2024年北京市牛欄山一中高一數(shù)學4月份考試卷附答案解析

2024年北京市牛欄山一中高一數(shù)學4月份考試卷（120分鐘）2024.04第一部分（選擇題共24分）一、選擇題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題列出的四個選項中.選出符合題目要求的一項.1．的值為（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則，分別為（

）A．，3 B．3， C．， D．，3．設，，，為平面四個不同點，它們滿足，則（

）A．，，三點共線B．，，三點共線C．，，三點共線D．，，三點共線4．下列條件滿足為直角三角形的個數(shù)為（

）①；②；③A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．已知，那么下列命題成立的是（

）A．若，是第一象限角，則B．若，是第二象限角，則C．若，是第三象限角，則D．若，是第四象限角，則6．函數(shù)圖像上存在兩點，滿足，則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．第二部分（非選擇題共126分）二、填空題共9道小題，其中7-10題，每小題4分，共16分，11-15題，每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡上.7．兩個非零向量，共線，則.8．設，為方程的兩個根，且，則的值為.9．函數(shù)在上的值域為.10．已知，，則與的夾角為．11．函數(shù)圖像上的點向右平移個單位后得到，若落在函數(shù)上，則的最小值為.12．若，則的值.13．如圖，函數(shù)，則；.14．若是奇函數(shù)，則有序實數(shù)對可以是．（寫出你認為正確的一組數(shù)即可）．15．在平面直角坐標系中，，.集合，下列結論正確的是.①點；②若，則；③若，則的最小值為.三、解答題共6道題，共85分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.16．函數(shù)的最小正周期為.(1)求；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間，17．在中，角A，B，C對應邊長分別為a，b，c，其中，，.(1)求c；(2)求.18．在中，角A，B，C對應邊長分別為a，b，c.(1)設，，是的三條中線，用，表示，，；(2)設，，求證：.（用向量方法證明）19．設是方程的一組解，計算：(1)；(2)求的值.20．已知函數(shù)，.(1)求，的值并直接寫出的最小正周期；(2)求的最大值并寫出取得最大值時x的集合；(3)定義，，求函數(shù)的最小值.21．已知集合，對于，，定義A與B的差為，A與B之間的距離為.(1)直接寫出中元素的個數(shù)，并證明：任意，有；(2)證明：任意，有是偶數(shù)；(3)證明：，有.1．B【分析】根據(jù)誘導公式，將所求的角轉化為特殊銳角，即可求解.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查誘導公式求值，熟記公式是解題關鍵，屬于基礎題.2．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，.故選：D3．A【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則得到，即可判斷.【詳解】因為，所以，即，所以，所以，所以，，三點共線.故選：A4．C【分析】利用和差角公式判斷①②，利用特殊值判斷③.【詳解】對于①：，所以，所以，又，，所以，又，所以，則為直角三角形，故①正確；對于②：，則，即，又，所以，則，即為直角三角形，故②正確；對于③：當，，則，，滿足，但是為鈍角三角形，故③錯誤.故選：C5．D【分析】根據(jù)題意，結合三角函數(shù)線，以及三角函數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函數(shù)線，如圖1所示，則，因為，所以，所以A錯誤；對于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函數(shù)線，如圖2所示，則，所以，所以B錯誤；對于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函數(shù)線，如圖3所示，則，所以，所以C錯誤；對于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函數(shù)線，如圖4所示，則，所以，所以D正確.故選：D.6．B【分析】先求出周期，其次根據(jù)，在函數(shù)圖象上，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可得，再聯(lián)立得到值，根據(jù)縮小的取值范圍，最后代入和求值即可.【詳解】周期，因為函數(shù)圖像上存在兩點，，所以，因為，所以，故由正弦函數(shù)圖像的性質可得，聯(lián)立，解得，則，又，所以，所以，故B正確；A錯誤；，故C、D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能夠根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性得到.7．【分析】根據(jù)共線向量的坐標形式可求的值.【詳解】因為，共線，故，故或，而當時，，與題意不合，舍，故，故答案為：.8．【分析】利用韋達定理計算可得.【詳解】因為，為方程的兩個根，所以即，且，又，所以，所以，解得.故答案為：9．【分析】根據(jù)題意，結合余弦函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【詳解】由余弦函數(shù)的性質，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，，又因為，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.10．【分析】根據(jù)題意結合向量的坐標運算求解.【詳解】由題意可知：，可得，且，所以與的夾角為.故答案為：.11．##【分析】先把點代入求出，再把代入，求出值，結合求出其最小值即可.【詳解】因為點在函數(shù)圖像上，所以，由題意可知，又落在函數(shù)上，所以，解得或，即或，又，所以，即的最小值為.故答案為：.12．【分析】利用兩角和的正切公式計算可得.【詳解】因為，則，即，所以所以.故答案為：13．【分析】由周期的定義結合圖象可得，代入點后再結合余弦函數(shù)值可得.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的周期為，所以；根據(jù)五點法，當時，，所以，因為，所以；故答案為：；.14．（答案不唯一）【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)和差角公式將原式化簡整理，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義得到參數(shù)，應該滿足的條件，按等式關系選取答案即可.【詳解】已知，，若是奇函數(shù)，則即可，可以取，.故答案為：（答案不唯一）15．②③【分析】首先求出點所在的平面區(qū)域，再數(shù)形結合即可判斷.【詳解】對于①，因為，，所以，，又，因為，，所以點在邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)（包括邊界上的點），如下圖所示：

顯然，故①錯誤；對于②，若，即在上，則，又，所以，又，、不共線所以，所以，故②正確；對于③，因為，則在以圓點為圓心，半徑為的圓上，由圖可知當在點且在的延長線與圓的交點時取得最小值，且，故③正確.故答案為：②③

16．(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡，再由周期的定義求出；（2）由余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解出即可.【詳解】（1）因為，所以，（2）由（1）可知，，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.17．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求解即可（2）利用正弦定理求解即可【詳解】（1）由余弦定理得，即，解得（負值舍去）.故值為.（2）由正弦定理得.故值為.18．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結合向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結合向量的數(shù)量積的運算公式和數(shù)量積的幾何意義，即可得證.【詳解】（1）解：由，，是的三條中線，可得，，.（2）證明：在中，因為，，所以，可得，則，因為，所以，即.19．(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即，再將所求式子化簡，最后整體代入即可；（2）由將所求式子展開，再代入計算可得.【詳解】（1）因為是方程的一組解，所以，即，即，則.（2）因為又，所以原式，即.20．(1)，最小正周期為.(2)見解析.(3)【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可求，的值，而，故可求的最小正周期.（2）先求出，結合（1）的化簡結果可得何時取何最值.（3）利用（2）的結合可求的解析式，故可求其最小值.【詳解】（1），又，而的最小正周期為，故的最小正周期為.（2）因為，故，故，此時即即.，此時即即.綜上，，對應的的集合為；，對應的的集合為.（3）當時，，由（2）可得；當時，，由（2）可得；當時，，綜上，，故.21．(1)中元素的個數(shù)為；證明見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意分析可知中元素的個數(shù)為，結合定義可得，即可證明結論；（2）根據(jù)題意先證，設，，是使成立的的個數(shù)，可知，即可分析證明；（3）根據(jù)題意分析可得，進而可得結果.【詳解】（1）因為，可知均為2個值可取，所以中元素的個數(shù)為，對于任意，可知，則的結果如下表所示：

01001110可得，所以.（2）設由題意知：，當時，；當時，；綜上所述：，所以；設，，可知，則，所以中1的個數(shù)為k，中1的個數(shù)為，設是使成立的的個數(shù)，則，可得，由此可知：三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．（3）設由（1）可知：，由題意知：，當時，；但，可得，即；當時，，但，可得，即；綜上所述：，由的