河北省永年縣第一中學2023-2024學年高三下學期聯(lián)考數學試題含解析

河北省永年縣第一中學2023-2024學年高三下學期聯(lián)考數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為等比數列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．2．函數的圖像大致為（）.A． B．C． D．3．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．4．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構成一個新數列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．10955．的展開式中的一次項系數為（）A． B． C． D．6．對某兩名高三學生在連續(xù)9次數學測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數學成績分析．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．17．設不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為A． B．C． D．8．設全集集合，則（）A． B． C． D．9．已知集合,則（）A． B． C． D．10．中國古典樂器一般按“八音”分類．這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器．現從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）A． B． C． D．11．函數f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于直線x＝對稱，則函數f(x)的解析式為（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)12．已知函數fx=sinωx+π6+A．16,13 B．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．14．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.15．在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數的圖象經過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.16．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數方程為（為參數），直線經過點且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標方程和直線的參數方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點，求.18．（12分）如圖，點是以為直徑的圓上異于、的一點，直角梯形所在平面與圓所在平面垂直，且，.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.19．（12分）已知函數，.（1）若時，解不等式；（2）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.20．（12分）如圖，己知圓和雙曲線，記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.（1）若，且恰為的左焦點，求的兩條漸近線的方程；（2）若，且，求實數的值；（3）若恰為的左焦點，求證：在軸上不存在這樣的點，使得.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.22．（10分）已知函數f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數的底，k為常數）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據等比數列的下標和性質可求出,便可得出等比數列的公比,再根據等比數列的性質即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數列的公比為,則當時,,∴；當時,,∴.故選：C．【點睛】本題主要考查等比數列的性質應用,意在考查學生的數學運算能力,屬于基礎題.2、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數,則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.3、C【解析】

由，,利用平面向量的數量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.4、D【解析】

確定中前35項里兩個數列中的項數，數列中第35項為70，這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得，然后可求和．【詳解】時，，所以數列的前35項和中，有三項3，9，27，有32項，所以．故選：D．【點睛】本題考查數列分組求和，掌握等差數列和等比數列前項和公式是解題基礎．解題關鍵是確定數列的前35項中有多少項是中的，又有多少項是中的．5、B【解析】

根據多項式乘法法則得出的一次項系數，然后由等差數列的前項和公式和組合數公式得出結論．【詳解】由題意展開式中的一次項系數為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理的應用，應用多項式乘法法則可得展開式中某項系數．同時本題考查了組合數公式．6、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內，②正確；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內的面積，根據幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點，在區(qū)域內是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.8、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.9、B【解析】

計算，再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數，故.故選：.【點睛】本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.10、B【解析】

分別求得所有基本事件個數和滿足題意的基本事件個數，根據古典概型概率公式可求得結果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數和滿足題意的基本事件個數.11、D【解析】

由函數的周期求得，再由平移后的函數圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數的周期求得，再由平移后的函數圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因為函數的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數的圖像向右平移個單位后，得到圖像所對應的函數解析式為，由此函數圖像關于直線對稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數的解析式為，故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及函數的解析式的求解，其中解答中根據三角函數的圖象變換得到，再根據三角函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.12、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時，又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得：ω∈本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦型函數的值域求解參數范圍的問題，關鍵是能夠結合正弦型函數的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關于參數的不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，則，得到，，利用向量的數量積的運算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設，則，又由，，所以為的中點，為的三等分點，則，，所以．【點睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算法則，以及向量的共線定理和向量的數量積的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．14、【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.15、【解析】

結合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數性質進一步求解參數即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調，將，代入的表達式有由知，因此.故答案為：【點睛】本題考查由三角函數圖像求解解析式，數形結合思想，屬于中檔題16、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由曲線的參數方程消去參數可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標方程；直接利用直線的傾斜角以及經過的點求出直線的參數方程即可；（2）將直線的參數方程，代入曲線的普通方程，整理得，利用韋達定理，根據為的中點，解出即可.【詳解】（1）由（為參數）消去參數，可得，即，已知曲線的普通方程為，，，，即，曲線的極坐標方程為，直線經過點，且傾斜角為，直線的參數方程：（為參數，）.（2）設對應的參數分別為，.將直線的參數方程代入并整理，得，，.又為的中點，，，，，即，，，，即，.【點睛】本題考查了圓的參數方程與極坐標方程之間的互化以及直線參數方程的應用，考查了計算能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，證明,則平面平面，則可證平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，則點到平面的距離可求.【詳解】解：（1）如圖：取的中點，連接、.在中，是的中點，是的中點，平面平面,故平面在直角梯形中，，且，∴四邊形是平行四邊形，，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圓的直徑，點是圓上異于、的一點，又∵平面平面，平面平面平面，可得是三棱錐的高線.在直角梯形中，.設到平面的距離為，則，即由已知得，由余弦定理易知：，則解得，即點到平面的距離為故答案為：.【點睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）零點分段法，分，，討論即可；（2）當時，原問題可轉化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時，，當時，原不等式可化為，解得，所以，當時，原不等式可化為，解得，所以，當時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當時，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及不等式能成立求參數，考查學生的運算能力，是一道容易題.20、（1）；（2）；（2）見解析．【解析】

（1）由圓的方程求出點坐標，得雙曲線的，再計算出后可得漸近線方程；（2）設，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后求得坐標，計算；（3）由已知得，設，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后整理，可解得，，求出，從而可得，由，可知滿足要求的點不存在．【詳解】（1）由題意圓方程為，令得，∴，即，∴，，∴漸近線方程為．（2）由（1）圓方程為，，設，由得，(*)，，，，所以，即，解得，方程(*)為，即，，代入雙曲線方程得，∵在第一、四象限，∴，，∴．（3）由題意，，，，，設由得：，，由得，解得，，，所以，，，當且僅當三點共線時，等號成立，∴軸上不存在點，使得．【點睛】本題考查求漸近線方程，考查圓與雙曲