數(shù)學起源及早期發(fā)展

數(shù)學起源及早期發(fā)展數(shù)學起源與早期發(fā)展1.1數(shù)與形概念的產生

數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前

記數(shù)是伴隨著計數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的●手指記數(shù)

亞里士多德：采用十進制是因為多數(shù)人生來具有十個手指●石子記數(shù)●結繩記數(shù)●刻痕記數(shù)《周易·系辭下》：上古結繩而治，后世圣人，易之以書契?；眨ㄓ〖樱┯桌敲劰牵ń菘耍?/p>

大約五千年前，出現(xiàn)書寫記數(shù)及相應的記數(shù)系統(tǒng)。幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：

◆巴比倫數(shù)字：六十進制◆瑪雅數(shù)字：二十進制◆其余數(shù)字：十進制記數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)使數(shù)與數(shù)之間的運算成為可能

最初的幾何知識從人們對形的直覺中萌發(fā)出來。這組照片顯示了早期人類不止是對圓、三角形、正方形等一系列幾何形式的認識，而且還有對全等、相似、對稱等幾何性質的應用。

在不同地區(qū)，幾何學的來源不盡相同：●古埃及：土地的丈量●古印度：宗教實踐●古代中國：天文觀測1.2河谷文明與早期數(shù)學

興起于埃及、美索不達米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。早期數(shù)學，就是在尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、黃河與長江、印度河與恒河等河谷地帶首先發(fā)展起來的。1.2.1埃及數(shù)學

埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔為象征，從公元前3100年左右美尼斯統(tǒng)一上、下埃及建立第一王朝起，到公元前332年亞歷山大大帝滅最后一個埃及（波斯）王朝（第三十一王朝）止，前后綿延三千年。

埃及象形文字產生于公元前3500年左右，約公元前2500年被簡化為一種更易書寫的“僧侶文”，后又發(fā)展成所謂“通俗文”。長期以來，這些神秘的文字始終是不解之謎。

1799年，拿破倫遠征軍的士兵在埃及古港口羅賽塔發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有用三種文字----希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文，才使精通希臘文的學者找到了解讀埃及古文字的鑰匙。

古埃及人在一種用紙莎草壓制成的草片上書寫，這些紙草書有的幸存至今。我們關于古埃及數(shù)學的知識，主要就是依據(jù)了兩部紙草書----萊茵德紙草書和莫斯科紙草書?！袢R茵德紙草書最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德(H.Rhind)購得，因名。該紙草書現(xiàn)存?zhèn)惗卮笥⒉┪镳^,見圖

有時人們也稱這部紙草書為阿姆士紙草書，以紀念一位叫阿姆士的人，他在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，而根據(jù)阿姆士所加的前言可知，他抄錄的是一部已經流傳了兩個多世紀的更古老的著作，其中涉及的數(shù)學知識一部分可能得傳于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞爾的御醫(yī)，同時也是一位傳奇式的建筑師，曾督造過這位法老的金字塔?！衲箍萍埐輹纸懈炅心嵫┓蚣埐輹?，1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細藝術博物館。據(jù)研究，這部紙草書是出自第十二王朝一位佚名作者的手筆（約公元前1890年），也是用僧侶文寫成。

這兩部紙草書實際上都是各種類型的數(shù)學問題集。

△萊茵德紙草書：主體部分由48個問題組成△莫斯科紙草書：包含了25個問題

這兩部紙草書無疑是古埃及最重要的傳世數(shù)學文獻。

這種記數(shù)制以不同的特殊記號分別表示10的前六次冪：簡單的一道豎線表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵蓮花表示1000，彎曲的手指表示10000，一條江鱈魚表示100000，而跪著的人像（可能指永恒之神）則表示1000000.其他數(shù)目是通過這些數(shù)目的簡單累積來表示的，如數(shù)12345則被記作

100100010000100000100000012345

在兩部紙草書中，象形文字被簡化為僧侶文數(shù)字:28在象形文字中被表示為，而在僧侶文中被寫成，值得注意的是這里把代表較小數(shù)字的8（記二個4）的符號（=）置于左邊而不是右邊。

隨著青銅文化的崛起，分數(shù)概念與分數(shù)記號應運而生。埃及象形文字用一種特殊的記號來表示單位分數(shù)（即分子為一的分數(shù)）：在整數(shù)上方畫一個長橢圓；紙草書中采用的僧侶文，則用一點來代替長橢圓號。在多位數(shù)的情形，則點號置于最右邊的數(shù)碼之上。例如象形文字僧侶文字

埃及數(shù)學是實用數(shù)學,但也有個別例外，例如萊茵德紙草書第79題：

7座房，49只貓，343只老鼠，2401顆麥穗，16807赫卡特。

有人認為這是一個數(shù)謎：7座房子，每座房里養(yǎng)7只貓，每只貓抓7只老鼠，每只老鼠吃7顆麥穗，每顆麥穗可產7赫卡特糧食，問房子、貓、老鼠、麥穗和糧食各數(shù)值總和。也有將房子、貓等解釋為不同冪次的名稱，即房子表示一次冪，貓表示二次冪，等等。無論如何，這是一個沒有任何實際意義的幾何級數(shù)求和問題，帶有虛構的數(shù)學游戲性質。

埃及文明在歷代王朝的更迭中表現(xiàn)出一種靜止的特性，這種靜止特性也反映在埃及數(shù)學的發(fā)展中。萊茵德紙草書和莫斯科紙草書中的數(shù)學，就像祖?zhèn)骷覍氁粯邮来鄠?，在?shù)千年漫長的歲月中很少變化。加法運算和單位分數(shù)始終是埃及算術的磚塊，使古埃及人的計算顯得笨重繁復。古埃及人的面積、體積算法對精確公式與近似公式往往不作明確區(qū)分，這又使它們的實用幾何帶上了粗糙的色彩。這一切都阻礙埃及數(shù)學向更高的水平發(fā)展。公元前4世紀希臘人征服埃及之后，這一古老的數(shù)學文化完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學所取代。1.3美索不達米亞——古巴比倫數(shù)學

底格里斯河與幼發(fā)拉底河所灌溉的美索不達米亞平原，也是人類文明的發(fā)祥地之一。早在公元前四千年，蘇美爾人就在這里建立起城邦國家并創(chuàng)造了文字。自公元前4世紀中葉阿卡德人第一次入侵建立阿卡德王國（約公元前2371-前2230），以后又有阿摩利人、加喜特人、伊蘭人、赫梯人、亞述人、伽勒底人和波斯人等相繼等上統(tǒng)治舞臺。令人驚訝的是，兩河流域在這種錯綜復雜的民族戰(zhàn)亂中卻維系著高度統(tǒng)一的文化，史稱“美索不達米亞文明”，契形文字的使用可能是這種文化統(tǒng)一的粘合劑。

兩河流域的居民用尖蘆管在濕泥板上刻寫楔形文字，然后將泥板曬干或烘干。迄今已有約50萬塊泥板文書出土。對楔形文字的釋讀比埃及文字要晚，關鍵的一步是在19世紀70年代邁出的，當時發(fā)現(xiàn)的貝希斯敦石崖，上面用三種文字（波斯文、埃及文和巴比倫文）記載著波斯王大流士一世的戰(zhàn)功。對波斯文的知識使人們得以揭開古巴比倫文字的奧秘。

1.3泥板上的數(shù)學——巴比倫古巴比倫（美索不達米亞）兩河流域（幼發(fā)拉底河與底格里斯河）美索不達米亞文明楔形文字世界七大奇跡之一“空中花園”泥板符號楔形文字在發(fā)掘出來的50萬塊泥板中，約有300多塊是數(shù)學泥板，其中記載有數(shù)字表和數(shù)學問題。

1.3.1古巴比倫的記數(shù)制59記作古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進制表示2×602+2×60+2=7322古巴比倫人的這種記數(shù)法并不完善。他們用留空位的辦法代表零。古巴比倫人也使用分數(shù)，他們總是用60作為分母。古巴比倫人的分數(shù)系統(tǒng)是不成熟的。要弄清巴比倫數(shù)字的真正數(shù)值還必須聯(lián)系上下文，依靠智力進行推定。

1.3.2古巴比倫的算術與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術運算也是借助于各種各樣的表來進行的。大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表。為了便于計算，他們大約在公元前2000年以前已經編制了從1×1到60×60的乘法表，并用來進行乘法運算了。倒數(shù)表用于把除法轉化為乘法進行，經常要使用分數(shù)。

1.3.3古巴比倫的代數(shù)在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學已出現(xiàn)了用文字敘述的代數(shù)問題?？赡苡捎谠S多代數(shù)問題都與幾何有關，因此他們常常用“長”，“寬”，“面積”來代表未知數(shù)和它們的乘積等。

耶魯大學的一塊泥板已知依幾布姆比依古姆大7。問依幾布姆和依古姆各為多少？（這里igibum和igum是古巴比倫數(shù)學文獻中表示互為倒數(shù)的兩個數(shù)的專有術語）古巴比倫人那時可能已經知道某些類型的一元二次方程的求根公式。由于他們沒有負數(shù)的概念，二次方程的負根不予考慮。至于他們是如何得到上述這些解法的，泥板書上沒有具體說明。他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法。在一塊泥板上，他們給出這樣的數(shù)表，它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個范圍的整數(shù)組合n3+n2，專家經研究認為，這個數(shù)表是用來解決形如x3+x2=b的三次方程的。洛佛爾博物館的一塊泥板兩個級數(shù)問題

普林頓322號泥板勾股數(shù)表參數(shù)式：

x=2uv，y=u2-v2，z=u2+v2而這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學中一個極為重要的成就。1.3.4古巴比倫的幾何在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因為實際中的幾何問題都很容易轉化為代數(shù)問題。古巴比倫人的幾何知識，與他們在代數(shù)學上所取得的成就來比，相對地要遜色得多。巴比倫幾何學的主要特征是它的代數(shù)性質，一些比較復雜的問題雖然以幾何術語來表達，但實質上還是一些特殊的代數(shù)問題。他們的面積和體積計算是按照一些固定的法則和公式給出的。例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計算。他們還掌握了長方體以及特殊梯形為底的直棱柱體體積計算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積。在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當復雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領。但他們錯誤地認為，圓臺和棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積。這一事實表明，古巴比倫的計算方法還是經驗型的，這些結果都沒有經過證明。古巴比倫人的幾何與古埃及人的幾何有一個共同的缺陷，即對準確公式與近似關系混淆不清。四邊形面積正四棱臺體積圓周率π為31936年在離巴比倫城300多公里的蘇薩地方出土的一塊泥板給出了正方形與其外接圓周長之比等于0；57，36采用3-1/8作為π的近似值勾股定理的廣泛使用。有一塊泥板上有這樣一個問題：倚墻而立的木桿長0；30尺，若上端下滑0；6尺，問其下端將移離墻多遠？作者運用勾股定理求出了正確答案0；18。北師大版《數(shù)學》1.3.5古巴比倫的天文學在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開始使用年、月、日的天文歷法。他們的年歷是從春分開始的，一年有12個月，每月有30天，每6年加上第13個月作為閏月。圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫。一個星期有7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天。所謂“星期”也就是指星的日期。我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語單詞中還能找到一些痕跡。1.4小結古巴比倫和古埃及數(shù)學的內容都與那個地區(qū)的社會和生活的需要密切相關。古巴比倫人對天文學的研究比較感興趣，因此，相對而言，他們的以60進位記數(shù)法為基礎的算術與代數(shù)較為領先。而古埃及人偏重于測量與建筑施工，因而他們的幾何成果比較突出。這些表明，數(shù)學從她的萌芽之日起，就是以實際需要為基礎的，離開了實際需要，數(shù)學研究就缺少了直接動力，數(shù)學也就不能迅速發(fā)展了。需要指出的是，在古巴比倫或古埃及的數(shù)學中，雖然出現(xiàn)了一些令人信服的數(shù)學和重要的公式，但他們的數(shù)學知識還僅僅表現(xiàn)為對于一些實際問題觀察的結果以及某些經驗的積累，數(shù)學學科所特有的邏輯思維與理論概括甚至還未被他們覺察，更談不上掌握了。M.克萊因《古今數(shù)學思想》“按這個標準說，埃及人和巴比倫人好比粗陋的木匠，而希臘人則是建筑大師?！闭嬲茖W意義下的理性數(shù)學，是由希臘人為我們提供的。大約公元前6世紀在地中海沿岸，那里一個嶄新的、更加開放的文明——歷史學家常稱“海洋文明”，帶來了初等數(shù)學的第一個黃金時代——以論證幾何為主的希臘數(shù)學時代。中國古代數(shù)學卓越成就我們祖國具有悠久而光輝的歷史，在數(shù)學領域里曾經創(chuàng)造了高度文明，對人類文明發(fā)展作出過極其輝煌的貢獻。中國是數(shù)學最早萌芽、產生和發(fā)展的國家，一些古代數(shù)學成就，在歷史上曾處于遙遙領先的地位。限于篇幅，本章不準備全面闡述中國古代的數(shù)學發(fā)展，僅就處于世界領先地位的方面作簡要的介紹。1）十進位制記數(shù)法和零的采用。源于春秋時代,早于第二發(fā)明者印度1000多年。

公元六世紀末，印度古代人民創(chuàng)造了印度—阿拉伯數(shù)字和記數(shù)法，即現(xiàn)在世界通用的阿拉伯數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0和十進位值制記數(shù)法。零（0）出現(xiàn)在阿拉伯數(shù)字里。公元前六世紀春秋戰(zhàn)國時期中國出現(xiàn)了籌算，至明初，籌算發(fā)展為珠算。在籌算和珠算里有一、二、三、四、五、六、七、八、九的自然數(shù)，遇到零時，就用空位表示。漢字里有一至九數(shù)目字，零記為“零”或“○”，有時也用“有”“又”表示。漢武梁祠中有“伏羲手執(zhí)規(guī)、女媧手執(zhí)矩”的造像。史記《禹本紀》中所述大禹治水（公元前

１９世紀）時的工具“左準繩、右規(guī)矩”2）二進位制思想起源。源于《周易》中的八卦法，早于第二發(fā)明者德國數(shù)學家萊布尼茲（公元1646~1716）2000多年。中國古代的二進制運用與現(xiàn)代電子計算機中二進制的運用是一致的。從《易經》上可以看到二進制的起源。我國上古的伏羲時代就有了《易經》，《易經》是研究日月之間變化的一門科學，通過卦爻來說明天地之間、日月系統(tǒng)以內人生與事物變化的大法則。究其研究方法，就是借助于二進制手段來實現(xiàn)的。老子是將二進制數(shù)深化運用的一位大圣人.二進位值制陽爻“——”、陰爻“－－”，二進位值制的萌芽，八卦據(jù)英國李約瑟博士考證，萊布尼茨創(chuàng)立二進位制很可能是從八卦圖象中得到了啟發(fā)

電子計算機“古老的八卦敲響了近代科學的晨鐘！”3）幾何思想起源。源于戰(zhàn)國時期墨翟的《墨經》，早于第二發(fā)明者歐幾里德（公元前330~前275）100多年?！赌洝肥恰赌印分匾糠郑赌印肥菓?zhàn)國時期墨家著作的總集，是墨翟（人稱墨子）和他的弟子們寫的。他們把自己的科學知識、言論、主張、活動等集中起來，匯編成《墨經》.《墨經》.有《經上》、《經下》、《經上說》、《經下說》四篇?！督浾f》是對《經》的解釋或補充。

《墨經》中有8條論述了幾何光學知識，它闡述了影、小孔成像、平面鏡、凹面鏡、凸面鏡成像，還說明了焦距和物體成像的關系，這些比古希臘歐幾里德（約公元前330～275）的光學記載早百余年。（4）勾股定理（商高定理）。發(fā)明者商高（西周人），早于第二發(fā)明者畢達哥拉斯（公元前580~前500）550多年。約戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說："…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。"意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。后人簡單地把這個事實說成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作"商高定理"。畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年。（5）幻方。我國最早記載幻方法的是春秋時代的《論語》和《書經》，而在國外，幻方的出現(xiàn)在公元2世紀，我國早于國外600多年。

幻方（magicsquare）又稱為魔方、方陣，它最早起源于我國。宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖。所謂縱橫圖，它是由1到n2，這n2個自然數(shù)按照一定的規(guī)律排列成N行、N列的一個方陣。它具有一種奇妙的性質，在各種幾何形狀的表上排列適當?shù)臄?shù)字，如果對這些數(shù)字進行簡單的邏輯運算時，不論采取哪一條路線，最后得到的和或積都是完全相同的。

關于幻方的起源，我國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井井有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻給他，這就是“河圖”，是最早的幻方。伏羲氏賃借著“河圖”而演繹出了八卦，后來大禹治洪水時，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”。洛書”所畫的釁中共有黑、白圓圈45個。把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來，得到九個。這九個數(shù)就可以組成一個縱橫圖，人們把由九個數(shù)3行3列的幻方稱為3階幻方，除此之外，還有4階、5階...

幻方最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2500年前就已經知道了幻方的排列規(guī)律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。

九宮格洛書

河圖的解釋，在歷史上有多種說法。其中《尚書》中解釋說：“河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖。”

圖中每個陽、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同

“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！?/p>

明代邵雍的易圖數(shù)學結構（6）分數(shù)運算法則和小數(shù)。中國完整的分數(shù)運算法則出現(xiàn)在《九章算術》中，它的傳本至遲在公元1世紀已出現(xiàn)。印度在公元7世紀才出現(xiàn)了同樣的法則，并被認為是此法的“鼻祖”。我國早于印度500多年。中國運用最小公倍數(shù)的時間則早于西方1200年。運用小數(shù)的時間，早于西方1100多年。7）負數(shù)的發(fā)現(xiàn)。這個發(fā)現(xiàn)最早見于《九章算術》，這一發(fā)現(xiàn)早于印度600多年，早于西方1600多年。早在2000多年前，我國就了解了正負數(shù)的概念，掌握了正負數(shù)的運算法則。我國三國時期的學者劉徽在建立正負數(shù)上有重大的貢獻。他首先給出了正負數(shù)的定義："今兩算得失相反，要令正負以名之。"意說，在計算過程中遇到有相反意義的量，要以正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們。他第一次給出了區(qū)分正負數(shù)的方法："正算赤，負算黑。否則以邪正為異。"意思是，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示是正數(shù)，用黑色小棍擺出的數(shù)表示是負數(shù)。也可以用斜擺的小棍表示負數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。

8）盈不足。又名雙假位法。最早見于《九章算術》中的第七章。在世界上，直到13世紀，才在歐洲出現(xiàn)了同樣的方法，比中國晚了1200多年。（9）方程術。最早出現(xiàn)于《九章算術》中，其中解聯(lián)立一次方程組方法，早于印度600多年，早于歐洲1500多年。在用矩陣排列法解線性方程組方面，我國要比世界其他國家早1800多年。（10）最精確的圓周率“祖率”。早于世界其他國家1000多年。（11）等積原理。又名“祖暅”原理。保持世界紀錄1100多年。（12）二次內插法。隋朝天文學家劉焯最早發(fā)明，早于“世界亞軍”牛頓（公元1642~1727）1000多年。（13）增乘開方法。在現(xiàn)代數(shù)學中又名“霍納法”。我國宋代數(shù)學家賈憲最早發(fā)明于11世紀，比英國數(shù)學家霍納（公元1786~1837）提出的時間早800年左右。

（14）楊輝三角。實際上是一個二項展開式系數(shù)表。它本是賈憲創(chuàng)造的，見于他著作《黃帝九章算法細草》中，后此書流失，南宋人楊輝在他的《詳解九章算法》中又編此表，故名“楊輝三角”。在世界上除了中國的賈憲、楊輝，第二個發(fā)明者是法國的數(shù)學家帕斯卡（公元1623~1662），他的發(fā)明時間是1653年，比賈憲晚了近600年。楊輝三角與增乘開方法

楊輝（約13世紀后期）在《詳解九章算法》中記載了北宋人賈憲的一張“開方作法本源圖”（1050）現(xiàn)今稱為楊輝三角的“賈憲三角”。在西方它被又稱為帕斯卡三角（1655年）·

中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的頂峰（900年到1368年）·

創(chuàng)造出許多具有世界

歷史意義的成就

數(shù)學家輩出

數(shù)學著作涌現(xiàn)

（15）中國剩余定理。實際上就是解聯(lián)立一次同余式的方法。這個方法最早見于《孫子算經》，1801年德國數(shù)學家高斯（公元1777