廣東省珠海市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

-2024學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字造的鋼筆或簽字筆將自已的址名和考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.并用B鉛筆將時應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑，不按要求填涂的，答寒無效.2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再進(jìn)涂其他答案，答案不能答在試卷上.3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)城內(nèi)相應(yīng)位里上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4，考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.2.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，則的值為（）A.5B.7C.9D.103.在數(shù)列中，若，，則（）A.B.C.1D.44.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下面說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為函數(shù)的極小值點(diǎn)D.為函數(shù)的極大值點(diǎn)5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.-36或36B.-36C.36D.186.若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（）.A.B.C.2D.7.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.8.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)…….一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記為，例如的n階導(dǎo)數(shù).若，則（）A.B.50C.49D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.可能是奇函數(shù)B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.當(dāng)?shù)臉O大值為17時，D.當(dāng)時，函數(shù)的值域是10.已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（）A.B.數(shù)列的通項公式為：C.數(shù)列的前n項和為：D.數(shù)列為遞減數(shù)列11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)B.若，則為奇函數(shù)C.若的最小值為0，則D.若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)12.已知，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列的前項和為，則該數(shù)列的通項公式為B.設(shè)是數(shù)列的前項的乘積，且，則該數(shù)列的通項公式C.數(shù)列中的可以等于32D.若是等比數(shù)列的前項和，則也成等比數(shù)列三?填空題13.在等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，則___________.14.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足關(guān)系式，則的值為___________.15.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列的通項公式為，若，則數(shù)列的前30項和為___________.16.定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為___________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）已知函數(shù)在時取得極大值4.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.18.（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前21項和.19.（12分）記為數(shù)列的前n項和.已知.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值.20.（12分）某市城郊由3條公路圍成的不規(guī)則的一塊土地（其平面圖形為圖所示）.市政府為積極落實“全民健身”國家戰(zhàn)略，準(zhǔn)備在此地塊上規(guī)劃一個體育館.建立圖所示的平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)的圖象由曲線段和直線段構(gòu)成，已知曲線段可看成函數(shù)的一部分，直線段（百米），體育館平面圖形為直角梯形（如圖所示），，.（參考數(shù)據(jù)：）（1）求函數(shù)的解析式；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使體育館平面圖形面積最大？若存在，求出該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；若不存在，請說明理由.21.（12分）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）證明：.22.（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.參考答案：1.A【分析】根據(jù)常用函數(shù)的求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可判斷.【詳解】對A，，正確；對B，，錯誤；對C，，錯誤；對D，，錯誤.故選：A.2.B【分析】由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，求出和，然后利用通項公式即可求出.【詳解】設(shè)在等差數(shù)列的公差為，，解得，故，故選B.3.A【分析】根據(jù)給定條件，探求出數(shù)列的周期，再利用周期性計算即得.【詳解】在數(shù)列中，由，，得，，，因此數(shù)列是周期性數(shù)列，周期為3，所以.故選：A4.D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象確定原函數(shù)的單調(diào)性，逐項分析即可求得結(jié)論.【詳解】由圖象知，不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故為極小值點(diǎn)，2為極大值點(diǎn)，對照選項，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D.5.C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行計算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.6.A【分析】求導(dǎo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)線距求解.【詳解】∵，設(shè)為所求的點(diǎn)，則得，，則點(diǎn)P到直線的最小距離為.故選：A.7.C【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.8.A【分析】根據(jù)條件，列舉的前幾項，根據(jù)規(guī)律，寫出，代入，即可求解.【詳解】由，，，，依此類推，，所以.故選：A9.ABC【分析】由奇函數(shù)的定義可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性可判斷BCD.【詳解】因為對，，顯然當(dāng)時，為奇函數(shù)，即A正確；因為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；由得，結(jié)合選項B可知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，此時函數(shù)的極大值為，所以，故C正確；由B可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以無最大值，無最小值，故D錯誤.故選：ABC.10.ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求數(shù)列通項公式；利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和；根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又因為當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，，所以，故C正確；因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選：ACD.11.ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性進(jìn)行逐項判斷.【詳解】解：由題意得：對于選項A：若為奇函數(shù)，，則，故，又，是偶函數(shù)，故A正確；對于選項B：若，又，則，故，，當(dāng)時，，是奇函數(shù)，當(dāng)時，，不是奇函數(shù)，所以不一定是奇函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：若的最小值為0，，，則，故C正確；對于選項D：若為偶函數(shù)，，，，解得，故，，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD12.BC【詳解】解析：A選項的結(jié)果為所以A選項不正確；B選項用退位作商法C選項滿足n≥2時，，然后用累加法得結(jié)果；D選項，首項為1，公比為-1的等比數(shù)列就不滿足，所以D選項不正確.故選BC.13.2【分析】利用等差數(shù)列通項公式基本量計算和等比中項的性質(zhì)得到方程，求出公差，檢驗后得到答案.【詳解】等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，可得，即為，化為，解得或，若，即有4，6，9成等比數(shù)列，滿足要求；若，即有1，0，0不成等比數(shù)列.則成立.故答案為：214.【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，代入計算即可.【詳解】由進(jìn)行求導(dǎo)得：，可得：，解得.故答案為：15.240【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，采用并項求和的方法，即可求得答案.【詳解】由題意知，，故數(shù)列的前30項和為，故答案為：24016.【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，由此可解得原不等式的解集，注意對討論.【詳解】，，即的周期為4，，是定義在上的奇函數(shù)，.①當(dāng)時，令，，即在R上單調(diào)遞減，，，不等式的解集為；②時，時，不等式成立.綜上，不等式的解集為.故答案為：.17.【詳解】（1），由題意得，解得.此時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以在時取得極大值.所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因為，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，，最小值為0.18.【詳解】（1）設(shè)公差為，由題設(shè)有，解得，，所以.（2）由題設(shè)，.所以數(shù)列的前21項和為211.19.【詳解】（1）因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列.（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，.[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，.20.【詳解】（1）由題意，因為在曲線上，即，，所以，.又因為，，所以線段方程為，所以，.所以函數(shù)的解析式為：.（2）由題意及（1）得，在中，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則.又，，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直角梯形的面積，即，所以.令，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以時，函數(shù)取得最大值.故在線段上存在點(diǎn)，使體育館平面圖形面積最大，且到的距離（百米）.21.【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵是公差為的等差數(shù)列，∴，∴，∴當(dāng)時，，∴，整理得：，即，∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴22.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)