高考數(shù)學復習專題五立體幾何與空間向量第3講立體幾何中的向量方法理市賽課公開課一等獎省名師獲獎P

第3講立體幾何中向量方法專題五立體幾何與空間向量1/66熱點分類突破真題押題精練2/66Ⅰ熱點分類突破3/66熱點一利用向量證實平行與垂直設直線l方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α，β法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，則有：(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.4/66(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.5/66例1

如圖，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且相互垂直，點M為AB中點，點O為DF中點.利用向量方法證實：(1)OM∥平面BCF；證實6/66證實方法一由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以點A為原點建立如圖所表示空間直角坐標系.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，且OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.7/66又OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.8/66(2)平面MDF⊥平面EFCD.證實思維升華9/66證實方法一

設平面MDF與平面EFCD一個法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.10/66方法二

由題意知，BF，BC，BA兩兩垂直，∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，CD，F(xiàn)C?平面EFCD，∴OM⊥平面EFCD.又OM?平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.11/66思維升華用向量知識證實立體幾何問題，依然離不開立體幾何中定理.如要證實線面平行，只需要證實平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，即化歸為證實線線平行，用向量方法證實直線a∥b，只需證實向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直線方向向量與平面法向量垂直來證實線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外.12/66跟蹤演練1

如圖，在底面是矩形四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，點E，F(xiàn)分別是PC，PD中點，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB；證實13/66證實以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所表示空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).∵點E，F(xiàn)分別是PC，PD中點，14/66即EF∥AB，又AB?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.15/66(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.證實16/66又AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.17/66熱點二利用空間向量求空間角設直線l，m方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角18/6619/66例2

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，∠BCC1＝

，AB＝BC＝2，BB1＝4，點D在棱CC1上，且CD＝λCC1(0<λ≤1).建立如圖所表示空間直角坐標系.(1)當λ＝

時，求異面直線AB1與A1D夾角余弦值；解答20/6621/66(2)若二面角A－B1D－A1平面角為

，求λ值.解答思維升華22/6623/6624/66故λ值為1.25/66思維升華(1)利用空間向量坐標運算求空間角普通步驟：①建立恰當空間直角坐標系；②求出相關(guān)點坐標；③寫出向量坐標；④結(jié)合公式進行論證、計算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.(2)求空間角注意：①兩條異面直線所成角α不一定是直線方向向量夾角β，即cosα＝|cosβ|；②兩平面法向量夾角不一定是所求二面角，有可能為兩法向量夾角補角；③直線和平面所成角正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角余弦值絕對值，注意函數(shù)名稱改變.26/66跟蹤演練2

如圖，在四棱錐S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.(1)求二面角S－BC－A余弦值；解答27/66解以D為坐標原點，建立如圖所表示空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，設平面SBC法向量為n1＝(x，y，z)，得2x＋2y－2z＝0且y－2z＝0.取z＝1，得x＝－1，y＝2，所以n1＝(－1,2,1)是平面SBC一個法向量.因為SD⊥平面ABC，取平面ABC一個法向量n2＝(0,0,1).28/66設二面角S－BC－A大小為θ，由圖可知二面角S－BC－A為銳二面角，29/66解答30/66設PE與平面SAD所成角為α，31/6632/66熱點三利用空間向量求解探索性問題存在探索性問題基本特征是要判斷在一些確定條件下某一數(shù)學對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.處理這類問題基本策略是先假設題中數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中一部分結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；不然，給出必定結(jié)論.33/66例3

如圖，在四棱錐E－ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，側(cè)面AEB為等腰直角三角形，

∠AEB＝

，底面ABCD為直角梯形，

AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.(1)求直線EC與平面ABE所成角正弦值；解答34/66解因為平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，平面ABE∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ABE,則∠CEB即為直線EC與平面ABE所成角，35/66(2)線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出

；若不存在，說明理由.解答思維升華36/66證實以下：取AB中點O為坐標原點，OB，OD，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所表示，設CD＝1，則E(0,0,1)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，37/6638/66且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD，39/66思維升華空間向量最適合于處理這類立體幾何中探索性問題，它無需進行復雜作圖、論證、推理，只需經(jīng)過坐標運算進行判斷.解題時，把要成立結(jié)論看成條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點坐標是否有解，是否有要求范圍內(nèi)解”等，所認為使問題處理更簡單、有效，應善于利用這一方法.40/66解答(1)求二面角F－DE－C大??；41/66解因為AF⊥AB，平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD.因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，所以AD，AB，AF兩兩垂直，以A為原點，AD，AB，AF分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系(如圖).42/66設平面CDE一個法向量為n＝(x，y，z)，由勾股定理可知，AF＝1，BE＝2，所以A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，E(0,2,2)，F(xiàn)(0,0,1)，43/66同理可得平面DEF一個法向量m＝(1，－1,2)，44/66(2)若在平面DEF上存在點P，使得BP⊥平面DEF，試經(jīng)過計算說明點P位置.解答45/6646/66所以P是線段DE上靠近E三等分點.47/66Ⅱ真題押題精練48/66真題體驗1.(·浙江改編)如圖，已知正四面體D—ABC(全部棱長均相等三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上點，AP＝PB，

分別記二面角D—PR—Q，D—PQ—R，D—QR—P平面角為α，β，γ，則α，β，γ大小關(guān)系為________.α＜γ＜β答案解析1249/66解析如圖①，作出點D在底面ABC上射影O，過點O分別作PR，PQ，QR垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO.由圖可知，它們對邊都是DO，∴只需比較EO，F(xiàn)O，GO大小即可.1250/66如圖②，在AB邊上取點P′，使AP′＝2P′B，連接OQ，OR，則O為△QRP′中心.設點O到△QRP′三邊距離為a，則OG＝a，OF＝OQ·sin∠OQF＜OQ·sin∠OQP′＝a，OE＝OR·sin∠ORE＞OR·sin∠ORP′＝a，∴OF＜OG＜OE，12∴α＜γ＜β.51/6612證實2.(·北京)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝

AB＝4.(1)求證：M為PB中點；52/66證實設AC，BD交于點E，連接ME，如圖所表示.因為PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因為四邊形ABCD是正方形，所以E為BD中點，所以M為PB中點.1253/66(2)求二面角B—PD—A大??；12解答54/66解取AD中點O，連接OP，OE.因為PA＝PD，所以OP⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且OP?平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因為OE?平面ABCD，所以OP⊥OE.因為四邊形ABCD是正方形，所以OE⊥AD，如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，1255/66設平面BDP法向量為n＝(x，y，z)，12平面PAD法向量為p＝(0,1,0)，56/66由題意知，二面角B－PD－A為銳角，1257/66(3)求直線MC與平面BDP所成角正弦值.設直線MC與平面BDP所成角為α，則12解答58/66押題預測證實押題依據(jù)利用空間向量求二面角全方面考查了空間向量建系、求法向量、求角等知識，是高考重點和熱點.(屆太原模擬)如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD,DF∥BE,DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)證實：平面ACF⊥平面BEFD；押題依據(jù)59/66證實

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BD＝B，BE，BD?平面BEFD，∴AC⊥平面BEFD.∵AC?平面ACF，∴