2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：四邊形綜合(考察全等證明、長度與面積計(jì)算等)(四)

2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：四邊形綜合（考察全等證明、長度與面積計(jì)算等）（四）1．在△ABC中，過A作BC的平行線，交∠ACB的平分線于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接DE，交AB于點(diǎn)F，∠DEB+∠CAD＝180°．（1）如圖1，求證：四邊形ACED是菱形；（2）如圖2，G是AD的中點(diǎn)，H是AC邊中點(diǎn)，連接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中與△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．2．已知：平行四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，對(duì)角線AC⊥CD．（1）如圖1，若AD＝6，求平行四邊形ABCD的面積．（2）如圖2，連接BD交AC于O點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接EC．求證：ED＝AE+EC．3．定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形為“等對(duì)邊四邊形”．（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是“等對(duì)邊四邊形”的名稱；（2）如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)邊四邊形”，其中AB＝CD，邊BA與CD的延長線交于點(diǎn)M，點(diǎn)E、F是對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)，若∠M＝60°，求證：EF＝AB；（3）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，且滿足∠DBC＝∠ECB＝∠A，線段CE、BD交于點(diǎn)，①求證：∠BDC＝∠AEC；②請(qǐng)?jiān)趫D中找到一個(gè)“等對(duì)邊四邊形”，并給出證明．4．我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．例如：某三角形三邊長分別是2，4，，因?yàn)椋赃@個(gè)三角形是奇異三角形．（1）根據(jù)定義：“等邊三角形是奇異三角形”這個(gè)命題是命題（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，以AB為斜邊分別在AB的兩側(cè)做直角三角形，且AD＝BD，若四邊形ADBC內(nèi)存在點(diǎn)E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠DBC的度數(shù)．5．在長方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．（1）如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為°．（2）如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長．（3）如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長線交BC于點(diǎn)G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長．6．綜合實(shí)踐：問題情境數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們?cè)谡叫沃欣眯D(zhuǎn)變換探究線段之間的關(guān)系探究過程如下所示：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)．將△DCE以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'落在邊AB上時(shí)，連接CE'．“興趣小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是：①AE'＝C'E'；“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是：②DE＝CE'，DE⊥CE'．解決問題（1）請(qǐng)你證明“興趣小組”和“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；拓展探究證明完“興趣小組”和“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論后，“智慧小組”提出如下問題：如圖2，連接CC'，若正方形ABCD的邊長為2，求出CC'的長度．（2）請(qǐng)你幫助智慧小組寫出線段CC'的長度．（直接寫出結(jié)論即可）7．問題背景若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂點(diǎn)；若再滿足兩個(gè)頂角和是180°，則稱這個(gè)兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn)．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對(duì)角線，AB＝AC，DB＝DC，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；若再滿足∠A+∠D＝180°，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)．初步思考（1）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E為△ABC外兩點(diǎn)，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC為等邊三角形．①點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，并說明理由．實(shí)踐操作（2）在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如圖3，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AD邊上，請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)E、F，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BF互為勾股頂針點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）思維探究②如圖4，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BP互為勾股頂針點(diǎn)，直線CP與直線AD交于點(diǎn)F，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段BE與線段AF的長度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫出AE的長，若不相等，請(qǐng)說明理由．8．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的兩邊分別與AB，AC相交于M，N兩點(diǎn)，且DM＝DN．（1）如圖甲，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝9，∠MDN＝120°，ND∥AB．①寫出∠MDA＝°，AB的長是．②求四邊形AMDN的周長．（2）如圖乙，過D作DF⊥AC于F，先補(bǔ)全圖乙再證明AM+AN＝2AF．9．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)M、N分別是邊AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，將△AMN沿MN所在直線翻折，翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′．（1）如圖1，若點(diǎn)A′恰好落在邊AB上，且AN＝AC，求AM的長；（2）如圖2，若點(diǎn)A′恰好落在邊BC上，且A′N∥AC．①試判斷四邊形AMA′N的形狀并說明理由；②求AM、MN的長；（3）如圖3，設(shè)線段NM、BC的延長線交于點(diǎn)P，當(dāng)且時(shí)，求CP的長．10．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接AP、DP，點(diǎn)E是線段AP上一點(diǎn)，且∠ADE＝∠APD，連接BE．（1）求證：AD2＝AE?AP；（2）求證BE⊥AP；（3）直接寫出的最小值．參考答案1．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEB，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，∴∠DEC＝∠DAC，∴ADE+∠DAC＝180°，∴DE∥AC，∴四邊形ACED是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴菱形ACED是正方形，∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，∵G是AD的中點(diǎn)，H是AC邊中點(diǎn)，∴AG＝DG＝CE，∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），∵BC＝2AC，∴BE＝CE＝AD，∵AD∥BE，∴∠B＝∠DAF，∵∠AFE＝∠BFE，∴△BFE≌△AFD（AAS），∵AD＝CE＝BE，∴△BEF≌△ECH，∴圖中與△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．2．解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD＝6，∴AC＝CD＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝33＝18；（2）過C作FC⊥BD于F，∵AE⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∵平行四邊形ABCD中，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，OE＝OF，∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，設(shè)AC＝AB＝2x，∴AD＝BC＝2x，∴AO＝x，∴BO＝DO＝＝x，∵S△AOB＝AB?AO＝BO?AE，∴AE＝＝＝，∴OE＝OF＝＝x，∴EF＝CF＝x，∴CE＝EF＝x，∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，∴ED＝AE+EC．3．解：（1）如：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等．（2）證明：如圖1，取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)EN，F(xiàn)N，∴EN＝CD，F(xiàn)N＝AB，∴EN＝FN，∵∠M＝60°，∴∠MBC+∠MCB＝120°，∵FN∥AB，EN∥MC，∴∠FNC＝∠MBC，∠ENB＝∠MCB，∴∠ENF＝180°﹣120°＝60°，∴△EFN為等邊三角形，∴EF＝FN＝AB．（3）①證明：∵∠BOE＝∠BCE+∠DBC，∠DBC＝∠ECB＝∠A，∴∠BOE＝2∠DBC＝∠A，∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD＝360°，∠BOE+∠EOD＝180°，∴∠AEC+∠ADB＝180°，∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC；②解：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形EBCD．如圖2，作CG⊥BD于G點(diǎn)，作BF⊥CE交CE延長線于F點(diǎn)．∵∠DBC＝∠ECB＝∠A，BC＝CB，∠BFC＝∠BGC＝90°，∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BEF＝∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC＝∠ABD+∠A，∴∠BEF＝∠BDC，∴△BEF≌△CDG（AAS），∴BE＝CD，∴四邊形EBCD是等對(duì)邊四邊形．4．（1）解：“等邊三角形是奇異三角形”這個(gè)命題是真命題，理由如下：設(shè)等邊三角形的邊長為a，則a2+a2＝2a2，符合“奇異三角形”的定義，∴“等邊三角形是奇異三角形”這個(gè)命題是真命題；故答案為：真；（2）解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：；（3）①證明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，∵AD＝BD，∴2AD2＝AB2，∵AE＝AD，CB＝CE，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇異三角形；②解：由①得：△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，由（2）得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，當(dāng)AC：AE：CE＝1：：時(shí)，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝75°；當(dāng)AC：AE：CE＝：：1時(shí)，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝105°；綜上所述，∠DBC的度數(shù)為75°或105°．5．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折疊的性質(zhì)得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案為：18；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的長為；（3）連接EG，如圖3所示：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，F(xiàn)E＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，設(shè)CG＝FG＝y(tǒng)，則AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的長為．6．（1）證明：①∵△DE'C'由△DEC旋轉(zhuǎn)得到，∴DC'＝DC，∠C'＝∠DCE＝90°．又∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝90°，∴DA＝DC'，∵DE'＝DE'，∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′（HL），∴AE'＝C'E'．②∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，C'E'＝AE'＝CE，∴點(diǎn)E'為AB的中點(diǎn)．∴BE′＝CE，又∵DC＝BC，∠DCE＝∠CBE'＝90°，∴△DCE≌△CBE'（SAS），∴DE＝CE'，∠CDE＝∠E'CB，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠E'CB+∠CED＝90°，∴DE⊥CE'．（2）解：如圖2中，作C′M⊥CD于M，交AB于N．∵AB∥CD，C′M⊥CD，∴C′M⊥AB，∴∠DMC′＝∠C′NE′＝∠DC′E′＝90°，∴∠MDC′+∠DC′M＝90°，∠DC′M+∠E′CN＝90°，∴∠MDC′＝∠E′C′N，∴△DMC′∽△C′NE′，∴＝＝＝2，設(shè)NE′＝x，則AM＝AN＝1+x，C′M＝2x，C′N＝（1+x），∵M(jìn)N＝AD＝2，∴2x+（1+x）＝2，解得x＝，∴CM＝2﹣（1+）＝，MC＝，∴CC′＝＝＝．7．解：（1）根據(jù)互為頂點(diǎn)，互為勾股頂針點(diǎn)的定義可知：①點(diǎn)A與點(diǎn)D和E關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，理由：如圖2中，∵△BDC是等邊三角形，∴∠D＝60°，∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠A+∠D＝180°，∴點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，故答案為：D和E，A．（2）線段BE與線段AF長度會(huì)相等①如圖3中，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．②如圖4﹣1中，當(dāng)BE＝AF時(shí)，設(shè)AE＝x，連接EF．∵BE＝EP＝AF，EF＝EF，∠EAF＝∠FPE＝90°，∴Rt△EAF≌Rt∠FPE（HL），∴PF＝AE＝x，在Rt△DCF中，DF＝10﹣（8﹣x）＝2+x，CD＝8，CF＝10﹣x，∴（10﹣x）2＝82+（2+x）2，解得x＝，∴AE＝如圖4﹣2中，當(dāng)BE＝BC＝AF時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與D重合，可得AE＝BE﹣AB＝10﹣8＝2．如圖4﹣3中，當(dāng)BE＝AF時(shí)，設(shè)AE＝x，同法可得PF＝AE＝x，在Rt△CDF中，則有（10+x）2＝82+（18﹣x）2，解得x＝，∴AE＝如圖4﹣4中，當(dāng)BE＝CB＝AF時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)AE＝AB+BE＝AB+BC＝18．綜上所述，滿足條件的AE的值為或2或或18．8．解：（1）①∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵ND∥AB，∴∠NDA＝∠BAD＝30°，∴∠MDA＝∠MDN﹣∠NDA＝120°﹣30°＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB，∴AB＝2AC＝18，故答案為：90，18；②∵∠ABC＝30°，ND∥AB，∴∠NDC＝30°，又∵∠MDN＝120°，∴∠MDB＝30°，∴∠MAD＝∠NAD＝∠ADN＝∠MBD＝30°，∴BM＝MD，DN＝AN，∵DM＝DN，∴BM＝MD＝DN＝AN，在Rt△ADM中，設(shè)MD＝x，則AM＝2x，BM＝MD＝DN＝AN＝x，∵AB＝18，∴3x＝18，∴x＝6，∴AM＝12，MD＝DN＝AN＝6，∴四邊形AMDN的周長＝AM+MD+DN+AN＝12+6+6+6＝30；（2）補(bǔ)全圖如圖乙所示：證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，如圖丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM＝FN，∴AM+AN＝AE+EM+AF﹣NF＝2A