有限元理論與方法-第5講

青島大學講稿講授內(nèi)容備注第5講(第5周)附錄1彈性力學的根本方程在有限單元法中經(jīng)常要用到彈性力學的根本方程，關(guān)于它們的詳細推導可從彈性力學的有關(guān)教材中查到。彈性體在載荷作用下，體內(nèi)任意一點的應力狀態(tài)可由6個應力分量，，，，，來表示。其中，，為正應力；，，為剪應力。應力分量的正負號規(guī)定如下：如果某一個面的外法線方向與坐標軸的正方向一致，這個面上的應力分量就以沿坐標軸正，方向為正，與坐標軸反向為負；相反，如果某一個面的外法線方向與坐標軸的負方向一致，這個面上的應力分量就以沿坐標軸負方向為正，與坐標軸同向為負。應力分量及其正方向見圖1。圖1應力分量應力分量的矩陣表示稱為應力列陣或應力向量(1)彈性體在載荷作用下，還將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動和形狀的改變。彈性體內(nèi)任一點的位移可由沿直角坐標軸方向的3個位移分量u，v，w來表示。它的矩陣形式是(2)稱作位移列陣或位移向量。彈性體內(nèi)任意一點的應變，可以由6個應變分量，，，，，來表示。其中，，為正應變；，，為剪應變。應變的正負號與應力的正負號相對應，即應變以伸長時為正，縮短為負；剪應變是以兩個沿坐標軸正方向的線段組成的直角變小為正，反之為負。圖2的(a)，(b)分別為和前正應變狀態(tài)。a正應變b剪應變圖2應變的正方向應變的矩陣形式是(3)稱作應變列陣或應變向量。對于三維問題，彈性力學根本方程可寫成如下形式。1.平衡方程彈性體V域內(nèi)任一點沿坐標軸x，y，z方向的平衡方程為(4)其中，，為單位體積的體積力在x，y，z方向的分量。平衡方程的矩陣形式為〔5〕其中，A是微分算子，即是體積力矢量，。2.幾何方程—應變-位移關(guān)系在微小位移和微小變形的情況下，略去位移導數(shù)的高次冪，那么應變向量和位移向量間的幾何關(guān)系有(6)幾何方程的矩陣形式為(7)其中L為微分算子，即(8)3．物理方程—應力-應變關(guān)系彈性力學中應力-應變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系也稱彈性關(guān)系〔又稱為廣義虎克定律〕。對于各向同性的線彈性材料，應力通過應變的表達式可用矩陣形式表示：(9)其中(10)稱為彈性矩陣。它完全取決于彈性體材料的彈性模量E和泊桑比μ。表征彈性體的彈性，也可以采用拉梅(Lam’e)常數(shù)G和λ：(11)G也稱為剪切彈性模量。物理方程中的彈性矩陣D亦可表示為(12)4.邊界條件彈性體V的全部邊界為S。一局部邊界上單位面積外力，，稱為力的邊界條件，這局部邊界用Sσ表示；另一局部邊界上彈性體的位移，，，稱為幾何邊界條件或位移邊界條件，這局部邊界用Su表示。這兩局部邊界構(gòu)成彈性體的全部邊界，即S=Sσ+Su(13)彈性體在邊界上單位面積的內(nèi)力為，，，根據(jù)平衡應有=，=，=(14)設邊界外法線為N，其方向余弦為nx，ny，nz，那么邊界上彈性體的內(nèi)力可由下式確定(15)式即為力的邊界條件，矩陣形式為(16)在Su上有位移邊界條件u=，v=，w=(17)用矩陣形式表示為(18)以上是三維彈性力學問題中的一組根本方程和邊界條件。同樣，對于平面問題，軸對稱問題等也可以得到類似的方程和邊界條件。5.彈性體的應變能和應變余能單位體積的應變能〔應變能密度〕為(19)應變能是個正定函數(shù)，只有當彈性體內(nèi)所有的點都沒有應變時，應變能才為零。單位體積的余能〔余能密度〕為(20)余能也是個正定函數(shù)。在線性彈性力學中彈性體的應變能等于余能。

第2章有限單元法根底理論結(jié)構(gòu)靜力學問題的有限元法梁結(jié)構(gòu)問題比桁架復雜一些，也可用矩陣分析法〔線性代數(shù)方程組〕得到問題的精確解。在ANSYS軟件中上述兩類問題的建模和求解較為簡單。定義單元用ET指令，考慮材料各種特性選不同的Link、Beam單元。有限單元法把桿系結(jié)構(gòu)的矩陣分析方法推廣應用于連續(xù)介質(zhì)：把連續(xù)介質(zhì)離散化，用有限個單元的組合體代替原來的連續(xù)介質(zhì)，這樣一組單元只在有限個節(jié)點上相互連接，因而包含有限個自由度，可用矩陣方法進行分析。平面問題有限元法對一些特殊情況可把空間問題近似地簡化為平面問題，只須考慮平行于某個平面的位移分量、應變分量與應力分量，且這些量只是兩個坐標的函數(shù)。平面問題分平面應力問題和平面應變問題兩類。設有很薄的均勻薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化，記薄板的厚度為t，以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為z軸．由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度變化，可以認為恒有，，不為零的應力分量為、、，這種問題就稱為平面應力問題。設有無限長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化。以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，由于對稱性〔任一橫截面都可以看做對稱面〕，此時，不為零的應變分量為、、，這種問題就稱為平面應變問題。二維連續(xù)介質(zhì)，用有限單元法分析的步驟如下：用虛擬的直線把原介質(zhì)分割成有限個三角形單元，這些直線是單元的邊界，幾條直線的交點即為節(jié)點。假定各單元在節(jié)點上互相鉸接，節(jié)點位移是根本的未知量。選擇一個函數(shù)，用單元的三個節(jié)點的位移惟一地表示單元內(nèi)部任一點的位移，此函數(shù)稱為位移函數(shù)〔位移模式〕。通過位移函數(shù)，用節(jié)點位移惟一地表示單元內(nèi)任一點的應變；再利用廣義虎克定律，用節(jié)點位移可惟一地表示單元內(nèi)任一點的應力。利用能量原理找到與單元內(nèi)部應力狀態(tài)等效的節(jié)點力；再利用單元應力與節(jié)點位移的關(guān)系，建立等效節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系。這是有限單元法求解應力問題的最重要的一步。將每一單元所承受的荷載，按靜力等效原那么移置到節(jié)點上。在每一節(jié)點建立用節(jié)點位移表示的靜力平衡方程，得到一個線性方程組；解出這個方程組，求出節(jié)點位移；然后可求得每個單元的應力。1.單元的位移模式及插值函數(shù)由于三角形單元對復雜邊界有較強的適應能力，因此很容易將一個二維域離散成有限個三角形單元。在邊界上以假設干段直線近似原來的曲線邊界，隨著單元增多，這種擬合將越精確。下面以3節(jié)點三角形單元為代表討論平面問題的有限元格式。圖2-13節(jié)點三角形單元設三角形單元節(jié)點編碼為i,j,m，以逆時針方向編碼為正向，否那么后面求出的面積A為負值。每個節(jié)點有2個位移分量如圖2-1所示，節(jié)點位移為δe=[ui,vi,uj,vj,um,vm]T節(jié)點的坐標分別為(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)。在有限單元法中單元的位移模式〔也稱位移函數(shù)和插值函數(shù)〕一般采用多項式作為近似函數(shù)，因為多項式運算簡便，并且隨著項數(shù)的增多，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線。多項式的選取應由低次到高次。3節(jié)點三角形單元位移模式選取一次多項式(2-1單元內(nèi)的位移是坐標x,y的線性函數(shù)。β1～β6是待定系數(shù)，稱之為廣義坐標。6個廣義坐標可由單元的6個節(jié)點位移來表示。在式〔2-1-1〕中代入三角形單元各(2-1式中，A為三角形的面積