湖北省孝感市孝南區(qū)2024屆高考數(shù)學五模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省孝感市孝南區(qū)2024屆高考數(shù)學五模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.3.函數(shù)的對稱軸不可能為()A. B. C. D.4.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點,其弦的中點坐標為,則直線的方程為()A. B. C. D.5.在展開式中的常數(shù)項為A.1 B.2 C.3 D.76.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成,若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.7.設函數(shù),當時,,則()A. B. C.1 D.8.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或19.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個坐位的寬度(),每個座位寬度為,估計彎管的長度,下面的結(jié)果中最接近真實值的是()A. B. C. D.10.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.11.已知點是雙曲線上一點,若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.212.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.14.已知正四棱柱的底面邊長為,側(cè)面的對角線長是,則這個正四棱柱的體積是____.15.設,若關(guān)于的方程有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍_____.16.在中,角的對邊分別為,且,若外接圓的半徑為,則面積的最大值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認為,此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:贈送話費的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列與數(shù)學期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,19.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的中心為坐標原點焦點在軸上,右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩點,設,連接交橢圓于另一點.求證:直線過定點并求出點的坐標;(3)在(2)的條件下,過點的直線交橢圓于兩點,求的取值范圍.20.(12分)設等比數(shù)列的前項和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)在和之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設數(shù)列的前項和為,求證:.21.(12分)為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務費記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.22.(10分)已知為坐標原點,單位圓與角終邊的交點為,過作平行于軸的直線,設與終邊所在直線的交點為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的等價條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學生邏輯推理,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.【詳解】對于函數(shù),令,解得,當時,函數(shù)的對稱軸為,,.故選:D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

設,,利用點差法得到,所以直線的斜率為2,又過點,再利用點斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設,∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過點,∴直線的方程為:,即,故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線相交的中點弦問題,解題方法是“點差法”,即設出弦的兩端點坐標,代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點坐標建立關(guān)系.5、D【解析】

求出展開項中的常數(shù)項及含的項,問題得解?!驹斀狻空归_項中的常數(shù)項及含的項分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7、A【解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、D【解析】

求得直線的斜率,利用曲線的導數(shù),求得切點坐標,代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

為彎管,為6個座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對的圓心角,再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個座位的寬度,則設弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認為,即于是,長所以是最接近的,其中選項A的長度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長.故選:B【點睛】本題考查了弧長公式,需熟記公式,考查了學生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

設點的坐標為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長為2,

該幾何體的表面積:.故選C.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】分析:由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的中等馬,結(jié)合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點睛:有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時,用列舉法把所有基本事件一一列出時,要做到不重復、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計數(shù)原理的正確使用.14、【解析】Aa設正四棱柱的高為h得到故得到正四棱柱的體積為故答案為54.15、【解析】

先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實數(shù)解,,進而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當時,;當時,;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當時,函數(shù)取得最小值,又因為方程有實數(shù)解,那么,即,所以實數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導數(shù)的應用,屬于中檔題.16、【解析】

由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式,結(jié)合范圍可求的值,利用正弦定理可求的值,進而根據(jù)余弦定理,基本不等式可求的最大值,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解:,由正弦定理可得:,,,又,,,即,可得:,外接圓的半徑為,,解得,由余弦定理,可得,又,(當且僅當時取等號),即最大值為4,面積的最大值為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應用,余弦定理,基本不等式,三角形的面積公式在解三角形中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】

(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以當時,;當時,無解;當時,;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點睛】本題考查分段函數(shù),絕對值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問題,屬于中檔題.18、(1)(2)詳見解析【解析】

由題意,根據(jù)平均數(shù)公式求得,再根據(jù),參照數(shù)據(jù)求解.由題意得,獲贈話費的可能取值為,求得相應的概率,列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上,由題意得,獲贈話費的可能取值為,,的分布列為:【點睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機變量的分布列及期望,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)證明詳見解析,;(3).【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的等式求解即可.(2)先根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,再設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,進而求得的方程,并代入,化簡分析即可.(3)先分析過點的直線斜率不存在時的值,再分析存在時,設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達定理再代入求解出關(guān)于的解析式,再求解范圍即可.【詳解】解:設橢圓的標準方程焦距為,由題意得,由,可得則,所以橢圓的標準方程為;證明:根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,由題意可知直線的斜率存在,設直線的方程為,聯(lián)立,消去得到,設點,則.所以,所以的方程為,令得,將,代入上式并整理,,整理得,所以,直線與軸相交于定點.當過點的直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時,當過點的直線斜率存在時,設直線的方程為,且在橢圓上,聯(lián)立方程組,消去,整理得,則.所以所以,所以,由得,綜上可得,的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及定值和范圍的問題,需要分析直線的斜率是否存在的情況,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達定理以及所求的解析式,結(jié)合參數(shù)的范圍進行求解.屬于難題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ),,兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.(Ⅱ)由題設可得,可得,利用錯位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因為,故,兩式相減可得,,故,因為是等比數(shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式求和公式、錯位相減法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.21、(1)平均

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