備戰(zhàn)2024中考數(shù)學考試易錯02 方程（組）與不等式（組）（七大易錯分析+舉一反三+易錯題通關）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁易錯02方程（組）與不等式（組）易錯點一：遇到括號易出錯解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1。易錯提醒：（1）分數(shù)線具有括號的作用，如果分子是一個多項式，應該把它看作一個整體，故去分母后，應該用括號括起來；（2）去括號時需乘多項式的每一項，若括號前面是負號，去括號時項的符號要改變．例1．解方程．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1的步驟求解即可．（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1的步驟求解即可．【詳解】（1）去括號，得移項，得合并同類項，得系數(shù)化為1，得（2）去分母，得去括號，得移項，得合并同類項，得系數(shù)化為1，得例2．下列變形正確的是（

）A．由去分母，得B．由去括號，得C．由移項，得D．由系數(shù)化為1，得【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關鍵．根據(jù)去分母、去括號、移項、未知數(shù)的系數(shù)化為1的要求逐項分析即可．【詳解】A．由去分母，得，故不正確，不符合題意；B．由去括號，得，故不正確，不符合題意；C．由移項，得，正確，符合題意；D．由系數(shù)化為1，得，故不正確，不符合題意；故選C．變式1．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟（去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1）是解題的關鍵．（1）按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解答即可；（2）按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解答即可．【詳解】（1）解：，，，，．（2）解：，，，，．變式2．已知關于x的方程的解是，求m的值．【答案】的值為【分析】本題主要考查方程的解，把代入方程解關于的方程即可求解，掌握解方程的方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵是關于的方程的解，∴，整理得，，去分母得，，移項得，，合并同類項得，，系數(shù)化為得，，∴的值為．變式3．（1）解方程：．（2）下面是小明同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解：去分母，得．…………………第一步去括號，得．……………第二步移項，得．………………第三步合并同類項，得．……………………第四步任務①第一步的依據(jù)是________；②第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________；③該方程的正確解為________．【答案】（1）；（2）①等式的基本性質(zhì)；②二，括號前是“”號，把括號和它前面的“”號去掉后，原括號里的第二項沒有變號；③【分析】本題考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步驟，是解題的關鍵．（1）去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，解方程即可；（2）①根據(jù)等式的基本性質(zhì)作答即可；②第二步，去括號出現(xiàn)錯誤；③按照步驟正確的求解即可．【詳解】解：（1）去括號，得．移項，得．合并同類項，得．方程兩邊同除以4，得．（2）①第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；故答案為：等式的基本性質(zhì)；②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是括號前是“”號，把括號和它前面的“”號去掉后，原括號里的第二項沒有變號；故答案為：二，括號前是“”號，把括號和它前面的“”號去掉后，原括號里的第二項沒有變號；③去分母，得．去括號，得．移項，得．合并同類項，得．故答案為：．變式4．下面是佳佳作業(yè)中一個問題的解答過程：解：①②③④(1)第①步的變形為______（填去分母、去括號、移項或合并同類項）；(2)解方程的過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是第______步，請寫出該方程正確的求解過程．【答案】(1)去分母(2)②，過程見解析【分析】本題考查了將分式方程化為一元一次方程，去分母、去括號、移項合并同類項：（1）由題可得分式方程變成了一元一次方程，可知這一步是去分母；（2）去括號時，如果括號之前是負數(shù)，則括號里的符號均需改變，由此可知②錯誤；按照正常的求解過程正常解答即可；正確計算是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題可得，第一步為分式方程變成了一元一次方程，∴第①步的變形為去分母，故答案為：去分母；（2）解：解答過程中②出現(xiàn)錯誤，去括號時出錯，括號之前是負數(shù)，括號里的符號均需改變，故答案為：②；正確求解過程如下：，去分母得：，去括號得：，移項可得：，解得：．1．下列方程變形正確的是（

）A．由得 B．由得C．由得 D．由得【答案】B【分析】本題考查了解一元一次方程的方法，根據(jù)等式的性質(zhì)逐項判斷即可，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：A、兩邊同時除以4，可得到，原變形錯誤，該選項不符合題意；B、兩邊同時減去3，可得到，原變形正確，該選項符合題意；C、每項同時乘以6，可得到，原變形錯誤，該選項不符合題意；D、去括號可得，原變形錯誤，該選項不符合題意；故選：B．2．小琪解關于x的方程，在進行“去分母”步驟時，等號右邊的“2”忘記乘最簡公分母，她求得的解為，則k的值為（

）A． B．2 C．－1 D．－3【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程的求解，根據(jù)題意得出方程，將代入方程即可求解．【詳解】解：由題意得：小琪去分母后得到的方程為：，將代入方程得：，解得：，故選：A．3．佳佳同學解一元一次方程的過程如下：解：去分母，得，第一步去括號，得，第二步移項，得，第三步合并同類項，得，第四步系數(shù)化為1，得．前四個步驟中，開始出現(xiàn)錯誤的是（）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】B【分析】本題考查的是一元一次方程的解法，熟記去括號時，括號前面是符號，括號內(nèi)各項都要改變符號是解本題的關鍵．【詳解】解：去分母，得，第一步去括號，得，第二步∴出現(xiàn)錯誤在第二步，去括號時，括號前面的負號，去括號后，括號內(nèi)第二項沒有改變符號；故選：B4．下面是小友同學解方程的過程如下，請仔細閱讀，并解答所提出的問題：解：去分母，得，①去括號，得，②移項，得，③合并同類項，得，④系數(shù)化為1，得，⑤(1)該同學的解答過程從第______步開始出錯；(2)寫出正確的解答過程．【答案】(1)①(2)見解析【分析】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關鍵；（1）由去分母漏乘可得該同學的解答過程從第①步開始出錯；（2）先去分母，再去括號，移項，合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1即可；【詳解】（1）解：該同學的解答過程從第①步開始出錯（2）解：，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．5．解方程(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元一次方程，關鍵是掌握解法步驟．（1）根據(jù)去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1的解法步驟求解即可；（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1的解法步驟求解即可．【詳解】（1）解：去括號，得移項、合并同類項，得化系數(shù)為1，得∴原方程的解為；（2）解：去分母，得去括號，得移項、合并同類項，得，化系數(shù)為1，得∴原方程的解為．6．用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定，如：．(1)求的值；(2)若，求a的值；(3)若，（其中x為有理數(shù)），試比較與n的大?。敬鸢浮?1)5(2)(3)【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，整式的加減計算，解一元一次方程：（1）根據(jù)新定義可得，據(jù)此計算即可；（2）根據(jù)新定義可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)新定義求出，，再利用作差法求出的結(jié)果即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得；（2）解：：由題意得，，∴，解得：；（3）解：根據(jù)題意得：，即，，即∴，∴．7．在學習《求解一元一次方程》之后，老師在黑板上出了一道解方程的題，下面是小樂同學的解題過程，請仔細閱讀并完成相應的任務．解：………………第一步…第二步………………第三步……………第四步……………第五步任務一：填空：①以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是；第二步去括號時依據(jù)的運算律是；②以上解題過程中從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；③請直接寫出該方程的正確解：；任務二：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就解一元一次方程還需要注意的事項給同學們提一條建議．【答案】任務一：①等式的基本性質(zhì)；乘法分配律；②三；移項時沒有變號；③；任務二：①去分母時要給每一項乘以分母的最小公倍數(shù)數(shù)，特別是常數(shù)項是易錯點；②去括號時，如果括號外是“”號，括號內(nèi)每一項都要變號；③移項時，注意移動項的符合的變化（不唯一）．【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟以及注意事項是解題的關鍵．任務一：根據(jù)解一元一次方程的基本步驟逐步分析、判定即可解答；任務二：結(jié)合解一元一次方程的經(jīng)驗，總結(jié)注意事項即可．【詳解】解：任務一：①以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；第二步去括號時依據(jù)的運算律是乘法分配律；②以上解題過程中從第三步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是移項時沒有變號；由，，，，③該方程的正確解：；故答案為：①等式的基本性質(zhì)；乘法分配律；②三；移項時沒有變號；③；任務二：解一元一次方程需要注意以下事項：①去分母時要給每一項乘以分母的最小公倍數(shù)數(shù)，特別是常數(shù)項是易錯點；②去括號時，如果括號外是“”號，括號內(nèi)每一項都要變號；③移項時，注意移動項的符合的變化 易錯點二：①忽視二次項系數(shù)為0;②解方程易失根一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項二、求解方程過程中需滿足等式的性質(zhì)：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等易錯提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件；（2）若用到兩邊同時除以一個多項式時，要考慮多項式為0和多項式不為0兩種情況，不然會造成丟根例3．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的概念；由題意得，求解即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：且；故選：D．例4．關于方程的描述，下列說法錯誤的是（

）A．它是一元二次方程 B．解方程時，方程兩邊先同時除以C．它有兩個不相等的實數(shù)根 D．用因式分解法解此方程最適宜【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義、解法及根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義、解法及根的判別式逐一判斷即可求解，掌握一元二次方程的定義、解法及根的判別式是解題的關鍵．【詳解】解：、方程整理得為，故方程是一元二次方程，該說法正確，不合題意；、解方程時，方程兩邊先同時除以，會漏解，故該說法錯誤，符合題意；、由得：，故方程有兩個不相等的實數(shù)根，該說法正確，不合題意；、用因式分解法解此方程最適宜，該說法正確，不合題意；故選：．變式1．下列方程中，關于x的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的識別，注意掌握判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【詳解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，選項錯誤；B、形式是一元二次方程，但二次項系數(shù)沒有標注不等于0，選項錯誤；C、符合一元二次方程定義．正確．D、含有分式，屬于分式方程，選項錯誤．故選：C．變式2．若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式，列出關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，且，解得且，故選：B變式3．一元二次方程x（x－2）＝2－x的根是（）A．－1 B．0C．1和2 D．－1和2【答案】D【分析】先將原方程整理為x2﹣x﹣2=0，再利用十字相乘法進行計算即可.【詳解】解：x（x－2）＝2－x，去括號移項得，x2﹣2x+x﹣2=0，合并同類項得，x2﹣x﹣2=0，∴（x+1）（x﹣2）=0解得x1=﹣1，x2=2.故選D.【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解此題的關鍵在于熟練掌握解一元二次方程的各個方法.變式4．選擇適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查公式法解一元二次方程，正確計算是解題的關鍵．（1）用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：或解得：；（2）解：解得：．1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）是解此題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C．方程，是一元二次方程，故本選項符合題意；D．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：C．2．方程的解是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【詳解】解：∴解得，故選D．【點睛】本題主要考查用開方法解一元二次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．3．解一元二次方程時，小明得出方程的根是，則被漏掉的一個根是．【答案】2【詳解】移項得x(x-2)-(x-2)=0，，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，則被漏掉的一個根是x=2，故答案為2.4．如果方程是關于x的一元二次方程，則P的值是(

)A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出的值即可．【詳解】解：方程是關于的一元二次方程，且，且，即．故選：B．5．一元二次方程有一個根為0，則的值為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的定義，方程的解，將代入得出且，求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有一個根為0，∴且，解得，故答案為：．6．解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了一元二次方程的解法：（1）根據(jù)公式法求解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解即可求解方程；解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法．【詳解】（1）解：在中，，∴，根據(jù)，可得，；（2）解：，提取公因式得，即，∴，解得．7．已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根.(1)求的取值范圍；(2)若方程兩根之和為，求的值.【答案】(1)且(2)【分析】（1）本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義和方程有兩個實數(shù)根，列式求解即可．（2）本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，利用結(jié)合的取值范圍即可解題．【詳解】（1）解：，由題意得，即，，又即，且．（2）解：設該方程兩根為，，則，，，，解得：，，由（1）知，，經(jīng)檢驗，是方程的解且符合題意．易錯點三：運用根的判別式時代入錯誤一、一元二次方程根的判別式:.（1）當時,原方程有兩個不等的實數(shù)根;（2）當時,原方程有兩個相等的實數(shù)根;（3）當時,原方程沒有實數(shù)根.二、求根公式：當時,方程的根為易錯提醒：需要將方程化成一般形式后，而且要注意確定前面的性質(zhì)符號．例5．解方程：．【答案】，；【分析】本題考查求根公式法解一元二次方程，移項，定系數(shù)，判斷判別式，代入求根公式即可得到答案；【詳解】解：原方程變形得，，∴，，，∴，∴，∴，；例6．已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為．【答案】/【分析】本題主要考查一元二次方程中根與系數(shù)的關系求參數(shù)，求不等式的解集的運用，掌握方程有兩個不相等的實根；方程有兩個相等的實根；方程無實根的判定方法是解題的關鍵．根據(jù)方程有兩個實根，可得，由此即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，整理得，，解得，，故答案為：．變式1．一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．有一個實數(shù)根【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．變式2．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)若時，求方程的根；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關鍵是：熟記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；熟練掌握一元二次的解法一公式法．（1）將代入原方程，解之即可求出方程的根．（2）根據(jù)方程根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；【詳解】（1）當時，此時，方程為，解得：即，∴方程的根為；（2）∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，解得，∴的取值范圍為；變式3．小明在解方程的過程中出現(xiàn)了錯誤，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)問：小明的解答是從第______步開始出錯的；(2)請寫出本題正確的解答．【答案】(1)一；(2)正確的解答見解析．【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關鍵．（1）先把方程化為一般式，再確定a、b、c的值，從而可判斷小明的解答從第一步開始出錯了；（2）方程化為一般式得到，，，再計算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【詳解】（1）小明的解答是從第一步開始出錯的，故答案為：一；（2）解：方程化為一般式為，，，，，，，．變式4．求證：無論m為何值，關于x的一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】見解析【分析】本題考查的是根的判別式，一元二次方程的根與的關系①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．先根據(jù)一元二次方程中a、b、c的值求出的值，即可證明．【詳解】證明：∵，∴無論m為何值，總大于0，∴無論m為何值，關于x的一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根．1．一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握，方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵．化成一般形式，計算方程根的判別式，進而判斷即可．【詳解】解：∵∴，∴方程無實數(shù)根．故選：C．2．已知，的半徑為一元二次方程的根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程以及直線與圓的位置關系：當，直線與圓相交，當，直線與圓相切，當，直線與圓相離，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵∴故的半徑為，∵，∴直線與圓相離故選：C．3．對于實數(shù)a，b定義運算“☆”為，例如：，則關于的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】題考查了新定義下的實數(shù)運算，一元二次方程根的判別式，準確理解題意，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴方程為，即，，∴有兩個相等的實數(shù)根，故選：B．4．已知關于x的方程有兩個實數(shù)根，那么m．【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程根的概念和根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．【詳解】解：關于x的方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：且，故答案為：且．5．解方程：．【答案】【分析】利用公式法求解即可．本題考查了解方程，選擇適當解方程的方法是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∴，解得．6．(1)計算：(2)解方程：【答案】(1)(2)，【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，解一元二次方程，對于（1），根據(jù)，，，，，再計算即可；對于（2），先整理，再求出，然后根據(jù)求根公式求出解即可．【詳解】（1）原式；（2）整理，得，由，，，∴，∴，∴，．7．已知關于x的一元二次方程.(1)求m的值；(2)用公式法解這個方程．【答案】(1)3(2)【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及公式法解一元二次方程；（1）根據(jù)一元二次方程的定義可得，，解方程，即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，∴，∴，∵，解得：；（2）解：當時，原方程為，∴，，∴，解得：．易錯點四：忽略檢驗根的存在分式方程的解法：①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。易錯提醒：要記得將求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可確定為該方程的解．例7．分式方程的解為（

）A． B． C． D．無解【答案】B【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．方程兩邊同時乘以最簡公分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：，方程兩邊同時乘以最簡公分母得：，去括號得：，移項合并同類項得：，系數(shù)化為1：，當時，，是原方程的解，故選：B．易錯警示：解分式方程時首要步驟去分母，分數(shù)相相當于括號，易忘記根檢驗，導致運算結(jié)果出錯。例8．已知分式（，為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）的取值分式的值無解A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查分式有無意義的條件，分式值為0的條件，以及解分式方程，首先根據(jù)已知條件分別確定和的值，然后確定出分式，最后根據(jù)時，原分式值為3，通過解分式方程確定，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，分式無意義，∴，故D正確；B錯誤，當時，原分式值為0，∴解得：，故A正確∴原分式為，∵時，原分式值為3，∴解得：，經(jīng)檢驗，是原方程解得解，故C選項正確，故選：B．變式1．分式方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步驟解分式方程即可．【詳解】解：等式兩邊同時乘以，得：，去括號得：，移項和合并同類項得：，經(jīng)檢驗是該分式方程的解．故選：B變式2．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵；（1）根據(jù)分式方程的解法進行求解即可；（2）根據(jù)分式方程的解法可進行求解．【詳解】（1）解：去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解；（2）解：解得：，經(jīng)檢驗：當是原方程的增根，∴原方程無解．變式3．a(chǎn)取下列何值時，方程的解是正數(shù)（

）A．3 B． C． D．或【答案】B【分析】本題主要考查分式方程的應用、一元一次不等式，正確運算是解題的關鍵．解分式方程得，由原方程的解是正數(shù)得，即可求解．【詳解】解：∵的解是正數(shù)∴，且∴且故選∶B．變式4．對于兩個非零有理數(shù)x，y，定義一種新運算：，例如：．(1)求的值；(2)若，求a的值．【答案】(1)1(2)a的值為【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，解分式方程等知識，理解定義的運算是解題的關鍵．（1）運用定義運算代入計算即可；（2）運用定義運算代入得到一個分式方程，求解這個分式方程即可，注意檢驗．【詳解】（1）解：；（2），去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗：是方程的解，?a的值為．1．若關于x的分式方程的解為正數(shù)，則k的取值范固是．【答案】且【分析】本題主要考查了分式方程的解及分式方程有意義的條件、一元一次不等式組的求解，熟練掌握相關計算方法是解決本題的關鍵．根據(jù)題意，將分式方程的解用含的表達式進行表示，進而令，再因分式方程要有意義則，進而計算出的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，根據(jù)題意且∴∴∴k的取值范圍是且．故答案為：且．2．解方程：．【答案】【分析】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗．兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗根即可．【詳解】兩邊都乘以去分母，得整理，得解得檢驗：當時，，∴是分式方程的解．3．解分式方程：．【答案】【分析】本題考查解分式方程，先把分式方程化為整式方程，進而解整式方程，然后檢驗即可；【詳解】解：，方程兩邊同乘，得，解得，檢驗：當時，，原方程的解是；4．解下列分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)【分析】本題考查解分式方程．（1）先求出最簡公分母去分母，再去括號移項，合并同類項即可得到本題答案；（2）先求出最簡公分母去分母，再去括號移項，合并同類項即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，兩邊同時乘以得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，即：，檢驗：把代入，所以不是原方程的解，所以原方程無解；（2）解：，兩邊同時乘以最簡公分母得：，去括號整理得：，即：，移項得：，即：，檢驗：把代入，所以是方程的解．5．先化簡，再求值：，其中是方程的解．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值、分式方程的解法．根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡，解分式方程求出，代入計算即可．【詳解】解：，解分式方程，得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，當時，原式．6．以下是小明解方程的過程，請認真閱讀，并完成相應任務．解：去分母：…………．第一步去括號：…………．第二步移項，合并同類項得：…………．第三步系數(shù)化為1，得：…………．第四步檢驗：當時，，所以：是原分式方程的解．(1)填空：①以上解題過程中，第一步去分母的依據(jù)；②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；(2)請直接寫出方程正確的解；(3)在解分式方程的過程中，需要注意哪些事項，請你給其他同學提一條建議．【答案】(1)①等式的基本性質(zhì)2；②第二步；錯誤的原因是：去括號時未變符號(2)(3)去括號時，括號前面是負號，要注意變號，不要漏乘，分式方程需要檢驗．【分析】本題考查的是解分式方程；（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)，利用解分式方程的一般步驟判斷即可；（2）根據(jù)解分式方程的一般步驟計算即可；（3）根據(jù)解分式方程的一般步驟分析即可；熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關鍵．【詳解】（1）解：第一步進行的是去分母，這一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2；第二步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是：去括號時未變符號；故答案為：①等式的基本性質(zhì)2；②第二步；錯誤的原因是：去括號時未變符號；（2）去分母：去括號：移項，合并同類項得：系數(shù)化為1，得：檢驗：當時，所以：是原分式方程的解．故答案為：；（3）去括號時，括號前面是負號，要注意變號，不要漏乘，分式方程需要檢驗．7．已知．(1)化簡A；(2)當x滿足時，A的值是多少？【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的化簡求值，解分式方程，（1）先把分子和分母是多項式的進行因式分解，然后再進行計算即可；（2）先解分式方程，然后再把x的值代入（1）的結(jié)論進行計算即可解答．【詳解】（1）解：；（2），經(jīng)檢驗，是原方程的根，∴當時，，∴A的值為．易錯點五：考慮不全面一、增根：使最簡公分母值為0的未知數(shù)的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；二、無解：不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等；易錯提醒：無解有兩種情況，需考慮全面：①原方程化去分母后的整式方程無解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而使原方程無解例9．關于的方程無解，則的值是（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】B【分析】本題考查了分式方程無解、解分式方程，先解分式方程，再根據(jù)分式方程無解得出的值，從而即可得出的值，掌握分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程的無解或者這個整式方程的解使原分式方程的分母等于，是解此題的關鍵.【詳解】解：去分母得，解得，∵方程無解，∴方程有增根，即，解得：，把代入得，解得，故選：B.例10．已知關于x的分式方程有增根，則方程的增根為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根．熟練掌握分式方程的增根是解題的關鍵．根據(jù)分式方程的增根的定義進行求解即可．【詳解】解：∵分式方程有增根，∴，解得，故答案為：．變式1．若關于的分式方程有增根，則增根是，的值是．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根問題，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．先確定最簡公分母，令最簡公分母為，求出的值，然后把分式方程化為整式方程，再將的值代入整式方程，解關于的方程即可．【詳解】解：分式方程的最簡公分母為，分式方程有增根，，解得：，增根是，分式方程去分母得：，把代入方程得：，解得：，故答案為：，．變式2．若關于的分式方程無解，則．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程無解時，方程有增根的情況是解答本題的關鍵．根據(jù)題意，解分式方程，得到，由題意得到原方程無解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案．【詳解】解：去分母：方程兩邊同時乘以，得：，，，原方程無解，是原方程的增根，由，，，，故答案為：．變式3．（1）若方程有增根，則增根是__________；（2）若方程有增根，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了分式方程有增根的情況；（1）根據(jù)分式方程有增根，即分母為0進行求解即可；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出的值即可．【詳解】解：（1）∵分式方程有增根，∴，∴，故答案為：；（2）去分母得：，移項得：，解得：∵分式方程有增根，∴，即，∴，解得．變式4．關于x的方程(1)若，則解這個分式方程；(2)若這個關于x的方程無解，直接寫出a的值．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了解分式方程和分式方程的無解問題，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關鍵．（1）把代入方程得出，再方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可；（2）方程兩邊都橫得出，整理得出，分為兩種情況：①，②，再求出即可．【詳解】（1）解：把代入方程，得，方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當時，，所以分式方程的解是；（2）解：，方程兩邊都乘，得，整理得：，①當時，分式方程無解，解得：，②要使分式方程有增根（此時方程無解），，即，所以，解得：，所以當或時，分式方程無解．1．若分式方程無解，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式方程無解的條件．解題的關鍵是掌握分式方程無解的條件：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于．據(jù)此列式解答即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得：，解得：，當時分母為，方程無解，即，解得：即時方程無解．故選：C．2．若方程有增根，則它的增根是（）A．0 B．1 C． D．1和【答案】B【分析】本題主要考查了分式方程的增根問題，解題的關鍵是求出使方程產(chǎn)生的增根可能為或，然后再進行驗證即可．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得：，由最簡公分母，可知增根可能是或，當時，，當時，得到，這是不可能的，所以增根只能是．故選：B．3．若關于x的方程無解，則m的值為．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的無解求參數(shù)的值，是需要識記的內(nèi)容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【詳解】解：，，∵關于x的方程無解，∴或，∴或，∴．故答案為4．使分式方程產(chǎn)生增根，m的值為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根．原分式方程化為整式方程，根據(jù)方程有增根，得到，將其代入整式方程即可求解．【詳解】解：去分母，得：，∵原方程有增根，∴，即，把代入整式方程，即，解得，故答案為：．5．已知分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“△”看不清楚．(1)若“△”表示的數(shù)為4，求分式方程的解；(2)小穎說：“我看到答案是原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“△”代表的數(shù)．【答案】(1)(2)原分式方程中“△”代表的數(shù)為2【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程一定注意要驗根．（1）把△代入方程，進而利用解分式方程的方法解答即可；（2）設△為m，利用分式方程無解得到增根，解答即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗，得是原分式方程的解；（2）解：設，，方程兩邊同乘，得．∵原分式方程無解，即原方程產(chǎn)生增根，∴，∴是增根，把代入，得．得，∴原分式方程中“△”代表的數(shù)為2．6．已知：，．(1)求與的和；(2)若，求的值；(3)若關于的方程無解，實數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了分式方程的解法及方程無解的涵義，透徹理解方程解存在的意義是解題的關鍵．（1）通過通分、合同同類項，得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意列方程，通分移項、合并同類項，解得答案；（3）根據(jù)題意列方程求出關于x的方程，由于方程無解，即，解得答案．【詳解】（1）解：故．（2）若，則，解方程得：．檢驗：當時，．（3），去分母整理得：；無解，，，解得：（舍去）．檢驗：當時，．故．7．若關于x的方程：(1)有增根，求a的值；(2)無解，求a的值．【答案】(1)或(2)a的值為1或或8【分析】本題主要考查了分式方程的增根和分式方程無解的情況；（1）先將分式方程化為整式方程，根據(jù)方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解；（2）根據(jù)方程無解，可分兩種情況：原分式方程有增根和整式方程無解，即可求解．理解增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值是解題的關鍵．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘得：，整理可得：，∵原方程有增根，∴，即，當時，，當時，，∴或時，方程有增根；（2）解：由（1）知：a取或8時，原方程無解，當，方程無解，∴時，原方程無解；綜上所述，a的值為1或或8時，原方程無解．易錯點六：①忽略了變號；②端點取舍易錯一、不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變二、不等式組的解集：幾個不等式的解集的公共部分，當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解易錯提醒：（1）同乘或同除以一個負數(shù)時不要忽略變不等號的方向；（2）已知不等式組的解集情況求參數(shù)時，需要驗證臨界值是否符合條件，符合則可以取到否則舍棄例11．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∴不等式組的解集為，數(shù)軸表示如下所示：故選：C．例12．若的不等式組有兩個整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解．分別解兩個不等式，根據(jù)不等式組有且只有兩個整數(shù)解，得到關于a的不等式組，是解題的關鍵．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組有且只有兩個整數(shù)解，∴不等式的解集為，∴不等式的兩個整數(shù)解為和，∴，解得：，即a的取值范圍是，故答案為：．變式1．若關于x的一元一次不等式的解為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，兩邊同時除以，不等式的符號發(fā)生改變，可知，求解即可．【詳解】解：關于x的一元一次不等式的解為，，．故選：A．變式2．解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】不等式組的解集為，數(shù)軸表示見解析．【分析】本題主要考查了求不等式組的解集、不等式組的解集在數(shù)軸上的表示方法．先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上．【詳解】解：解不等式得，解不等式得，所以不等式組的解集為，將解集在數(shù)軸上表示，如圖，．變式3．若關于的一元一次不等式組無解，則的取值范圍是.【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組．先把a當作已知條件表示出不等式的解集，再由不等式組無解即可得出結(jié)論．【詳解】解：解得：，∵不等式組無解，∴，故答案為：．變式4．已知關于x的不等式組有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關鍵．解出一元一次不等式組的解集，根據(jù)有兩個整數(shù)解得出a的取值范圍．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，故不等式組的解集為，不等式組有兩個整數(shù)解，，，故選B．1．解不等式組：，并在數(shù)軸上表示它的解集．【答案】，數(shù)軸表示見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式組．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由①得：，

由②得：，不等式的解集為，在數(shù)軸上表示為2．按要求解答下列各題(1)解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來；(2)解不等式組，把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】(1)，見解析；(2)，見解析．【分析】本題主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示解集等知識點，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．（1）先求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來即可；（2）先分別求出各不等式的解集，再確定不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】（1）解：，，在數(shù)軸上表示如下：

（2）解：，解不等式①可得：，解不等式②可得：，不等式組的解集為；在數(shù)軸上表示如下：

3．解不等式組．【答案】．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為：．4．若不等式組的解集為，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的解集，熟練掌握同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）是解題的關鍵．根據(jù)確定解集的方法即可得到答案．【詳解】解：∵不等式組的解集是，∴．故答案為：．5．若關于的不等式組有解，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是根據(jù)不等式組的解集情況求解參數(shù)的取值范圍，熟練解一元一次不等式組是解本題的關鍵．先解不等式組可得解集，再結(jié)合解集的情況求解即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，∵關于的不等式組有解，∴．故答案為：．6．若不等式組無解，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)大大小小無解找,去確定范圍即可．本題考查了不等式組無解的條件，熟練掌握無解的基本條件是解題的關鍵．【詳解】∵解①得，解②，∵不等式組無解，根據(jù)大大小小無解找，得，故答案為：．7．已知關于x的不等式組的整數(shù)解共有4個，則a的取值范圍是【答案】/【分析】本題考查與一元一次不等式組的整數(shù)解有關求字母參數(shù)值的問題，關鍵是先解出一元一次不等式組，再確定整數(shù)解，最后根據(jù)整數(shù)解來確定a的取值范圍．【詳解】解：解不等式組得，∵整數(shù)解有個，則、、、，則．故答案為：．易錯點七：整體換元時忘代原字母解二元一次方程組的方法：①代入消元法；②加減消元法。易錯提醒：（1）若用到在用整體換元時，求得換元后值的時候還要反代回去求原方程組字母的值，切不可把換元后的值當做原方程組的解；（2）不擅長用整體思想，以為字母相同，值就相同例13．已知關于x的方程的解為，那么關于y的方程的解為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握換元法是解題關鍵．令，則，由此即可得．【詳解】解：令，則關于的方程可轉(zhuǎn)化為關于的方程，關于的方程的解為，∴關于的方程的解為，，解得，故選：C．例14．已知方程組的解為，則方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二元一次方程組解的定義；運用整體的思想是解題的關鍵．運用整體的思想，得，解得．【詳解】解：由題意，方程組的解為，∴方程組的解滿足：，解得，故選：A變式1．關于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程．根據(jù)關于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），可知或，進一步求解即可．【詳解】解：關于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），∴在方