向量組的線性關(guān)系

關(guān)于向量組的線性關(guān)系12一、線性組合與線性表示為組合系數(shù).稱

設(shè)有n維向量組如果存在一組數(shù)則稱是向量組的線性組合;定義1線性表示。稱可由若向量可以由向量組的線性即存在一組數(shù)使得組合來表示，第2頁,共47頁，2024年2月25日，星期天3觀察三個向量之間的關(guān)系，有設(shè)由三維向量我們稱是和的線性組合。組成的向量組，也稱可由和線性表示。例1.第3頁,共47頁，2024年2月25日，星期天4觀察三個向量之間的關(guān)系，有觀察四個向量之間的關(guān)系，有例.例.第4頁,共47頁，2024年2月25日，星期天5任一n維向量都可由n維單位向量組,,,+線性表示，即+第5頁,共47頁，2024年2月25日，星期天6而三維基本單位向量中任何一個向量，都不能由其他兩個向量線性表示。n維基本單位向量它們之間彼此是線性無關(guān)(相互獨立)的。中任何一個向量，也不能由其他向量線性表示。第6頁,共47頁，2024年2月25日，星期天7設(shè)即=++（1）第7頁,共47頁，2024年2月25日，星期天8第8頁,共47頁，2024年2月25日，星期天9定理1

設(shè)是為

n維列向量組，可由線性表示有解其中因為中每個向量都可由向量組本身(2)向量組線性表示，(1)零向量可由任一組向量線性表示。第9頁,共47頁，2024年2月25日，星期天10例2.已知問是否可由線性表示？如能線性表示解:設(shè)有數(shù)就寫出表達式.使第10頁,共47頁，2024年2月25日，星期天11有唯一解第11頁,共47頁，2024年2月25日，星期天12練習.已知問是否可由線性表示？如能線性表示解:設(shè)有數(shù)就寫出表達式.使第12頁,共47頁，2024年2月25日，星期天13同解方程組為令得k為任一常數(shù).第13頁,共47頁，2024年2月25日，星期天14例3.

判斷是否為向量組的線性組合？解:

設(shè)對矩陣第14頁,共47頁，2024年2月25日，星期天15若第15頁,共47頁，2024年2月25日，星期天16觀察三個向量之間的關(guān)系，有設(shè)由三維向量又可以寫成組成的向量組，引例第16頁,共47頁，2024年2月25日，星期天17二、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念如果存在一組不全為0的數(shù)設(shè)為m個n維向量組，，使成立，則稱向量組線性相關(guān)。否則稱則對任意不全為0的數(shù)，都有線性無關(guān)，即當且僅當時，式才成立。線性無。關(guān)而線性相關(guān)時，除了組合系數(shù)全等于0使等式成立外還能找到不全為0的數(shù)使等式。成立若定義1第17頁,共47頁，2024年2月25日，星期天18根據(jù)向量的線性運算，只能得：例如則線性無關(guān)。第18頁,共47頁，2024年2月25日，星期天19線性相關(guān)。例4.

已知即判別是否線性相關(guān)。解:

因為當向量組只含一個向量時，為線性無關(guān)向量組.當為線性相關(guān)向量組;當特別第19頁,共47頁，2024年2月25日，星期天20當向量組含兩個非零向量時，設(shè)線性相關(guān)與對應(yīng)分量成正比與即與的對應(yīng)分量成比例.證明:線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)或與或例5.使得若第20頁,共47頁，2024年2月25日，星期天21例如對應(yīng)分量不成比例，線性無關(guān)。對應(yīng)分量成比例，線性相關(guān)。幾何上說向量共線。第21頁,共47頁，2024年2月25日，星期天22例6.求證含有零向量的向量組必線性相關(guān),則此向量組必定線性相關(guān)。證明:設(shè)向量組中，取數(shù)必有第22頁,共47頁，2024年2月25日，星期天23線性相關(guān)線性相關(guān).即如果部分組線性相關(guān)，則整體組也線性相關(guān)。定理2.證明:線性相關(guān)因為則存在一組不全為0的數(shù)使成立，因此有其中不全為零。線性相關(guān)。部分相關(guān)，整體相關(guān)！第23頁,共47頁，2024年2月25日，星期天24線性無關(guān)線性無關(guān).即：如果整體組線性無關(guān)，則部分組也線性無關(guān)。定理3.利用定理2，用反證法。定理2和定理3說明了全體向量組和部分向量組之間的關(guān)系。整體無關(guān)，部分無關(guān)！第24頁,共47頁，2024年2月25日，星期天25若線性無關(guān)，則線性無關(guān)。即：原來無關(guān)，延長無關(guān)！原來相關(guān)，縮短相關(guān)！若線性相關(guān)，則線性相關(guān)。已知第25頁,共47頁，2024年2月25日，星期天26證明：假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)使得則因此必線性相關(guān)。第26頁,共47頁，2024年2月25日，星期天271、用數(shù)字表示的向量組的線性相關(guān)性的判別已知解:設(shè)有數(shù)使得例7.

判別下列向量組的線性相關(guān)性三、向量組線性相關(guān)性的判別下面分別用數(shù)字表示的具體向量組的線性相關(guān)性和對字母表示的抽象向量組的線性相關(guān)性進行判別。第27頁,共47頁，2024年2月25日，星期天28即有得同解方程組第28頁,共47頁，2024年2月25日，星期天29得同解方程組令（k為任意實數(shù)）由得此向量組線性相關(guān)。方程組有非零解，(未知數(shù)個數(shù)n),此向量組線性相關(guān)。第29頁,共47頁，2024年2月25日，星期天30小結(jié)首先設(shè)有數(shù)使得歸結(jié)為判別齊次線性方程組是否有非零解的問題。用數(shù)字表示的向量組的線性相關(guān)性的判別方法，第二步將代入得齊次線性方程組。第30頁,共47頁，2024年2月25日，星期天31方程組有非零解，有則稱向量組線性相關(guān)。方程組只有零解，則稱向量組線性無關(guān)。下面介紹利用矩陣的秩來判別向量組的線性相關(guān)性的方法。這是判別向量組線性相關(guān)性的主要方法。第三步根據(jù)方程組的解來判別線性相關(guān)還是線性無關(guān)：第31頁,共47頁，2024年2月25日，星期天32定理4有非零解線性相關(guān)秩（無關(guān)）（只有零解））（秩此定理是證明向量組線性相關(guān)性的基本方法。推論2設(shè)n維向量組中含有m個向量,當m>n

時，此向量組必定線性相關(guān)。推論1當m=n時，即向量個數(shù)=分量個數(shù)時,線性相關(guān)（線性無關(guān)）向量組構(gòu)成行列式的值為零，即第32頁,共47頁，2024年2月25日，星期天33判斷，，，，的線性相關(guān)性.例8.解:第33頁,共47頁，2024年2月25日，星期天34線性相關(guān).第34頁,共47頁，2024年2月25日，星期天35例9.

判斷下列向量組的線性相關(guān)性解:線性無關(guān).第35頁,共47頁，2024年2月25日，星期天36解:線性相關(guān).第36頁,共47頁，2024年2月25日，星期天372、對字母表示的抽象向量組的線性相關(guān)性的判別利用相關(guān)性的定義和反證法判別。判別方法：第37頁,共47頁，2024年2月25日，星期天38方程組只有零解，試證向量組整理得即證明:例10.設(shè)向量組線性無關(guān)，也線性無關(guān)。

因為向量組線性無關(guān)，所以必有從而設(shè)存在數(shù)使得線性無關(guān)。第38頁,共47頁，2024年2月25日，星期天39例11.證明:已知證明線性無關(guān)，線性相關(guān)。設(shè)存在數(shù)已知只有線性無關(guān)，使得即故向量組線性相關(guān)。不全為零，第39頁,共47頁，2024年2月25日，星期天40定理5其中至少有一個向量是其余m－1個向量的線性組合。線性相關(guān)證明:必要性：線性相關(guān)，不全為0的數(shù)則存在一組使不妨設(shè)，則即是的線性組合.第40頁,共47頁，2024年2月25日，星期天41組合，即存在不全為0的數(shù)使線性相關(guān).不全為0，由于則中至少有一個向量是其余向量的線性組合，不妨設(shè)是其余向量的線性充分性：因第41頁,共47頁，2024年2月25日，星期天42向量可由線性表示，這說明線性相關(guān)；而向量組中任一向量都不能被其他向量線性表示,其線性無關(guān)。一個向量組中有沒有某個向量可由其余向量線性表示，這是向量組的一種屬性，稱為向量組的線性相關(guān)性。第42頁,共47頁，2024年2月25日，星期天43線性無關(guān)，線性相關(guān)，則可由A線性表示且表法唯一。證明:因為線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)使成立。由于線性無關(guān)，必定，定理6故第43頁,共47頁，2024年2月25日，星期天44故表示唯一。又設(shè)是另一種表示形式。兩式相減已知線性無關(guān)，必有第44頁,共47頁，2024年2月25日，星期天45已知向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)。證明①可由線性表示；②不可由線性表示。故線性無關(guān)，線性表示?？捎散倬€性無關(guān)，②假設(shè)可由線性表示，使即存在由①，，可由線性表示，可由線性表示，線性無關(guān)相矛盾。與代入上式，證明