湖南省懷化市李樹(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省懷化市李樹(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集U=Z，集合A={0，1}，B={-1，0，1，2}，則圖中陰影部分所表示的集合為

(A){-l，2}

(B){1，0}

(C){0，1}

(D){1，2}參考答案：2.設(shè)是第二象限的角，P（x，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα=，則tan=A.

B.

C.

D.參考答案：A3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，則異面直線AB1和BC1所成角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用三角形中位線性質(zhì)平行移動(dòng)至，在中利用余弦定理可求得，根據(jù)異面直線所成角的范圍可知所求的余弦值為.【詳解】連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接

設(shè)三棱柱為直三棱柱

四邊形為矩形為中點(diǎn)

且又，

異面直線和所成角的余弦值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的求解問(wèn)題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略異面直線所成角的范圍，造成所求余弦值符號(hào)錯(cuò)誤.4..定義：的運(yùn)算原理如圖所示，設(shè)，則在區(qū)間上的最小值為

▲

．

參考答案：－6略5.已知實(shí)數(shù)滿足條件,則的最小值為A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：A由；由；由；由約束條件做出(x，y)的可行域如圖所示，的值為可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O的連線的斜率，觀察圖形可知OA的斜率最小，所以()min=1.故選A.

6.函數(shù)（）的反函數(shù)是（

）

（A）（）

（B）（）（C）（）

（D）（)參考答案：A7.由曲線y=，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為（

）A.

B.4

C.

D.6參考答案：C8.已知:命題：“是的充分必要條件”；

命題：“”．則下列命題正確的是（）

A．命題“∧”是真命題

B．命題“（┐）∧”是真命題

C．命題“∧（┐）”是真命題

D．命題“（┐）∧（┐）”是真命題參考答案：B9.已知集合.且,的最小值為A. B.C.3 D.5參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃的應(yīng)用.

E5

解析：畫(huà)出集合A表示的可行域，由圖可知，圓心（2,2）到可行域的頂點(diǎn)（1,0）的距離為R的最小值，故選B.【思路點(diǎn)撥】利用圖形分析R取得最小值的條件.10.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：，，則公比=（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某商店經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件4元的商品，在市場(chǎng)調(diào)查時(shí)得到，此商品的銷售單價(jià)x與日銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)滿足：，，，

，則當(dāng)銷售單價(jià)x定為（取整數(shù)）

元時(shí)，日利潤(rùn)最大．參考答案：712.已知kCnk=nCn﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到幾種重要的變式，如：Cnk，將n+1賦給n，就得到kCn+1k=（n+1）Cnk﹣1，…，進(jìn)一步能得到：1Cn1+2Cn2?21+…+nCnn?2n﹣1=nCn﹣10+nCn﹣11?21+nCn﹣12?22+…+nCn﹣1n﹣1?2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?3n﹣1．請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與結(jié)論，計(jì)算：Cn0×+Cn1×（）2+Cn2×（）3+…+Cnn×（）n+1=

．參考答案：【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式；類比推理．【分析】由，可得，即，再利用二項(xiàng)式定理即可得出．【解答】解：由，得，，∴==．故案為：．13.下表是某廠1～4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，月

份1234用水量4.5432.5由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是__________________________．參考答案：略14.設(shè)函數(shù)是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式、一元二次函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，列出不等式組，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，∴，解得k≤﹣1或1≤k≤2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．15.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是．參考答案：略16.已知，若函數(shù)的最小值為1，則_______．參考答案：略17.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓E：(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn)，且存在直線l，使F1，F(xiàn)2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)恰好為圓C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，射線F1A，F(xiàn)1B與橢圓E分別相交于點(diǎn)M，N，試探究：是否存在數(shù)集D，當(dāng)且僅當(dāng)p∈D時(shí)，總存在m，使點(diǎn)F1在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集D；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）求得圓心與半徑，由c=2，根據(jù)離心率公式即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）求得直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算?＜0，代入即可求得求得．【解答】解：（1）將圓C的方程配方的：（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4，則圓心C（2m，m），半徑為2，由橢圓的焦距為2c=d=4，c=2，由e==，則a=3，b2=a2﹣c2=5，故橢圓的方程為；（2）由F1，F(xiàn)2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)恰好是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線l是線段OC的垂直平分線，故l方程為y=﹣2x+，，整理得2y2+2py﹣5pm=0，則△=（2p）2+4×2×5p＞0，則p+10m＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），則y1+y2=﹣p，y1y1=﹣，由F1的坐標(biāo)為（﹣2，0），則=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），由與同向，與同向，則點(diǎn)F1在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則?＜0，則?＜0，則（x1+2）（x2+2）+y1y2＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y1＜0，則+10（2﹣p）m+4（p+4）＜0，當(dāng)且僅當(dāng)△=100（2﹣p）2﹣100（p+4）＞0，即p＞5，總存在m使得②成立，當(dāng)p＞5時(shí)，由韋達(dá)定理可知+10（2﹣p）m+4（p+4）=0的兩個(gè)根為正數(shù)，故使②成立的m＞0，從而滿足①，故存在整數(shù)集D=（5，+∞），當(dāng)且僅當(dāng)p∈D時(shí)，總存在m，使點(diǎn)F1在線段MN為直徑的圓內(nèi)．19.（本小題滿分12分）

如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，M是BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：A1C∥面AB1M；（Ⅱ）在棱CC1上找一點(diǎn)N，使MN⊥AB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M－AB1－N的大?。畢⒖即鸢福海á瘢┳C明：連結(jié)A1B，交AB1于P，則PM//A1C，又PMì面AB1M，A1C?面AB1M，∴A1C∥面AB1·····································································································4分（Ⅱ）解：取B1C1中點(diǎn)H，連接MH，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，、、兩兩垂直，故分別以、、為x、y、z軸，建立如圖空間坐標(biāo)系．設(shè)()，則，，，，∴，．由，有，解得，故在棱CC1上的點(diǎn)N滿足，使MN⊥AB1．···························································································································8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），，，則，，又，則面AB1M一個(gè)法向量．設(shè)面AB1N的一個(gè)法向量，，，由即取，······························10分則，故二面角M－AB1－N的大小為．····················································12分略20.(本大題滿分12分)

某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級(jí)采用分層抽樣的方法從該年級(jí)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．根據(jù)問(wèn)卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90,120)，[120，l50)，[150，180),[180，210)，[210,240)，得到頻率分布直方圖如右圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人．

(1)求n的值并求有效學(xué)習(xí)時(shí)間在[90，120)內(nèi)的頻率；(2)如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表．問(wèn)：是否有95％的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)?

利用時(shí)間充分利用時(shí)間不充分合計(jì)走讀生50a

住宿生b15

合計(jì)

40n(3)若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為x，求x的分布列及期望．參考公式：K2=參考列表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024參考答案：(1)解：設(shè)第i組的頻率為Pi(i=1，2，…，8)

由由頻率分布直方圖知：

∴有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的頻率為，故，∴n=100

2分

又

∴

∴有效學(xué)習(xí)時(shí)間在[90，120)內(nèi)的頻率為．

4分(2)解：抽取的100人中，走讀生有人，住讀生25人，∴a=25，b=10

6分

由于K2>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．

8分(3)解：由(1)知：第①組1人，第②組4人，第⑦組10人，第⑧組5人，共20人

∴

10分

∴X的分布列為

12分21.如圖：橢圓頂點(diǎn)為,左右焦點(diǎn)分別為，，（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由？參考答案：（1）；（2）在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值【分析】（1）根據(jù)，和可構(gòu)造出關(guān)于的方程組，求解可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，列出，代入韋達(dá)定理的結(jié)果可整理出，根據(jù)可求得和的值；當(dāng)直線斜率為時(shí)，可知所求的依然滿足是上面所求的值，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由知：……①由知：，即……②又……③由①②③得：，所求方程為：（2）①當(dāng)直線的斜率不為時(shí)設(shè)，，，直線的方程為由得：

由，得：，故此時(shí)點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率為時(shí)，綜上所述：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題.解決定點(diǎn)定值問(wèn)題的關(guān)鍵是建立起關(guān)于變量的等量關(guān)系式，通過(guò)化簡(jiǎn)、消元消去變量，從而得到定值；通常采用先求一般再求特殊的方式，對(duì)于直線斜率為零或不存在的情況，通常最后驗(yàn)證一般情況下得到的結(jié)論適合特殊情況即可.22.（本小題滿分12分）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)；（2）以這500件產(chǎn)品的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，若從該企業(yè)的所有該產(chǎn)品中任取2件，記產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布列.參考答案：（1）275；（2）見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖I2解析：（1）產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為（0.022+0