湖南省瀏陽一中等湘東五校中學2024屆高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

湖南省瀏陽一中等湘東五校中學2024屆高三第二次診斷性檢測數學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2},則函數的圖像可能是（）A． B． C． D．2．已知函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知集合，則()A． B． C． D．4．已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．5．已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則6．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P27．已知函數，則下列結論中正確的是①函數的最小正周期為；②函數的圖象是軸對稱圖形；③函數的極大值為；④函數的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④8．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．119．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A． B．C． D．10．如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結論錯誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數據的方差小于后3年我國入境游客萬人次數據的方差11．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關于的不等式在上恒成立，則的最大值為__________．14．已知集合，，則__________．15．設為互不相等的正實數，隨機變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）16．在直三棱柱內有一個與其各面都相切的球O1，同時在三棱柱外有一個外接球.若,，,則球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.18．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數;(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數為X，求的分布列和數學期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡，現將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡員，要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據圖表中數據，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)19．（12分）已知為坐標原點，點，，，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標為，.（1）求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程；（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.20．（12分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎者擲各面標有點數的正方體骰子次，若擲得點數大于，則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結束抽獎，已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球，抽獎者從箱中任意摸出個球，若個球均為紅球，則獲得一等獎，若個球為個紅球和個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同）.若，求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率；若一等獎可獲獎金元，二等獎可獲獎金元，三等獎可獲獎金元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為，若商場希望的數學期望不超過元，求的最小值.21．（12分）設函數.(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若函數的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.22．（10分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點，平面，，為線段上一點（不與端點重合）．（1）若，（?。┣笞C：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實數滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】因為對A不符合定義域當中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數定義，故符合；對C出現了定義域當中的一個元素對應值域當中的兩個元素的情況，不符合函數的定義，從而可以否定；對D因為值域當中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．2、B【解析】

根據所給函數解析式，畫出函數圖像.結合圖像，分段討論函數的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結合即可求得的范圍；對于當時，結合導函數，結合導數的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據題意，畫出函數圖像如下圖所示：函數的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數圖像的畫法，函數零點定義及應用，根據零點個數求參數的取值范圍，導數的幾何意義應用，屬于中檔題.3、C【解析】

解不等式得出集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．4、A【解析】

根據指數函數的單調性，可得，再利用對數函數的單調性，將與對比，即可求出結論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數性質比較大小，注意與特殊數的對比，屬于基礎題..5、D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質定理,對選項做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對于，當，且，則與的位置關系不定，故錯；對于，當時，不能判定，故錯；對于，若，且，則與的位置關系不定，故錯；對于，由可得，又，則故正確．故選：．【點睛】本題考查空間線面位置關系.判斷線面位置位置關系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準確判斷．6、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數，屬于基礎題.7、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數的最小正周期為，因為函數的圖象關于直線對稱，所以只需研究函數在上的極大值與最小值即可．當時，，且，令，得，可知函數在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數的最小值為，④正確．故選D．8、B【解析】

根據題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.9、A【解析】∵集合∴∵集合∴，故選A10、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結論，C可通過計算中位數判斷選項是否正確.【詳解】A．由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數應為與的平均數，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.11、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進行命題轉換，使問題易于求解.12、B【解析】

結合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分類討論，時不合題意；時求導，求出函數的單調區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉化為函數最小值，化簡得，構造放縮函數對自變量再研究，可解,【詳解】令；當時，，不合題意；當時，，令，得或，所以在區(qū)間和上單調遞減.因為，且在區(qū)間上單調遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當時，，當時，則.設，則.當時，；當時，，所以在上單調遞增；在上單調遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式(為實參數)對任意的恒成立，求參數的取值范圍．利用導數解決此類問題可以運用分離參數法;如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(,或，)求解．14、【解析】

解一元二次不等式化簡集合，再進行集合的交運算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、>【解析】

根據方差計算公式，計算出的表達式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實數，故，也即，也即.故答案為：【點睛】本小題主要考查隨機變量期望和方差的計算，考查差比較法比較大小，考查運算求解能力，屬于難題.16、【解析】

先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,，設球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的內切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先根據平方關系求出,再根據正弦定理即可求出；（2）分別在和中，根據正弦定理列出兩個等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據余弦定理求出，即可根據求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積公式的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題．18、(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據比例關系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）曲線的標準方程為.拋物線的標準方程為.（2）見解析【解析】

（1）由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判斷動點P的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標準方程，根據平面向量數量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標準方程；（2）設出點P的坐標，再表示出點N和Q的坐標，根據題意求出的值，即可判斷結果是否成立．【詳解】（1）由題知，，所以，因此動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，又知，，所以曲線的標準方程為.又由題知，所以，所以，又因為點在拋物線上，所以，所以拋物線的標準方程為.（2）設，，由題知，所以，即，所以，又因為，，所以，所以為定值，且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質的應用問題，考查拋物線的幾何性質及點在曲線上的代換，也考查了推理與運算能力，是中檔題．20、；.【解析】

設顧客獲得三等獎為事件，因為顧客擲得點數大于的概率為，顧客擲得點數小于，然后抽將得三等獎的概率為，求出；由題意可知，隨機變量的可能取值為，，，相應求出概率，求出期望，化簡得，由題意可知，，即，求出的最小值.【詳解】設顧客獲得三等獎為事件，因為顧客擲得點數大于的概率為，顧客擲得點數小于，然后抽將得三等獎的概率為，所以；由題意可知，隨機變量的可能取值為，，，且，，，所以隨機變量的數學期望，，化簡得，由題意可知，，即，化簡得，因為，解得，即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法，屬于常考題.21、（1）（2）【解析】

(Ⅰ)當時，不等式為.若，則，解得或，結合得或.若，則，不等式