中考數(shù)學專題二題型五材料閱讀與圖案設計

中考數(shù)學專題二題型五材料閱讀與圖案設計例1

(2020·達州)(1)[閱讀與證明]如圖①，在正△ABC的外角∠CAH內(nèi)引射線AM，作點C關(guān)于AM的對稱點E(點E在∠CAH內(nèi))，連接BE，BE，CE分別交AM于點F，G.①完成證明：∵點E是點C關(guān)于AM的對稱點，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2.∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4.在△ABE中，∠1＋∠2＋60°＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠3＝____°.在△AEG中，∠FEG＋∠3＋∠1＝90°，∴∠FEG＝____°.②求證：BF＝AF＋2FG.6030(2)[類比與探究]把(1)中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖②.類比探究，可得：①∠FEG＝____°；②線段BF，AF，F(xiàn)G之間存在數(shù)量關(guān)系____________________________；45(3)[歸納與拓展]如圖③，點A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<180°)，在∠CAH內(nèi)引射線AM，作點C關(guān)于AM的對稱點E(點E在∠CAH內(nèi))，連接BE，BE，CE分別交AM于點F，G.則線段BF，AF，GF之間的數(shù)量關(guān)系為____________________________．(1)②證明：如解圖①，連接CF，在FB上取一點T，使得FT＝CF，連接CT.∵C，E關(guān)于AM對稱，∴AM垂直平分線段EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，∴∠CFT＝∠FEC＋∠FCE＝60°，∵FC＝FT，∴△CFT是等邊三角形，∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF(SAS)，∴BT＝AF，∴BF＝BT＋FT＝AF＋EF＝AF＋2FG.1.(2020·山西)閱讀與思考：如圖是小宇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．任務：(1)填空：“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學定理是______________________；(2)根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明∠RCS＝90°；(3)①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點C作出AB的垂線(在木板上保留作圖痕跡，不寫作法)；②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學定理或基本事實(寫出一個即可).勾股定理的逆定理解：(2)由作圖方法可知，QR＝QC，QS＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC＋∠RCS＋∠QRC＋∠QSC＝180°，∴2(∠QCR＋∠QCS)＝180°，∴∠QCR＋∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°；(3)①如解圖所示，直線PC即為所求；②答案不唯一，如：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．證明：(1)∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ADB＝∠ACB＋∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB＋∠BAE，∴∠BAE＝∠DAC；(1)【舉例應用】已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝7，則△ABC的面積為____；4.(2019·鎮(zhèn)江)【材料閱讀】地球是一個球體，任意兩條相對的子午線都組成一個經(jīng)線圈(如圖①中的⊙O).人們在北半球可觀測到北極星，我國古人在觀測北極星的過程中發(fā)明了如圖②所示的工具尺(古人稱它為“復矩”)，尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個銅錘，這樣棉線就與地平線垂直．站在不同的觀測點，當工具尺的長邊指向北極星時，短邊與棉線的夾角α的大小是變化的．【實際應用】觀測點A在圖①所示的⊙O上，現(xiàn)在利用這個工具尺在點A處測得α為31°，在點A所在子午線往北的另一個觀測點B，用同樣的工具尺測得α為67°.PQ是⊙O的直徑，PQ⊥ON.(1)求∠POB的度數(shù)；解：(1)設過點B的切線CB交ON延長線于點E，HD⊥BC于點D，CH⊥BH交BC于點C，如解圖所示．則∠DHC＝67°，∵∠HBD＋∠BHD＝∠BHD＋∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°－67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°－23°＝67°；例2

(2020·益陽)定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問題：(1)如圖①，正方形ABCD中，E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？(2)如圖②，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD>AB，點B到直線AD的距離為BE.①求BE的長；②若M，N分別是AB，AD邊上的動點，求△MNC周長的最小值．【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得BE＝BF，再證明∠EBF＝90°，∠EBF＋∠D＝180°便可；(2)①過點C作CF⊥BE于點F，證明△BCF≌△ABE得CF＝BE，設BE＝x，在Rt△BCF中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程解答便可；②延長CB到點F，使得BF＝BC，延長CD到點G，使得CD＝DG，連接FG，分別與AB，AD交于點M，N，求出FG便是△MNC的最小周長．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，∵將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應點F在DA的延長線上，∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴∠EBF＋∠D＝180°，∴四邊形BEDF為“直等補”四邊形；(2)①過C作CF⊥BE于點F，如解圖①，則∠CFE＝90°，∵四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD>AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1，∵∠ABE＋∠A＝∠CBE＋∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CBE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE＝CF，設BE＝CF＝x，則BF＝x－1，∵CF2＋BF2＝BC2，∴x2＋(x－1)2＝52，解得x＝4或x＝－3(舍)，∴BE＝4；②如解圖②，延長CB到點F，使得BF＝BC，延長CD到點G，使得CD＝DG，連接FG，分別與AB，AD交于點M，N，過點G作GH⊥BC，與BC的延長線交于點H.連接MC，NC，則BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴CM＝FM，CN＝GN，∴△MNC的周長的最小值＝CM＋MN＋CN＝FM＋MN＋GN＝FG，此時值最小值，∵四邊形ABCD是“直等補”四邊形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＋∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG，5.(2019·蘭州)通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AD，過點D作DE⊥AC于點E，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC＝DE，BC＝AE.我們把這個數(shù)學模型稱為“K型”．推理過程如下：【模型應用】如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到AD，過點D作DE⊥AC于點E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，連接DO交⊙O于點F.(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)連接FC交AB于點G，連接FB.求證：FG2＝GO·GB.證明：(1)∵⊙O為Rt△ABC的外接圓，∴O為斜邊AB中點，AB為直徑，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵∠DAE＝∠ABC，∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∴∠BAD＝180°－(∠DAE＋∠BAC)＝90°，∴AD⊥AB.∴AD是⊙O的切線；7.(2020·咸寧)定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：(1)若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為___________________；證明：(2)如圖①，MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點D.求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：(3)如圖②，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究線段AD，CD和BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．90°或270°(2)證明：∵MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，∴∠BAM＋∠BCN＝90°，即∠BAD＋∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形；(3)解：線段AD，CD和BD之間數(shù)量關(guān)系為：AD2＋CD2＝BD2，理由如下：∵對余四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，如解圖所示，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等邊三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB＋∠BDC＝30°，∴∠BFA＋∠ADB＝30°，∵∠FBD＋∠BFA＋∠ADB＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴60°＋30°＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴∠AFD＋∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2＋AF2＝DF2，∴AD2＋CD2＝BD2.8.數(shù)學概念百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某些邊向兩邊延長，其他各邊不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖①，在四邊形ABCD中，畫出DC所在直線MN，邊BC，AD分別在直線MN的兩旁，則四邊形ABCD就是凹四邊形．性質(zhì)初探(1)在圖①所示的凹四邊形ABCD中，求證：∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D；深入研究(2)如圖②，在凹四邊形ABCD中，AB與CD所在直線垂直，AD與BC所在直線垂直，∠B，∠D的平分線相交于點E.①求證：∠A＋∠BCD＝180°；②隨著∠A的變化，∠BED的大小會發(fā)生變化嗎？如果有變化，請?zhí)剿鳌螧ED與∠A的數(shù)量關(guān)系；如果沒有變化，請求出∠BED的度數(shù)．(1)證明：如解圖①，延長DC交AB于點E，∵∠BEC是△AED的一個外角，∴∠A＋∠D＝∠BEC，同理，∠B＋∠BEC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D.(2)①證明：如解圖②，延長BC，DC分別交AD，AB于點F，G，由題意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，∵在四邊形AFCG中，∠AFC＋∠AGC＋∠A＋∠FCG＝360°，∴∠A＋∠FCG＝180°，∵∠FCG＝∠BCD，∴∠A＋∠BCD＝180°；②解：由(1)可知，在凹四邊形ABED中，∠A＋∠ABE＋∠ADE＝∠BED①，同理，在凹四邊形EBCD中，∠BED＋∠EBC＋∠EDC＝∠BCD②，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，同理，∠ADE＝∠EDC，①－②得∠A＋∠BCD＝2∠BED，由(2)①可知，在凹四邊形ABCD中，∠A＋∠BCD＝180°，∴2∠BED＝180°，∴∠BED＝90°.例3

(2020·長春)圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC.要求：(1)在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；(2)三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；(3)點C在格點上．解：如解圖所示，即為符合條件的三角形．9.(2020·寧波)圖①，圖②都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有3個小等邊三角形已涂上陰影．請在余下的空白小等邊三角形中，分別按下列要求選取一個涂上陰影：(1)使得4個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形．(2)使得4個陰影小等邊三角形組成一個中心對稱圖形．(請將兩個小題依次作答在圖①，圖②中，均只需畫出符合條件的一種情形)解：(1)軸對稱圖形如解圖①所示；(2)中心對稱圖形如解圖②所示．10.(2019·無錫)按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作