)到在計(jì)算機(jī)中引入一定的隨機(jī)性可以增加算法的復(fù)雜性和不可預(yù)測性。老師：今天，我們要談?wù)撘粋€(gè)數(shù)學(xué)史上的故事，它涉及計(jì)算機(jī)科學(xué)奠基人之一——阿倫·圖靈。在20世紀(jì)初，他提出了一個(gè)非常有趣的概念——隨機(jī)數(shù)生成器。這個(gè)概念是如何幫助計(jì)算機(jī)更好地完成任務(wù)的呢？學(xué)生：隨機(jī)數(shù)生成器是用來生成隨機(jī)數(shù)的工具，但計(jì)算機(jī)怎么可能生成真正的隨機(jī)數(shù)呢？老師：很好的問題！實(shí)際上，圖靈意識(shí)到真正的隨機(jī)數(shù)在計(jì)算機(jī)中是很難實(shí)現(xiàn)的，因此他提出的是偽隨機(jī)數(shù)生成器。這個(gè)生成器通過一種算法產(chǎn)生看似隨機(jī)的數(shù)字序列。現(xiàn)在，我們把這個(gè)概念與我們之前討論的隨機(jī)抽樣聯(lián)系起來。學(xué)生：難道這和我們平時(shí)在調(diào)查中用的隨機(jī)樣本有關(guān)系嗎？老師：正是如此！圖靈的想法啟發(fā)了我們在統(tǒng)計(jì)學(xué)和調(diào)查中使用隨機(jī)抽樣的方法?，F(xiàn)在，我們來思考一下，如果圖靈在當(dāng)時(shí)要進(jìn)行一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，如研究當(dāng)時(shí)英國人對茶的口味偏好，他可能會(huì)如何設(shè)計(jì)隨機(jī)抽樣實(shí)驗(yàn)？學(xué)生：也許他可以從不同地區(qū)隨機(jī)選取一些家庭，然后詢問他們對茶的喜好。老師：很好的點(diǎn)子！這就是一個(gè)應(yīng)用隨機(jī)抽樣的例子。圖靈可以通過從不同地區(qū)隨機(jī)選擇一些家庭，了解到不同地區(qū)人們的口味偏好，而不僅僅是在一個(gè)地方調(diào)查。這樣，他就可以更全面地了解整個(gè)英國的人們對茶的口味。學(xué)生：那我們能不能自己設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，使用圖靈的偽隨機(jī)數(shù)生成器來進(jìn)行隨機(jī)抽樣呢？老師：有趣的提問！實(shí)際上，我們可以嘗試使用偽隨機(jī)數(shù)生成器來設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，了解同學(xué)們對不同學(xué)科的興趣。通過這樣的實(shí)踐，我們可以更好地理解圖靈的思想，并將其應(yīng)用于解決實(shí)際問題。老師：我們剛才討論了圖靈的偽隨機(jī)數(shù)生成器，他在當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。現(xiàn)在，我們來思考一下隨機(jī)抽樣和隨機(jī)數(shù)生成器在當(dāng)代科技中的應(yīng)用。有沒有同學(xué)知道一些現(xiàn)實(shí)中使用到隨機(jī)性的例子？學(xué)生：是不是密碼生成器用到了隨機(jī)數(shù)？老師：很聰明！沒錯(cuò)，密碼生成器通常會(huì)使用偽隨機(jī)數(shù)生成器來增加密碼的復(fù)雜性，提高安全性。學(xué)生：在計(jì)算機(jī)游戲中，有些隨機(jī)事件的發(fā)生也可能用到隨機(jī)數(shù)吧？老師：沒錯(cuò)！在游戲中，為了增強(qiáng)趣味性，設(shè)計(jì)者會(huì)使用隨機(jī)數(shù)來決定一些事件的發(fā)生，如道具的出現(xiàn)、敵人的行動(dòng)等，使游戲更富挑戰(zhàn)性和變化性。通過融入數(shù)學(xué)史故事情境，學(xué)生不僅了解了數(shù)學(xué)的歷史，還將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合，拓展了對隨機(jī)抽樣的理解，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。四、開展活動(dòng)創(chuàng)設(shè)問題情境，豐富問題內(nèi)容為了加深學(xué)生對隨機(jī)抽樣的理解并提升學(xué)生對知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力，教師決定開展一場實(shí)際的隨機(jī)抽樣活動(dòng)，以構(gòu)建問題情境，豐富問題內(nèi)容。學(xué)生將在活動(dòng)中親身體驗(yàn)隨機(jī)抽樣的過程，從而更深刻地理解相關(guān)概念。老師：大家好！今天我們將進(jìn)行一次實(shí)際的隨機(jī)抽樣活動(dòng)，通過這個(gè)活動(dòng)來感受隨機(jī)抽樣的過程，也讓我們的學(xué)習(xí)更生動(dòng)、有趣。學(xué)生：好期待這個(gè)活動(dòng)！老師：首先，我們要確定我們調(diào)查的主題。你們有什么感興趣的話題可以進(jìn)行樣本調(diào)查呢？學(xué)生：我們可以調(diào)查同學(xué)們對不同種類零食的喜好。老師：非常好！那么，我們將這個(gè)話題作為我們的調(diào)查對象。接下來，我們要確定如何進(jìn)行隨機(jī)抽樣。有什么好的建議嗎？學(xué)生：我們可以寫下同學(xué)們的名字，然后隨機(jī)從中抽取。老師：好主意！現(xiàn)在請你們一起動(dòng)手，寫下同學(xué)們的名字，并準(zhǔn)備進(jìn)行隨機(jī)抽樣。（學(xué)生動(dòng)手寫下名字，教師輔助并提供指導(dǎo)。）學(xué)生：我們寫好了，接下來呢？老師：現(xiàn)在，我們進(jìn)行抽樣。我將使用這個(gè)裝有名字的容器，搖一搖，然后抽出一個(gè)名字。這位同學(xué)將成為我們的樣本。（教師進(jìn)行抽樣，抽出一個(gè)名字）學(xué)生：好刺激??！這樣抽樣感覺很公平。老師：是的，隨機(jī)抽樣的過程就是這么簡單又有趣。接下來，你們可以分組進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，收集同學(xué)們對不同零食的喜好數(shù)據(jù)。（學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)地調(diào)查。）學(xué)生：老師，我們可以用什么圖表來展示我們的調(diào)查結(jié)果呢？老師：這是一個(gè)很好的問題！你們可以使用柱狀圖、餅圖等清晰地呈現(xiàn)同學(xué)們的喜好。這將是一個(gè)很有趣的展示環(huán)節(jié)。