畢業(yè)論文-廣義逆矩陣的求法探討

頁(yè),共21頁(yè)0引言矩陣逆的概念只對(duì)非奇異方陣才有意義.但是，在實(shí)際問(wèn)題中，我們碰到的矩陣并不都是方陣，即使是方陣，也不都是非奇異的。因此，有必要推廣逆矩陣的概念.為此，本文給出了廣義逆矩陣的定義，并利用廣義逆的性質(zhì)，給出其計(jì)算方法。1廣義逆矩陣的概念與定理定義1.1設(shè)是的矩陣，若的矩陣滿足如下四個(gè)方程的全部或者一部分，則稱為的廣義逆矩陣，簡(jiǎn)稱廣義逆.(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)則稱是的逆，記為.如果某個(gè)只滿足（1.1）式，為的{1}廣義逆，記為G{1}；如果另一個(gè)滿足（1.1），（1.2）式，則稱為的{1,2}廣義逆，記為{1，2}；如果{1，2，3，4}，則是逆等.下面介紹常用的5種{1},{1,2}，{1,3},{1,4},{1,2,3,4}每一種廣義逆矩陣又都包含著一類矩陣，分述如下：{1}中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作減號(hào)廣義逆，或g逆，記為；{1,2}中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作自反減號(hào)逆，記為；{1,3}中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作最小范數(shù)廣義逆，記為；{1,4}中任意一個(gè)確定的廣義逆，稱作最小二乘廣義逆，記為；{1,2,3,4}：唯一一個(gè)，稱作加號(hào)逆，或，記為.定義1.2設(shè)是的矩陣（,當(dāng)時(shí)，可以討論），若有一個(gè)的矩陣（記為）存在，使下式成立，則稱為的減號(hào)廣義逆或者逆：(1.5)當(dāng)存在時(shí)，顯然滿足上式，可見(jiàn)減號(hào)廣義逆是普通廣義逆矩陣的推廣；另外，由得可見(jiàn)，當(dāng)為的一個(gè)減號(hào)廣義逆時(shí)，就是的一個(gè)減號(hào)廣義逆.定義1.3設(shè)的特征值為則稱為矩陣的正奇異值，簡(jiǎn)稱奇異值. 定義1.4設(shè)矩陣，如果時(shí)存在；或者當(dāng)時(shí)，存在有，稱這兩種長(zhǎng)方陣為最大秩方陣（滿秩方陣），前者又稱行最大秩矩陣（行滿秩矩陣），后者又稱為列最大秩矩陣（列滿秩矩陣）.定義1.5設(shè)是矩陣,若有矩陣滿足(或),則稱為的右逆(或左逆),記為(或).定理1.1設(shè)是的矩陣，則的逆存在且唯一.證明先證的存在性.設(shè)的奇異值分解其中，是的非零奇異值，與是酉矩陣.令容易驗(yàn)證滿足四個(gè)方程，因此存在.下面證的唯一性.假定也是滿足4個(gè)方程，則因此,說(shuō)明是唯一的，且若是非奇異矩陣，容易驗(yàn)證滿足4個(gè)方程，此時(shí).由此可見(jiàn)逆把逆推廣到所有矩陣（甚至零矩陣）.定理1.2設(shè)，，存在階的可逆矩陣及階可逆矩陣，使則階矩陣使得的充分必要條件是其中分別是階任意矩陣.證明先證必要性，由條件有階及階可逆矩陣，使那么根據(jù)應(yīng)滿足的,有再令分塊如題設(shè)要求，代入上式所以,于是有得到再證充分性，由于則引理1.1對(duì)于任意的矩陣，它的減號(hào)逆總存在，但不唯一，并且是的一個(gè)減號(hào)逆【1，2】.引理1.2對(duì)于任意的矩陣，它的極小范數(shù)總存在，但不唯一，并且是的一個(gè)極小范數(shù)逆【1‘2】.引理1.3對(duì)于任意矩陣,它的最小二乘逆總存在,但不唯一,并且它是的一個(gè)最小二乘逆【1，2】.引理1.4對(duì)于任意矩陣,它的加號(hào)逆總存在，并且唯一.其中這里是的滿秩分解式【1，2，3】.定理1.3是矩陣,若是行滿秩矩陣,則總有；是列滿秩矩陣，則總有；，則總有，其中是的滿秩分解式.定理1.4設(shè)則可將做滿秩分解（或的最大秩分解）其中是階矩陣，且.將一非列或非行滿秩的非零矩陣表示為一列滿秩和一行滿秩的矩陣的積的分解稱為滿秩分解.在各種廣義逆的直接計(jì)算方法中,幾乎都要對(duì)矩陣進(jìn)行滿秩分解,例如分解等等.但當(dāng)計(jì)算某些廣義逆時(shí),分解將帶來(lái)大量非必要的計(jì)算,因而有必要對(duì)滿秩分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化,為此,我們首先用構(gòu)造性方法證明下述定理.定理1.5對(duì)任意矩陣,總存在著矩陣和矩陣，使得成立.證明設(shè)，則必有一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)列，，…，，故令=[，，…，]于是有非奇異矩陣，使,亦即有(1.6)成立，其中為階數(shù)適當(dāng)?shù)牧憔仃嚕倭碇脫Q矩陣便有,于是由（1）知，=(1.7)其中,且顯然有，.類似地可證存在著和，使有,成立，倘令(1.8)(1.9)同樣有.特別，若A為行滿秩或者列滿秩，則與中之一為單位陣，定理依然成立.定理1.6對(duì)任何的矩陣，都有性質(zhì)1.1(1)的充分必要條件是，此時(shí),稱為的一個(gè)左逆，記為.(2)的充分必要條件是，此時(shí)=稱為的一個(gè)右逆，記為.證明(1)充分性，若則所以必要性，若，則存在階及階可逆矩陣,使或由定理1.2可得,則有即，于是有由于所以是可逆陣，那么所以，可取(2)同理可證性質(zhì)(2)，可逆，有所以，可取2廣義逆矩陣的計(jì)算方法2.1廣義逆矩陣A+的奇異值分解法設(shè)矩陣，由定理1.1知存在并且唯一，當(dāng)時(shí)，則有奇異值分解：其中，，為的奇異值，則具有如下形式：.例1用奇異值分解求，其中.解的奇異值分解為,所以=.例2設(shè)用奇異值分解法求.解因此特征值求出對(duì)應(yīng)于所以=2.2廣義逆矩陣的最大秩分解法的矩陣的秩，的最大秩分解為其中是階矩陣，是階矩陣，且，則(2.1)特別當(dāng)時(shí)（行滿秩陣）(2.2)當(dāng)時(shí)（列滿秩陣）(2.3)例3求矩陣的逆.解首先求得的滿秩分解為，故==.2.3極限法求廣義逆矩陣設(shè)是階矩陣，則(2.4)證明因?yàn)橛啥ɡ?.6得設(shè)用極限法求.解因?yàn)橐虼?.4廣義逆矩陣的滿秩分解法對(duì)任意矩陣，由定理1.5知，其中是階矩陣，是階矩陣，且，再由性質(zhì)1.1可得

如果A是實(shí)矩陣，有設(shè)為矩陣的最大秩分解,則的廣義逆矩陣的一般形式為.例5設(shè)，求其廣義逆矩陣.解首先對(duì)進(jìn)行最大秩分解,對(duì)作行初等變換如下:所以的最大秩分解為=由定理1.3知，這里為3階可逆方陣，故為行滿秩矩陣，故可取=從而=例6設(shè)矩陣=求.解有滿秩分解為取=，從而=，得取,得得在依據(jù)性質(zhì)1.1的(1.5)及(1.6)可分別求出于是得到2.4初等變換法求廣義逆矩陣方法和步驟：經(jīng)過(guò)一系列的初等行或初等列變換總可以將寫(xiě)成式的形式,這里分別是m和矩陣，由定理1.2，則的全部廣義逆為這里、分別是任意的例7.解由上述定理,首先要將寫(xiě)成式的形式.為此,將作初等變換得=設(shè),,,,則,從而，有=例8設(shè),求廣義逆.解=于是,.所以的減號(hào)廣義逆為,其中.以上介紹了的初等變換法，那么我們現(xiàn)在給定一個(gè)矩陣,總有，有定理1.3知當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有,當(dāng)時(shí)，有，其中是的滿秩分解式.我們可以看出要求矩陣的任何一種廣義逆矩陣,關(guān)鍵是求出一個(gè).那么下給出了利用初等變換法求出的具體方法.設(shè),(不必限制)則存在階可逆矩陣使得則，令由于所以是的一個(gè)廣義逆矩陣(.據(jù)此，我們對(duì)下面分塊矩陣進(jìn)行初等變換：=因此,.同理，對(duì)下面的分塊矩陣施行初等變換：=因此，.這里、均指可逆矩陣.例9設(shè)=，求的最小二乘逆.解因?yàn)?，所?對(duì)下列矩陣施行初等行變換有所以=.例10設(shè)，求最小范數(shù)逆.解因?yàn)?，所以=,對(duì)下列矩陣施行初等變換有所以.上述例題給出的求廣義逆矩陣和的方法,簡(jiǎn)便易行且使各種廣義逆矩陣的計(jì)算得到了徹底解決.致謝本文是在的指導(dǎo)下完成的，在此衷心的感謝周教授的細(xì)心的指導(dǎo)，才能順利完成本論文.參考文獻(xiàn)[1]李宗鐸.求逆矩陣的一個(gè)方法[J]數(shù)學(xué)通報(bào)，1983（11）：15—16.[2]南京大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè).線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，1978：97.[3]任曉紅.球廣義逆矩陣Aˉ的初等變換法[J].西北輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（2）：105—106.[4]周琳.介紹廣義逆矩陣及其計(jì)算方法[J].本溪冶金高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2001（2）：43—45.[5]北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京高等教育出版社，1978：187.[6]楊明，劉先忠.矩陣論[M].華中科技大學(xué)出版社，2005：95—98.[7]劉丁酉.矩陣分析[M].武漢大學(xué)出版社，2004：241—241.[8]蘇育才，姜翠波等.矩陣?yán)碚揫M].科學(xué)出版社，2003：192.[9]吳強(qiáng).基于矩陣初等變換的矩陣分解法[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2000，20（4）.[9]劉宣黃.廣義逆矩陣的計(jì)算方法[J].江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，21（1）：44—47.[10]Fuzhenzhang，MatrixTheory，Springer，1999.[11]HornRA，JohnsonCR.1989.MatrixAnalysis（矩陣分析）.楊奇.天津：天津大學(xué)出版社.[12]DJFieldWhatisthegoalofsensorycoding?1994(4)MHeiler.CSchnorrLearningsparse.[13]POHoyerNon-negativernatrixfactorizationwithsparsenessconstraints2004(9)基于C8051F單片機(jī)直流電動(dòng)機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營(yíng)養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究與開(kāi)發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測(cè)試儀的研制基于單片機(jī)的自動(dòng)找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開(kāi)發(fā)基于單片機(jī)的液壓動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)儀開(kāi)發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺(tái)控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動(dòng)器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開(kāi)發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測(cè)儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開(kāi)發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動(dòng)檢測(cè)儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測(cè)量?jī)x的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機(jī)的多生理信號(hào)檢測(cè)儀基于單片機(jī)的電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Pico專用單片機(jī)核的可測(cè)性設(shè)計(jì)研究基于MCS-51單片機(jī)的熱量計(jì)基于雙單片機(jī)的智能遙測(cè)微型氣象站MCS-51單片機(jī)構(gòu)建機(jī)器人的實(shí)踐研究基于單片機(jī)的輪軌力檢測(cè)基于單片機(jī)的GPS定位儀的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機(jī)系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機(jī)的時(shí)控和計(jì)數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機(jī)和CPLD的粗光柵位移測(cè)量系統(tǒng)研究單片機(jī)控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機(jī)應(yīng)用能力的探究基于單片機(jī)控制的自動(dòng)低頻減載裝置研究基于單片機(jī)控制的水下焊接電源的研究基于單片機(jī)的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機(jī)的氚表面污染測(cè)量?jī)x的研制基于單片機(jī)的紅外測(cè)油儀的研究96系列單片機(jī)仿真器研究與設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機(jī)的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)基于MSP430單片機(jī)的電梯門機(jī)控制器的研制基于單片機(jī)的氣體測(cè)漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機(jī)的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機(jī)和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測(cè)技術(shù)研究基于單片機(jī)的膛壁溫度報(bào)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于AVR單片機(jī)的低壓無(wú)功補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)船舶電力推進(jìn)電機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于單片機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)信號(hào)的采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的大容量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機(jī)的疊圖機(jī)研究與教學(xué)方法實(shí)踐基于單片機(jī)嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實(shí)現(xiàn)基于AT89S52單片機(jī)的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的多道脈沖幅度分析儀研究機(jī)器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機(jī)控制系統(tǒng)基于單片機(jī)的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究基于單片機(jī)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機(jī)的莫爾斯碼自動(dòng)譯碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開(kāi)發(fā)基于Cygnal單片機(jī)的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機(jī)的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機(jī)與Internet互聯(lián)的研究與實(shí)現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機(jī)控制器的研究基于單片機(jī)γ-免疫計(jì)數(shù)器自動(dòng)換樣功能的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的倒立擺控制系統(tǒng)設(sh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