2023-2024學年遼寧沈陽市郊聯(lián)體高三（最后沖刺）數(shù)學試卷含解析

2023-2024學年遼寧沈陽市郊聯(lián)體高三（最后沖刺）數(shù)學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．近年來，隨著網絡的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調查，各主要用途與對應人數(shù)的結果統(tǒng)計如圖所示，現(xiàn)有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數(shù)；②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．2．設為定義在上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A． B．C． D．4．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且公比為2，則與的關系正確的是（）A． B．C． D．5．設集合，，則（）．A． B．C． D．6．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．7．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點是函數(shù)的一個對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B．4C． D．511．數(shù)列滿足，且，，則（）A． B．9 C． D．712．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值_____14．正四棱柱中，，.若是側面內的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.15．已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a值范圍為_________.16．的展開式中，的系數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點的直角坐標.18．（12分）近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛，一位農戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的經濟效益．根據(jù)資料顯示，產出的新奇水果的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關系如下：x13412y51．522．58y與x可用回歸方程（其中，為常數(shù)）進行模擬．（Ⅰ）若該農戶產出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預測該新奇水果100箱的利潤是多少元．|．（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計，10月份的連續(xù)11天中該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示．（i）若從箱數(shù)在內的天數(shù)中隨機抽取2天，估計恰有1天的水果箱數(shù)在內的概率；（ⅱ）求這11天該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值．（每組用該組區(qū)間的中點值作代表）參考數(shù)據(jù)與公式：設，則0.541.81.530.45線性回歸直線中，，．19．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產業(yè)迅速發(fā)展，有必要調查研究新能源汽車市場的生產與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預計年的銷售量.20．（12分）已知函數(shù)與的圖象關于直線對稱.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.21．（12分）已知傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.（1）求拋物線的方程；（2）設為拋物線上任意一點（異于頂點），過做傾斜角互補的兩條直線、，交拋物線于另兩點、，記拋物線在點的切線的傾斜角為，直線的傾斜角為，求證：與互補.22．（10分）a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調查的總人數(shù)為，，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數(shù)為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數(shù)與頻率是關鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.2、D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調遞增，注意到，再利用函數(shù)單調性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當時，，且時，單調遞增，所以在上單調遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調性解不等式，考查學生對函數(shù)性質的靈活運用能力，是一道中檔題.3、A【解析】∵集合∴∵集合∴，故選A4、C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進而求出集合和，分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點睛】此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目,6、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若，根據(jù)線面平行的性質定理，可得；若，根據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.8、C【解析】分析：根據(jù)最低點，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當時，，所以與有6個交點，設各個交點坐標依次為，則，所以③正確所以選C點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質，屬于中檔題．9、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.10、B【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.11、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，，可求出公差，即可求出．【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質和通項公式的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．12、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5.【解析】

由約束條件作出可行域，令z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經過點時,取最大值5.故答案為：5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．14、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內引入?yún)?shù)，將最值問題轉化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.15、【解析】

由在上恒成立可求解．【詳解】，令，∵，∴，又，，從而，令，問題等價于在時恒成立，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的單調性，解題關鍵是問題轉化為恒成立，利用換元法和二次函數(shù)的性質易求解．16、【解析】

先將原式展開成，發(fā)現(xiàn)中不含，故只研究后面一項即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數(shù)，是.故答案為：-40【點睛】本題考查二項式定理性質，關鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

將直線的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程,聯(lián)立直角坐標方程求出交點坐標,結合的取值范圍進行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標方程為，所以直線的普通方程為，又因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標方程為，聯(lián)立方程,解得或，因為，所以舍去，故點的直角坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.18、（Ⅰ）1131；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）125箱【解析】

（Ⅰ）根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到和，代入得到回歸直線方程，，再代入求成本，最后代入利潤公式；（Ⅱ）（?。┦紫确謩e計算水果箱數(shù)在和內的天數(shù)，再用編號列舉基本事件的方法求概率；（ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算結果.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)題意，，所以，所以．又，所以．所以時，（千元），即該新奇水果100箱的成本為8314元，故該新奇水果100箱的利潤．（Ⅱ）（i）根據(jù)頻率分布直方圖，可知水果箱數(shù)在內的天數(shù)為設這兩天分別為a，b，水果箱數(shù)在內的天數(shù)為，設這四天分別為A，B，C，D，所以隨機抽取2天的基本結果為，，，，，，，，，，，，，，，共15種．滿足恰有1天的水果箱數(shù)在內的結果為，，，，，，，，共8種，所以估計恰有1天的水果箱數(shù)在內的概率為．（ⅱ）這11天該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值為（箱）．【點睛】本題考查考查回歸直線方程，統(tǒng)計，概率，均值的綜合問題，意在考查分析數(shù)據(jù)，應用數(shù)據(jù)，解決問題的能力，屬于中檔題型.19、（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值；（2）利用每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積，相加可得出銷量的平均數(shù)，由此可預計年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，由于，因此，銷量的中位數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，新能源汽車平均每個季度的銷售量為（萬臺），由此預測年的銷售量為萬臺.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.20、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質，得出，再利用導數(shù)的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出單調性，即可得出的值；（2）設，求導，求出的單調性，從而得出最大值為，結合恒成立的性質，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設點，，又，當時，，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構造函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，而，故存在唯一的實數(shù)根.