醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第二節(jié) 定積分

一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)第二節(jié)定積分三、定積分的計(jì)算11.求曲邊梯形的面積一、定積分的概念

曲邊梯形設(shè)函數(shù)y

f(x)在區(qū)間[a,

b]上非負(fù)、連續(xù).

由直線x

a、x

b、y

0及曲線y

f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形.

Oxyy=f(x)ab2Oxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)ab怎樣求曲邊梯形的面積？Oxy

y=f(x)ab3求曲邊梯形的面積

(1)分割:

a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:

設(shè)

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:

曲邊梯形的面積近似為

;y=f(x)xyObaxixi+1xi42.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

把整段時(shí)間分割成若干小時(shí)間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)，我們有公式路程=速度X時(shí)間解決變速運(yùn)動(dòng)的路程的基本思路

設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動(dòng),其速度為.求在時(shí)間間隔內(nèi)所走的路程,其中為區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).5(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)近似tOtn==t0t1ti

1

titn

1

ab6上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限

許多問(wèn)題的解決都可以化為上述特定和式的問(wèn)題，將其一般化，就得到定積分的概念.

曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

7

定義3-3設(shè)在區(qū)間上的有界函數(shù),用個(gè)分點(diǎn),將區(qū)間分成小區(qū)間,記,任取點(diǎn),作和

記,如果無(wú)論區(qū)間如何分法,點(diǎn)如何取法,當(dāng)時(shí),和總存在極限,則稱極限為在區(qū)間上的定積分,記作,即3.定積分的概念8被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和9(2)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為注意:(1)定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.

(3)

時(shí),規(guī)定

時(shí),規(guī)定10例3-31

利用定義計(jì)算定積分解:(1)分割將等分,分點(diǎn)為,小區(qū)間的長(zhǎng)度o1

(2)近似取(3)求和11所以(4)取極限當(dāng)124.定積分的幾何意義：

當(dāng)f(x)

0時(shí),f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)

0時(shí),

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值,即13Oyx

當(dāng)f(x)在區(qū)間[a,b]上時(shí)正時(shí)負(fù),則定積分表示曲線y=f(x)與x

軸介于a、b之間的各部分面積的代數(shù)和.b

y=f(x)aOxyy=f(x)abOxyy=f(x)ab14例3-32利用定積分的幾何意義求x1y面積值為圓的面積的解:由定積分的幾何意義,該積分值等于15二、定積分的性質(zhì)證明:(為常數(shù)).

性質(zhì)1證明:性質(zhì)216（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)3補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.性質(zhì)417

若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)5如果在區(qū)間上,若則

18證明:即

推論1在區(qū)間上,若(或),則或.推論2若,則19證明:因?yàn)樗约?/p>

推論3設(shè)及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值,則證明:即20證明:性質(zhì)6（定積分中值定理）

如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知:在區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使

21積分中值公式的幾何解釋：即

在區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn),使得以區(qū)間為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積,等于同一底邊而高為的矩形的面積.Oxyy=f(x)abf(x)22

注意:也叫做連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值.23三、定積分的計(jì)算

實(shí)際上,定義本身不失為定積分的一種計(jì)算方法.其基本步驟是:先作積分和,然后求其和式極限.這一過(guò)程是比較復(fù)雜的,并且應(yīng)用范圍也僅限于少數(shù)幾種特殊的被積函數(shù).在歷史上,尋找定積分新的計(jì)算方法,經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月,直到17世紀(jì)中葉,英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓(IsaccNewton,1642-1727)和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)創(chuàng)立了微積分基本定理.從而r揭示了定積分與不定積分之間的關(guān)系,建立了一種切實(shí)可行的、簡(jiǎn)單的計(jì)算方法.24(1)積分上限函數(shù)1.微積分基本定理

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并且設(shè)為上的一點(diǎn),積分

是函數(shù),記為.稱為積分上限函數(shù).y=f(x)ya

0bxx25證明:任取

定理3-4

如果在上連續(xù),則積分上限函數(shù)

的函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù),且它的導(dǎo)數(shù)

等于被積函數(shù),即26由積分中值定理得:27推論:（原函數(shù)存在定理）

如果在上連續(xù),則積分上限的函數(shù)就是在上的一個(gè)原函數(shù)例3-33求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解:由定理3-4所以28例3-34求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:先將函數(shù)化為積分上限函數(shù)因此可視為由、復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).所以29解：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.例3-35求極限30(2)微積分基本定理

定理3-5如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且是一個(gè)原函數(shù)，則

牛頓—萊布尼茨公式證明:已知是的一個(gè)原函數(shù)

又

也是的一個(gè)原函數(shù)

31令令即

牛頓—萊布尼茨公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于該函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)在[a,b]上函數(shù)值的增量.32例3-36

求

解:例3-37

求

解:例3-38

求

解:332.定積分的換元積分法

定理3-6

假設(shè)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù);其中、.當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，的值在上變化，則

注意:(1)用把變量換成新變量時(shí),積分限也相應(yīng)的改變.(2)求出的一個(gè)原函數(shù)后,不必象計(jì)算不定積分那樣再把變換成原變量的函數(shù),而只要把新變量的上、下限分別代入然后相減就行了.34例3-39

計(jì)算解:設(shè)所以若不換新變量,就不要換上、下限,即35解:例3-40

計(jì)算36例3-41

計(jì)算解:設(shè)37證明:當(dāng)時(shí),;時(shí)例3-42

已知函數(shù)在上連續(xù),試證明為奇函數(shù)為偶函數(shù)38當(dāng)為奇函數(shù)，則

當(dāng)為偶函數(shù)，則

39例3-43已知是以為周期的連續(xù)函數(shù),試證明證明:當(dāng)時(shí),;時(shí)在中令

又于是所以40證明:3.定積分的分部積分法定積分的分部積分公式

定理3-7設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有

41例3-44

求解:例3-45