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廣東省省際名校2023-2024學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]2.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.4.己知,,,則()A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.36 B.72 C. D.6.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.58.如圖,四邊形為正方形,延長至,使得,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}10.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.12.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角的對邊分別為,且.若為鈍角,,則的面積為____________.14.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.15.若x,y滿足,則的最小值為________.16.已知等比數(shù)列滿足,,則該數(shù)列的前5項(xiàng)的和為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請求出所有滿足條件的S的值;若不是,請說明理由.18.(12分)已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.20.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.21.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.22.(10分)已知橢圓的短軸長為,離心率,其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程;(2)過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.3、D【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.4、B【解析】
先將三個(gè)數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)椋?,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)是與的等比中項(xiàng),可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.6、C【解析】
設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.7、D【解析】
利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的性質(zhì),考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.9、D【解析】
解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最大,此時(shí)取最大值,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)?,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.12、D【解析】
首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
轉(zhuǎn)化為,利用二倍角公式可求解得,結(jié)合余弦定理可得b,再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?,所以.又因?yàn)?,且為銳角,所以.由余弦定理得,即,解得,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.14、20【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點(diǎn),代入即得?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當(dāng)直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí),直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,是基礎(chǔ)題。16、31【解析】設(shè),可化為,得,,,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【解析】
(1)先求解導(dǎo)數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程;(2)先求解弦長,再分別求解點(diǎn)到直線的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】(1)設(shè),則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為,在點(diǎn)B處的切線方程為,因?yàn)閮汕芯€均過點(diǎn)G,所以,所以A,B兩點(diǎn)均在直線上,所以直線AB的方程為,又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(0,p),所以,即G點(diǎn)軌跡方程為;(2)設(shè)點(diǎn)G(,),由(1)可知,直線AB的方程為,即,將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,,整理得,所以,,解得,因?yàn)橹本€AB的斜率,所以,且,線段AB的中點(diǎn)為M,所以直線EM的方程為:,所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),直線AB的方程整理得,則G到AB的距離,則E到AB的距離,所以,設(shè),因?yàn)閜是質(zhì)數(shù),且為整數(shù),所以或,當(dāng)時(shí),,是無理數(shù),不符題意,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即是無理數(shù),所以不符題意,當(dāng)時(shí),是無理數(shù),不符題意,綜上,當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線中的切線問題通常借助導(dǎo)數(shù)來求解,四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問題,表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、(1)見解析(2)【解析】
(1)分類討論的值,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分別得出,,時(shí),的最小值,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當(dāng)即時(shí),,,此時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時(shí),時(shí),,在上單調(diào)遞減;時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時(shí),,,此時(shí),在上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以的最小值為,所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因?yàn)?,所以?所以,所以.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減所以的最小值為因?yàn)椋?,所以,綜上,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題,屬于中檔題.19、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)分類討論求解絕對值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于,該不等式恒成立,當(dāng)時(shí),等價(jià)于,該不等式解集為,當(dāng)時(shí),等價(jià)于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因?yàn)椋?,,所以,,,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式,涉及利用均值不等式證明不等式,屬綜合中檔題.20、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標(biāo)因式分解,結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因?yàn)椋?,,所以,所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查不等式的證明,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結(jié)果;(2)利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】(1),,由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),,由絕對值三角不等式可得.因此,.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用絕對值三角不等式證明不等式,考查推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于中等題.22、(1);(2).【解析】
(1)由已知短軸長求出,離心率求出關(guān)系,結(jié)合,即可求解;(2)當(dāng)直線的斜率都存在時(shí),不妨設(shè)直線的方程為,直線與橢圓方程聯(lián)立,利用相交弦長公式求出,斜率為,求出,得到關(guān)于的表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用“”判別式法求出范圍,當(dāng)有一斜率不存在時(shí),另
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