山東省青島市經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)第十四中學高三數(shù)學文模擬試題含解析

山東省青島市經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)第十四中學高三數(shù)學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量＝（1，2），＝（2，0），＝（1，－2），若向量λ＋與共線，則實數(shù)λ的值為

A．－2

B．－

C．－1

D．－參考答案：C略2.若拋物線的焦點是,準線是,點是拋物線上一點,則經(jīng)過點、且與相切的圓共（A）個

（B）個

（C）個

（D）個參考答案：D3.已知cos（π﹣α）=﹣，則cos2α=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D4.已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期為4π，且當x＝時，f(x)取得最大值，則()A．f(x)在區(qū)間[－π，0]上是減函數(shù)

B．f(x)在區(qū)間[－2π，－π]上是減函數(shù)C．f(x)在區(qū)間[2π，3π]上是增函數(shù)

D．f(x)在區(qū)間[3π，4π]上是增函數(shù)參考答案：D5.設復數(shù)，，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）

A.第一象限

B.

第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：C6.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x2+y2的取值范圍是（）A.

B.

C.(1,16)

D.參考答案：B7.已知函數(shù)f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，則＝(

)

A．－99！ B．－100！ C．－98！ D．0

參考答案：A略8.若冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的最大值為（

）A. B. C. D.－1參考答案：C【分析】先將點代入，求得冪函數(shù)解析，再換元，轉化為二次函數(shù)求最值即可【詳解】設冪函數(shù)，圖象過點，故故，，令，則，，∴時，.故選C【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)求值，是基礎題，注意換元時新元的范圍9.定義運算，則函數(shù)的圖像是參考答案：D10.已知的矩形ABCD，沿對角形BD將折起得到三棱錐C—ABD，且三棱錐的體積為則異面直線BC與AD所成角的余弦值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結果的值為

參考答案：

12.己知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，其前n項和為Sn，若直線y=a1x與圓（x﹣2）2+y2=4的兩個交點關于直線x+y+d=0對稱，則Sn=．參考答案：2n﹣n2【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由直線和圓的知識易得a1和d，再由等差數(shù)列的求和公式可得．【解答】解：∵直線y=a1x與圓（x﹣2）2+y2=4的兩個交點關于直線x+y+d=0對稱，∴直線x+y+d=0過圓（x﹣2）2+y2=4的圓心（2，0），∴2+d=0，解得d=﹣2；又直線x+y+d=0的斜率是﹣1，∴a1=1，∴Sn=na1+d=2n﹣n2，故答案為：2n﹣n2【點評】本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及直線和圓的位置關系，屬基礎題．13.向量，向量．若，則實數(shù)k=______．參考答案：－3【分析】由向量垂直的坐標表示求解即可【詳解】，，則，得故答案為【點睛】本題考查向量的坐標運算，垂直的坐標表示，熟記公式準確計算是關鍵，是基礎題14.過原點作曲線的切線，則切線方程為

．

參考答案：略15.如圖：已知，，在邊上，且，，，（為銳角），則的面積為_________．參考答案：在中，由余弦定理可得，得，在中，由正弦定理，解得，所以，在中，，由正弦定理可得，解得，所以的面積為．16.已知滿足：，若的最大值為2，則

．參考答案：

略17.已知=

.參考答案：因為，令得，由兩式相減得，即，所以是首項為公比為的等比數(shù)列，因為，，所以．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù).（1）若存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若m是（1）中的最大值，且正數(shù)a，b滿足，證明：.參考答案：(1).(2)見解析.【分析】(1)先求出f(x)的最小值為3，再解不等式得解；（2）利用基本不等式證明2a+2b,又因為a+b=1,不等式即得證.【詳解】（1）∵，∵存在，使得，∴，∴.（2）由（1）知：的最大值為1，∴，∴，∴.當且僅當時取“=”.【點睛】本題主要考查絕對值三角不等式的應用，考查不等式的存在性問題，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的一個極值點，試確定實數(shù)的值，并求此時函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間．參考答案：解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．依題意得=6－6a=0，解得a=1．

所以f（x）=2x3－3x2+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下：x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗所以當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值f（0）=1；當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0．（2）∵=6x2－6ax=6x（x－a），∴①當a=0時，=6x2≥0，函數(shù)f（x）在（－￥，+￥）上單調遞增；

②當a>0時，=6x（x－a），、f（x）隨x的變化情況如下表：x（-∞，0）0（0，a）a（a，+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗

由上表可知，函數(shù)f（x）在（－￥，0）上單調遞增，在（0，a）上單調遞減，在（a，+￥）上單調遞增；

③同理可得，當a<0時，函數(shù)f（x）在（－￥，a）上單調遞增，在（a，0）上單調遞減，在（0，+￥）上單調遞增．

綜上所述，當a=0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（－￥，+￥）；

當a>0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（－￥，0）和（a，+￥），單調遞減區(qū)間是（0，a）；

當a<0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（－￥，a）和（0，+￥），單調遞減區(qū)間是（a，0）．20.已知橢圓C：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點，與x軸、y軸分別相交于點N和M，且PM=MN，點Q是點P關于x軸的對稱點，QM的延長線交橢圓于點B，過點A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A1、B1（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得點N平分線段A1B1？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件，能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵橢圓C：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，∴由題意得，解得a2=4，b2=3，∴橢圓C的方程為．（2）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直線QM的方程為y=﹣3kx+m，設A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，設B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵點N平分線段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合題意，∴直線l的方程為y=．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的探究與求法，考查推理誰論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查轉化思想、化歸思想，是中檔題．21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在（，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，求實數(shù)a的值；（2）是否存在正整數(shù)a，使得在（，）上既不是單調遞增函數(shù)也不是單調遞減函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解（1）∵在（，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，

……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．15分∵a是正整數(shù)，∴a＝2．…………………16分22.（本小題共12分）已知橢圓的右焦點為F（2，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且是等腰直角三角形．（I）求橢圓的方程；（II）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為證明：直線AB過定點．參考答