人教版高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)3

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型

來描述.本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會(huì)

直線上升、指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長的不同，應(yīng)用函數(shù)模型解決簡單問題.課本對(duì)幾種不同增長

的函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用，都是通過實(shí)例來實(shí)現(xiàn)的.通過教學(xué)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來自現(xiàn)實(shí)生

活，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中是有用的.

三維目標(biāo)

1.借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及基函數(shù)的

增長差異.

2.恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的三種表示方法(解析式、表格、圖象)并借助信息技術(shù)解決一些實(shí)際

問題.

3.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會(huì)直線上升、

指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長的不同.

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)模型解決簡單問題.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路I.(事例導(dǎo)入)

一張紙的厚度大約為0.01cm,一塊磚的厚度大約為10cm,請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算將一張紙對(duì)

折〃次的厚度和〃塊磚的厚度，列出函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算〃=20時(shí)它們的厚度.你的直覺與

結(jié)果一致嗎？

解：紙對(duì)折”次的厚度：犬〃)=0.01?2"(cm),〃塊磚的厚度：g(")=.10〃(cm),./(20)心105m,

§(20)=2m.

也,許同學(xué)們感到意外，通過對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)大家對(duì)這些問題會(huì)有更深的了解.

思路2.(直接導(dǎo)入)

請(qǐng)同學(xué)們回憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本節(jié)我們將通過實(shí)例比較

它們的增長差異.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù).

(2)正方形的邊長為x,面積為y,把y表示為x的函數(shù).

(3)某保護(hù)區(qū)有I單位面積的濕地，由于保護(hù)區(qū)的努力，使?jié)竦孛娣e每年以5%的增長率

增長，經(jīng)過x年后濕地的面積為y,把y表示為x的函數(shù).

(4)分別用表格、圖象表示上述函數(shù).

(5)指出它們屬于哪種函數(shù)模型.

(6)討論它們的單調(diào)性.

(7)比較它們的增長差異.

(8)另外還有哪種函數(shù)模型與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān).

活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，

對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.

(1)總價(jià)等于單價(jià)與數(shù)量的積.

(2)面積等于邊長的平方.

(3)由特殊到一般，先求出經(jīng)過1年、2年…

(4)列表畫出函數(shù)圖象.

(5)引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的函數(shù)模型.

(6)結(jié)合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調(diào)性.

(7.)讓學(xué)生自己比較并體會(huì).

(8)其他與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型.

討論結(jié)果：⑴

(2)y=x2.

(3)y=(l+5%上

(4)如下表_______________________________

X123456

y=x123456

149162536

>=(1+5%尸1.051.101.161.221.281.34

它們的圖象分別為圖1,圖2,圖3.

-母12X-1012X一丁;馬精晃我她之

圖1圖2圖3

(5.)它們分別屬于：y=Ax+b(直線型)，y=ax2+bx+c(a^0,拋物線型)，y=5+〃(指

數(shù)型).

(6)從表格和圖象得出它們都為增函數(shù).

(7)在不同區(qū)間增長速度不同，隨著x的增大y=(l+5%)，的增長速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)

大于另外兩個(gè)函數(shù).

(8)另外還有與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模.型，形如y=lo&x+6,我們把它叫做對(duì)數(shù)型函數(shù).

應(yīng)用示例

例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如

下：

方案一：每天回報(bào)40元；

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：我們可以先建立三

種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù).

解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40(xWN*)進(jìn)行描述；方案二可

以用函數(shù)y=10x(xCN*)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y=0.4X2C(xGN*)進(jìn)行描述.三個(gè)

模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是遞增函數(shù)模型.要對(duì)三個(gè)方案做出選擇，就要對(duì)它

的增長情況進(jìn)行分析.我們先用計(jì)算機(jī)計(jì)算一下三種所得回報(bào)的增長情況.

方案一方案二方案三

xl天

y/元增加量/元y阮增加量/元y/元增加量/元

140100.4

240020100.80.4

340030101.60.8

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

7400701025.612.8

8400801051.225.6

94009010102.451.2

1040010010204.8102.4

????????????.????????

3040030010214748364.8107374182.4

再作出三個(gè)函數(shù)的圖41（圖4）.

，尸0.4x2'1

140

120

100,.?*J=10JC

80

,?????/

60/

,”???4

40-?—?—?—?2^>—?一?—―）=40

20??一-?一

?-----------1.

O9468in1?x

圖4

由表和圖4可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方

案二與方案三的函數(shù)的增長情況很不相同.可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回

報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，

其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩方案增長得快得多，這種增長

速度是方案一、方案二無法企及的.從每天所得回報(bào)看，在第1?3天，方案一最多；在第

4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5?8天，方案二最多；第9天開始，方

案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元.

卜面再看累積的回報(bào)數(shù).通過計(jì)算機(jī)或計(jì)算器列表如下:

數(shù)

回報(bào)M/敘

1234567891011

蒜、、\

一4080120160200240280320360400110

二103060100150210280360450550660

-0.41.22.8612.125.250.8102201.1409.2818.8

因此，投資1?6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8?10

天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇方案三.

針對(duì)上例可以思考下面問題：

①選擇哪種方案是依據(jù)一天的回報(bào)數(shù)還是累積回報(bào)數(shù).

②課本把兩種回報(bào)數(shù)都列表給出的意義何在？

③由此得出怎樣的結(jié)論.

答案：①選擇哪種方案依據(jù)的是累積回報(bào)數(shù).

②讓我們體會(huì)每天回報(bào)數(shù)的增長變化.

③上述例子只是一種假想情況，但從中我們可以體會(huì)到，不同的函數(shù)增長模型，其增長

變化存在很大差異.

變式訓(xùn)練

某市移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月基礎(chǔ)費(fèi)，然后

每通話1分鐘付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元，若設(shè)

一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)的費(fèi)用分別為M元和”元，那么

(1)寫出巾、與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象；

(3)求出一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)費(fèi)用相同；

(4)若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選搽哪種通訊業(yè)務(wù)較合算.

思路分析：我們可以先建立兩種通訊業(yè)務(wù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的變化情

況，為選擇哪種通訊提供依據(jù).(1)全球通的費(fèi)用應(yīng)為兩種費(fèi)用的和，即月基礎(chǔ)費(fèi)和通話費(fèi)，

神州行的費(fèi)用應(yīng)為通話費(fèi)用；(2)運(yùn)用描點(diǎn)法畫圖，但應(yīng)注意自變量的取值范圍；(3)可利用

方程組求解，也可以根據(jù)圖象回答；(4)求出當(dāng)函數(shù)值為200元時(shí)，哪個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量

的值較大.

(3)根據(jù)圖中兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為250,所以在一個(gè)月內(nèi)通話250分鐘時(shí)，

兩種通訊業(yè)務(wù)的收費(fèi)相同.

(4)當(dāng)通話費(fèi)為200元時(shí)，由圖象可知，yi所對(duì)應(yīng)的自變量的值大于”所對(duì)應(yīng)的自變量

的值，即選取全球通更合算.

另解：當(dāng)力=200時(shí)有0.4x+50=200,二即=375；

當(dāng)y2—200時(shí)有0.6x=200,X2=顯然375>1;0°,

.??選用“全球通”更合算.

點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提

高讀圖的能力.另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型.

例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：

在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金M單位：萬元)隨著利潤M單位.：

萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)

模型：y=0.25x,y=k>g7x+l,y=1.002”,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合

公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的

25%,由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利

潤.于是只需在區(qū)間［10,1000］上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函數(shù)

圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.

解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=0.25x,y=log7x+l,y=1.002*的圖象(圖6).

觀察函數(shù)的圖象，在區(qū)間［10,1000］±,模型y=0.25x,y=1.002,的圖象都有一部分在

直線y=5的上方，只有模型y=log7x+l的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型y

=log7x+l進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求.

下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬.

對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間［10,1000］上遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，y=5,因此，當(dāng)x>

20時(shí)，)，>5,所以該模型不符合要求；

對(duì)于模型>=1.002，，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)xo

滿足1.002xo=5,由于它在區(qū)間［10,1000］上遞增，因此當(dāng)x>xo時(shí)，y>5,所以該模型也不

符合要求；

對(duì)于模型y=log7x+l,它在區(qū)間［10,1000］上遞增，而且當(dāng)x=l000時(shí)，y=log7l000

+1弋4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.

再計(jì)算按模型y=log7x+l獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%,即當(dāng)工引10,1000］時(shí),

是否有!=雄亨1W0.25成立.

-

1-0

-150

00

50

-200

-2'50

令/(x)=log7x+l—0.25x,x￡［10,l000］.利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)式x)的圖象(圖

7),由函數(shù)圖象可知它是遞減的，因此

s

Xx)<X10)?-0.3167<0,即log7x+l<0.25x.

所以當(dāng)xG［10,l000］時(shí)，1哨：1<0.25.

說明按模型y=log7x+l獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.

綜上所述，模型y=log7x+l確實(shí)能符合公司的要求.

變式訓(xùn)練

市場營銷人員對(duì)過去幾年某商品的價(jià)格及銷售數(shù)量的關(guān)系做數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)

律：該商品的價(jià)格每上漲x%(x>0),銷售數(shù)量就減少區(qū)％(其中k為正實(shí)數(shù)).目前，該商品

定價(jià)為a元，統(tǒng)計(jì)其銷售數(shù)量為6個(gè).

(I)當(dāng)寸，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷售的總金額達(dá)到最大？

(2)在適當(dāng)?shù)臐q價(jià)過程中，求使銷售總金額不明增加時(shí)k的取值范圍.

解：依題意，價(jià)格上漲X%后，銷售總金額為

y=a(l+;v%)以1一+％)=]；20[—=2+100(1~k)x+10000].

—

⑴取攵=9，y=]nnn+50x+10000,

所以x=50,

即商品價(jià)格上漲50%,y最大為翔9.

(2)因?yàn)檠?謐耐一區(qū)2+100(1~k)x+10000),

此二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為x=5°([i),在適當(dāng)漲價(jià)過程后，銷售總金額不斷

K

增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量X在｛#v>0｝的一個(gè)子集內(nèi)增大時(shí)，y也增大.

所以50(IT)>0,解得0<女<1.

K

點(diǎn)評(píng)：這類問題的關(guān)鍵在于列函數(shù)解析式建立函數(shù)模型，然后借助不等式進(jìn)行討論.

知能訓(xùn)練

光線通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要損失10%,把幾塊這樣的玻璃重疊起來，設(shè)光線原來的

強(qiáng)度為A,通過X塊玻璃以后強(qiáng)度為y.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)通過多少塊玻璃以后，光線強(qiáng)度減弱到原來的;以下.(lg3%0.4771)

解：(1)光線經(jīng)過1塊玻璃后強(qiáng)度為(1-10%,=0.%；

光線經(jīng)過2塊玻璃后強(qiáng)度為(1一10%)。9&=0.92公

光線經(jīng)過3塊玻璃后強(qiáng)度為(1-10%>0.92%=0.93木

光線經(jīng)過x塊玻璃后強(qiáng)度為0.9%.

.?.y=09%(xGN)

k1

(2)由題意：09%V§.；.09'V§.

兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，xlg0.9<lg1.

1

嗎

Vig0.9<0,

'41g3

,通過11塊玻璃以后，光線強(qiáng)度減弱到原來的g以下.

拓展提升

某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象(如圖8所示).假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)

函數(shù)，并給出下列說法：

①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；

②在第5個(gè)月時(shí)，野生水葫蘆的面積就會(huì)超過30m2；

③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個(gè)月；

④設(shè)野生水葫蘆蔓延到2m2、3m2、6m)所需的時(shí)間分別為小t”ty,則有4+/2=。3；

⑤野生水葫蘆在第1到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個(gè)月之間蔓延的

平均速度.

哪些說法是正確的？

解：①說法正確.

?.?關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，

，可設(shè)y=〃3>0且aWl).，由圖知2=".

，“=2,即底數(shù)為2.

②?.?25=32>30,...說法正確.

③???指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，

二說法不正確.

④fl=l,f2=10g23,f3=K>g26,.,.說法正確.

⑤???指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，，說法不正確.

課堂小結(jié)

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評(píng)價(jià).

引導(dǎo)方法：從基本知識(shí)和基本技能兩方面來總結(jié).

答案：(1)建立函數(shù)模型；(2)利用函數(shù)圖象性質(zhì)分析問題、解決問題.

作業(yè)

課本習(xí)題3.2A組1,2.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)設(shè)計(jì)由學(xué)生熟悉的素材入手，結(jié)果卻出拳簟生的意料，由此使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)

興趣.課本中兩個(gè)例題不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了函數(shù)模型的應(yīng)用I,而且體會(huì)到它們之間的差異；我

們補(bǔ)充的例題與之相映生輝，其難度適中，是各地高考模擬經(jīng)常選用的素材.其中拓展提升

中的問題緊貼本節(jié)主題，很好地體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，是不可多得的素材.

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(情境導(dǎo)入)

國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么.發(fā)明者說:

“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第一個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上

4顆麥粒，……，依次類推，每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直

到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同

意了.假定千粒麥子的質(zhì)量為40g,據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但這仍不能滿

足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長.本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異.

思路2.(直接導(dǎo)入)

我們知道，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logd(a>1),指數(shù)函數(shù)y—a\a>1)與基函數(shù)y=犬(〃>0)在區(qū)間

(0,+8)上都是增函數(shù).但這三類函數(shù)的增長是有差異的.本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)

函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題》

⑴在區(qū)間(0,+8)上判斷y=log2X,y—2x,丫=爐的單調(diào)性.

(2)列表并在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖象.

(3)結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點(diǎn)坐標(biāo).

(4)請(qǐng)?jiān)趫D象上分別標(biāo)出使不等式log2X<2'<x2和log2X<x2<2、成立的自變量X的取值

范圍.

(5)由以上問題你能得出怎樣的.結(jié)論？

討論結(jié)果：

(1)在區(qū)間(0,+8)上函數(shù)y=log2X,y=2x,^=必均為增函數(shù).

(2)見下表與圖9.______________________________________________________

1.

X0.20.61.41.82.22.63.03.4???

0

.y=2*1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556.??

0.040.3611.963.244.846.76911.56???

尸

-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766.??

10g2X

圖9

(3)從圖象看出y=\oS2X的圖象與另外.兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，且總在另外兩函數(shù)的圖

象的下方，y=2,的圖象與y=x2的圖象有交點(diǎn).

(4)不等式bg2X〈2x<x2和kg5</<2,成立的自變量x的取值范圍分別是(2,4)和

容易看出：>=2,的圖象與丫=爐的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(2,4)和(4,16),這表明2、與『在自變

量不同的區(qū)間內(nèi)有不同的大小關(guān)系，有時(shí)2，</,有時(shí)

但是，當(dāng)自變量x越來越大時(shí)，可以看到，y=2'的圖象就像與x軸垂直一樣，2,的值

快速增長，/比起2,來，幾乎有些微不足道，如圖11和下表所示.

X01020304050607080???

1.05E1.07E1.10E1.13E1.15E1.18EL21E

y=2x11024???

+06+09+12+15+18+21+24

010040090016002500360049006400???

圖11

一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y="(a>l)和基函數(shù)y=x"(〃>0),通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間

(0,+8)上，無論〃比。大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，"會(huì)小于爐，但由于爐的

增長快于廣的增長，因此總存在一個(gè)冽，當(dāng)x>xo時(shí)，就會(huì)有爐>非.

同樣地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=lo&Xa>l)和幕函數(shù)y=/(〃>0),在區(qū)間(0,隨著

x的增大，log〃x增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣.盡管在x的一定變化

范圍內(nèi)，logd可能會(huì)大,于/，但由于logd的增長慢于/的增長，因此總存在一個(gè)即，當(dāng)

x,>x()時(shí)，就會(huì)有l(wèi)og?x<Jc".

綜上所述，盡管對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?x(a>l),指數(shù)函數(shù)y=〃(a>l)與暴函數(shù)y=/(">0)在

區(qū)間(0,+8)上都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x

的增大，丫=出(“>1)的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=f(">0)的增長速度，而y

=log?x(a>l)的增長速度則會(huì)越來越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)xo，當(dāng)x>xo時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogd

<?<〃.雖然基函數(shù)y=/(〃>0)增長快于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logd(n>l)增長，但它們與指數(shù)增長

比起來相差甚遠(yuǎn)，因此指數(shù)增長又稱“指數(shù)爆炸”.

應(yīng)用示例

例1某市的一家報(bào)刊攤點(diǎn)，從報(bào)社買進(jìn)晚報(bào)的價(jià)格是每份0.20元，賣出價(jià)是每份0.30

元，賣不掉的報(bào)紙可以以每份0.05元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月(以30天計(jì))里，有20天每

天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)的份數(shù)必須相同，這

個(gè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)多少份,才能使每月所獲的利潤最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多

少元？

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：

設(shè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)x份，顯然當(dāng)［250,400［時(shí)，每月所獲利澗才能最大.而每月

所獲利潤=賣報(bào)收入的總價(jià)一付給報(bào)社的總價(jià).賣報(bào)收入的總價(jià)包含三部分：①可賣出400

份的20天里，收入為20X0.30x;②可賣出250份的10天里，收入為10X0.30X250;③10

天里多進(jìn)的報(bào)刊退回給報(bào)社的收入為10X0.05X(x-250).付給報(bào)社的總價(jià)為30X0.20x.

解:設(shè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)x份晚報(bào)，顯然當(dāng)xe［250,400］時(shí)，每月所獲利潤才能最大.于

是每月所獲利潤y為

y=20X0.30%+10X0.30X250+10X0.05X(x-250)-30X0.20%=0.5x+625,

x《［250,400］.

因函數(shù)y在［250,400］上為增函數(shù)，故當(dāng)x=400時(shí)，y有最大值825元.

例2某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫

升血液中的含藥量〉與時(shí)間r之間近似滿足如圖12所示的曲線.

(1)寫出服藥后y與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時(shí)治療疾病有效，假若某病人一天中第

一次服藥時(shí)間為上午7：00,問一天中怎樣安排服藥的時(shí)間(共4次)效果最佳？

OW0,

解：(1)依題意，得2,20_

--蒙+了，luWIO.

(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后h小時(shí)，則一12i+號(hào)20=4,八=4.因而第二次服藥應(yīng)

在11：00；

設(shè)第三次服藥在第一次服藥后f2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為兩次服藥量的和，即有

一爭當(dāng)一宗‘2—4)+與=4,解得￡2=9,故第三次服藥應(yīng)在16：00；

設(shè)第四次服藥在第一次后4小時(shí)(73>10),則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，此時(shí)血液

中含藥量應(yīng)為第二、三次的和，一2斜一4)+詈20一2施-9)+號(hào)20=4,解得打=13.5,故第四次

服藥應(yīng)在20：30.

變式訓(xùn)練

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題

所用的時(shí)間：講座開始時(shí)，學(xué)生興趣激增；中間有一段不太長的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理

想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用犬x)表示學(xué)生接受概念的

能力［/(x)的值愈大，表示接受的能力愈強(qiáng)］,x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位：分鐘)，可有

以下的公式：

-0.lx2+2.6x+43,0<x<10,

/(%)=<59,10<x<16,

-3x+10746<x<30.

(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長時(shí)間？

(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？

解：⑴當(dāng)OVxWlO時(shí),於)=-0.1卜+2&+43=-0.1(*—13)2+59.9,

知當(dāng)X=10時(shí)，L/U)］max=/(10)=59;

當(dāng)10<xW16時(shí)，40=59；當(dāng)16〈xW30時(shí)，x》)=-3》+107,

知火x)<-3X16+107=59.

因此，開講后10分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，并能持續(xù)6分鐘.

(2)；/(5)=-0.1X(5-13)2+59.9=53.5,犬20)=-3X20+107=47<53.5,

.?.開講后5分鐘時(shí)學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強(qiáng).

點(diǎn)評(píng)：解析式與圖象的轉(zhuǎn)換是函數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)，關(guān)于分段函數(shù)問題更應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練.

知能訓(xùn)練

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場

售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖13(1)的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用

圖13(2)的拋物線段表示.

(1)寫出圖13(1)表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系P=JS；

寫出圖13(2)表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g⑺;

(注：市場售價(jià)和種植成本的單位：元/102kg,時(shí)間單位：天)

活動(dòng)：學(xué)生在黑板上書寫解答.教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正.

300-z,0WW200,

解：(1)由圖13(1)可得市場.售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為負(fù)。=

2r-300,200<W300.

由圖13⑵可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為g(/)=志(L150)2+100,0WfW300.

(2)設(shè)，時(shí)刻的純收益為/?⑺，

則由題意得h(t)=j(t)-g(t).

一高父+1+^^,0WW200,

即h(t)=

171025

—-2~，200<W300.

當(dāng)0W忘200時(shí)，配方整理，得〃(。=一加L50)2+I00,

所以當(dāng)f=50時(shí)，〃⑺取得區(qū)間［0,200］上的最大值100；

當(dāng)200<W300時(shí)，配方整理，得〃(/)=一擊(7—350)2+100,

所以當(dāng)/=300時(shí)，〃(/)取得區(qū)間［200,300」上的最大值87.5.

綜上，由100>87.5可知，觸。在區(qū)間［0,300］上可以取得最大值100,此時(shí)f=50,即從

二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

拓展提升

探究內(nèi)容

①在函數(shù)應(yīng)用中如何利用圖象求解析式.

②分段函數(shù)解析式的求法.

③函數(shù)應(yīng)用中的最大值、最小值問題.

舉例探究：某跨國公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全

部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進(jìn)行調(diào)研，結(jié)果如圖14(1)、

圖14(2)>圖14(3)所示.其中圖14(1)的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)

系：圖14(2)的拋物線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖14(3)的折線表示

的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系.

(1)(2)(3)

圖14

(1)分別寫出國外市場的日銷售量1。、國內(nèi)市場的日銷售量g⑺與第一批產(chǎn)品A上市時(shí)

間，的關(guān)系式；

(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的國內(nèi)和國外日銷售利潤之和超過6300

萬元？

分析：1.利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式.

2.在y［0,40］上，有幾個(gè)分界點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們思考應(yīng)分為幾段.

3.回憶函數(shù)最值的求法.

260WW30,

解：(1次。一

-6/+240,30C/W40,

3

g⑺=一5產(chǎn)+6'(°WfW40).

J3f,0W/W20,

每件產(chǎn)品銷售利潤/?(/)=

(2)A160,20<W40.

3/[--z2+8r|,0<?<20,

I20)

該公司的日銷售利潤F(f)=<60|--r+8^],20</<30,

I20)

60|--r2+240|,30<r<40,

I20J

3

當(dāng)0&W20時(shí)，尸⑺=3*—行祥+8。，先判斷其單調(diào)性.

設(shè)0W?Vf2W20,

33

則F(h)—F(/2)=3f?(一去/+8八)-3f2(—而6+8/2)<0.

???尸⑺在區(qū)間［0,20］上為增函數(shù).

，F(xiàn)(r)max=F(20)=6000<6300.

當(dāng)20<忘30時(shí)，

3

令60(一丞/+8力>6300,

則.7V0f<30；

33

當(dāng)30ctW40時(shí)，F(xiàn)⑺=60(一行尸+240)<60(一行X302+240)=6300,

故在第24,25,26,27,28,29天日銷售利潤超過6300萬元.

點(diǎn)評(píng)：1.利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式，重點(diǎn)是

找出關(guān)鍵點(diǎn).

2.在戶［0,40］上，有幾個(gè)分界點(diǎn)，f=20,f=30兩點(diǎn)把區(qū)間分為三段.

3.二次函數(shù)的最值可用配方法，另外利用單調(diào)性求最值也是常用方法之一.

課堂小結(jié)

本節(jié)學(xué)習(xí)了：①指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異.②基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.

作業(yè)

課本習(xí)題3.2A組3,4.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)設(shè)計(jì)從精彩的故事開始，讓學(xué)生從故事吊底會(huì)數(shù)學(xué)帶來的震撼，然后借助計(jì)算機(jī)感

受不同函數(shù)模型的巨大差異.接著通過最新題型訓(xùn)練學(xué)生利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能

力；并且重點(diǎn)訓(xùn)練了由圖象轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式的能力，因?yàn)檫@是高考的一個(gè)重點(diǎn).本節(jié)的每

個(gè)例題都很精彩，可靈活選用.

備課資料

【備選例題】

【例1】某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運(yùn)輸?shù)脑颍L期只能在當(dāng)?shù)劁N售，當(dāng)?shù)卣畬?duì)該

項(xiàng)特產(chǎn)的銷售投資收益為：每年投入x萬元，可獲得利潤P=一擊。-40）2+100萬元.當(dāng)

地政府?dāng)M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃后對(duì)該項(xiàng)目

每年都投入60萬元的銷售投資，在未來10年的前5年中，每年都從60萬元中.撥出30萬

元用于修建一條公路，5年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該

特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲利潤

159119

Q=一能于60—X）2+為160—x）萬兀?

問從10年的聚逑秒用看，該規(guī)劃方案是否可行？

解：在實(shí)施規(guī)劃前，由題設(shè)尸=一焉（》-40）2+100（萬元），知每年只需投入40萬，即

可獲得最大利潤100萬元.

則10年的總利潤為Wi=100X10=1000（萬元）.

實(shí)施規(guī)劃后的前5年中，由題設(shè)P=一焉。-40）2+100,知每年投入30萬元時(shí)，有最

大利潤「儂、=皆795（萬元）.

O

7953975

前5年的利潤和為丁X5=——（萬元）.

OO

設(shè)在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而用剩下的（60—x）萬元

用于外地區(qū)的銷售投資，則其總利潤為

卬2=—40）2+10（）］X5H—y1^x2+-^xX5

=-5（x-30）2+4950.

當(dāng)X=30時(shí)，（W2）max=4950（萬元）.

從而10年的總利潤為39等75+4950（萬元）.

O

3975,

V—z—+4950>1000,

O

...該規(guī)劃方案有極大實(shí)施價(jià)值.

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

第1課時(shí)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：(1)通過實(shí)例''汽車的行駛規(guī)律”，理解一次函數(shù)、分段函數(shù)的應(yīng)用，提

高學(xué)生的讀圖能力.

(2)通過“馬爾薩斯的人口增長模型”，使學(xué)生學(xué)會(huì)指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，了解函數(shù)模型

在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

過程與方法：在實(shí)際問題的解決中，發(fā)展學(xué)生科學(xué)地提出問題、分析問題的能力，體會(huì)

數(shù)學(xué)與物理、人類社會(huì)的關(guān)系.

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)習(xí)，體.會(huì)數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的興

趣和探究素養(yǎng).

重點(diǎn)、難點(diǎn)

教康重點(diǎn);分段函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)模型的體驗(yàn)與建立.

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路L(情境導(dǎo)入)

在課本第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷

透了腦筋.1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子

的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們幾乎占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75

億只.可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的

載畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞人頭痛不已，他們采用各

種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的

野兔，澳大利亞人才算松了一口氣.

與之相應(yīng)，圖中話道出了其中的意蘊(yùn)：對(duì)于一個(gè)種群，的數(shù)量，如果在理想狀態(tài)(如沒有

天敵、食物充足等)下，那么它將呈指數(shù)增長；但在有限制的環(huán)境中，種群數(shù)量一般符合對(duì)

數(shù)增長模型.上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長差異，這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同

函數(shù)模型的應(yīng)用.

思路2.(直接導(dǎo)入)

上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長差異,這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型

的應(yīng)用.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

(1)我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同.甲家

每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，

超過30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元.小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開

展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過40小時(shí).

設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為於)元(15★》＜40),在乙家租一張球臺(tái)開

展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15WxW40),試求式x)和g(x).

(2)A,B兩城相距100km,在兩地之間距A城xkm處的D地建一核電站，給A,B兩

城供電，為保證城市安全.核電站距城市的距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的

平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)％=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/

月.把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域.

(3)分析以上實(shí)例屬于那種函數(shù)模型.

討論結(jié)果：(1V(X)=5X(15WXW40)；

_J9O,15WxW3O,

S(X)-|2(x-30)+90,3(Kr^40.

(2)y=5/+1(100—療(104W90).

(3)分別屬于一次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、二次函數(shù)模型.

應(yīng)用示例

例1一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖1所示.

,9/(km,h-1)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

O12345〃h

圖1

(1)求圖1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；

(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段

路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時(shí)間《h)的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.

活動(dòng)：學(xué)生先思考討論，再回答.教師可根據(jù)實(shí)際情況，提示引導(dǎo).

圖中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個(gè)時(shí)間段速度不同，汽車?yán)锍?/p>

表讀數(shù)s(km)與時(shí)間r(h)的函數(shù)為分段函數(shù).

解：(1)陰影部分的面積為50X1+80X1+90X1+75X1+65X1=360.

陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km.

<50/+2004,0W

80(f-1)+2054,lWf<2,

(2)根據(jù)圖1,有s=<90(f—2)+2134,

2Wf<3,

750-3)+2224,3Wf<4,

、65?—4)+2299,4〈忘5.

這個(gè)函數(shù)的圖象如圖2所示.

2400

2300

2200

2100

2000

12345

圖2

變式訓(xùn)練

電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A,B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話

時(shí)間.(分鐘)之間關(guān)系如圖3所示(其中MN//CD).

(1)分別求出方案A,B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式和g(x)；

(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A,B兩種優(yōu)惠方案的？并說明理

由.

圖3

解：(1)兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

20,0<x<100,[50,0<x<500,

/(x)=43g(x)=g(%)=43

—x-10,x>100,—x-100,x>500.

110110

3

(2)當(dāng)/(x)=g(x)時(shí)，而r—10=50,.*.x=200.

二當(dāng)客戶通話時(shí)間為200分鐘時(shí)，兩種方案均可；

當(dāng)客戶通話時(shí)間為0WxV200分鐘，g(x)刁(x),故選擇方案A；

當(dāng)客戶通話時(shí)間為x>200分鐘時(shí)，g(x)<y(x),故選方案B.

點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提

高讀圖的能力.另外，本題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫實(shí)際問題的重要模型.

例2人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有

效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766—1834)

就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=_yoe〃，

其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，州表示f=0時(shí)的人口數(shù)，，表示人口的年平均增長率.

下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：

年份1950195119521953195419551956195719