復(fù)積分省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

五Cauchy積分公式

和高階導(dǎo)數(shù)公式11/391.問題提出怎樣求這個(gè)積分呢？

22/39依據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C改變而改變,求這個(gè)值.33/3944/392.Cauchy積分公式Cauchy積分公式55/39

Cauchy積分公式可用來(lái)計(jì)算積分。66/39例1解由Cauchy積分公式77/39例2解由Cauchy積分公式88/39例3計(jì)算積分

被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部含有兩個(gè)奇點(diǎn)與作，有計(jì)算上式右端兩個(gè)積分

99/39

故1010/39關(guān)于Cauchy積分公式說(shuō)明:把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)值用它在邊界上值表示.（這是解析函數(shù)一個(gè)主要特征）(2)公式不但提供了計(jì)算一些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分一個(gè)方法,而且給出了解析函數(shù)一個(gè)積分表示式.(這是研究解析函數(shù)有力工具)1111/39例5解依據(jù)Cauchy積分公式知,1212/394、解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理設(shè)為有界多連域（單連域），其邊界正向曲線為復(fù)閉路（簡(jiǎn)單閉路）在內(nèi)及邊界上解析，則函數(shù)在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于給定和自然數(shù)有1313/39高階導(dǎo)數(shù)公式作用:

不在于經(jīng)過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于經(jīng)過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.1414/39例1計(jì)算積分解：由高階導(dǎo)數(shù)公式1515/39例2（1）（2）1616/39例2（1）（2）解（1）函數(shù)奇點(diǎn)在圓內(nèi)部，而其它兩個(gè)奇點(diǎn)在左半平面，從而在該圓外部。于是函數(shù)在閉圓盤上解析，由定理2可得：1717/39（2）同理其中在閉圓盤上解析，所以1818/39例3解1919/392020/39證實(shí)：f(z)在D內(nèi)任意一點(diǎn)z有導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)證實(shí)當(dāng)n=1時(shí)，式（3-3-3）成立。設(shè)z+h∈D,h≠0，由導(dǎo)數(shù)定義我們僅需要證實(shí)：當(dāng)h→0時(shí)，高導(dǎo)定理證實(shí)2121/39

現(xiàn)在來(lái)預(yù)計(jì)上式右邊積分。設(shè)以z為心，以2d為半徑圓盤完全包含在D內(nèi)，而且在這圓盤內(nèi)取z+h使得0<|h|<d，那么當(dāng)ξ∈C時(shí)，設(shè)|f(z)|在C上一個(gè)上界是M，而且設(shè)C長(zhǎng)度為L(zhǎng)，于是我們有所以，當(dāng)h→0，（3-3-4）成立。

2222/39

現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)完成定理證實(shí)。假設(shè)(3-3-3)當(dāng)n=k時(shí)成立。取z與z+h同上，那么2323/39

由此能夠證實(shí)：當(dāng)h→0，(3-3-5)右邊趨于零。于是(3-3-3)當(dāng)n=k+1時(shí)成立時(shí)。證畢。推論：若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z0解析，則存在點(diǎn)z0一個(gè)鄰域|z-z0|<ρ，使得在該鄰域內(nèi)f(z)有任意階導(dǎo)數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)也解析；而且在該鄰域內(nèi)函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)各階偏導(dǎo)數(shù)不但存在而且都連續(xù)。

證實(shí)：由函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0解析知：可作一圓盤|z-z0|<ρ使得f(z)在該閉圓盤上解析。于是對(duì)該圓盤應(yīng)用高導(dǎo)定理。2424/39定理復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析充分必要條件是：⑴函數(shù)

與

在D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)．⑵與在D內(nèi)滿足方程

解析函數(shù)第二等價(jià)定理2525/395.課堂練習(xí)例6解由Cauchy積分公式2626/39例7解2727/39例7解2828/39由復(fù)合閉路定理,得例7解2929/39例8解由Cauchy積分定理得由Cauchy積分公式得3030/393131/39例9解3232/39依據(jù)復(fù)合閉路原理和高階導(dǎo)數(shù)公式,3333/393434/39例P101--173535/39例8解3636/