高等數(shù)學(xué)第二部分-指導(dǎo)與開拓

第二部分指導(dǎo)與開拓

第一篇函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

I內(nèi)容小結(jié)

一元函數(shù)極限與連續(xù)

關(guān)系:收斂唯一性2.1

Th2.1保號性2.2

單調(diào)有界性2.3

收斂

liman=a-N"定義2.3迫斂性2.4

數(shù)列的極限w->x

定理：定理2.1與定理2.2四則運算2.5

r-1

Xf4-00

r=定義2.4X->-co

Xr—T￥o8c?1

函數(shù)的極限

X—>Xg右極限

Ilim/(x)4="￡一6”定義2.5

?X->XQ左極限

limf(x)=/=limf(x)=lim=A

XfX。X->XQ

Afoo

（定義2.6r定義2.8

f+性質(zhì)2.5無窮大量jf+"8-00”型不定式

一〔運氨一

運算1X件」2.6->有界量與無窮小量]X乘積為無窮大

定

無窮小量《的乘積為無窮小量〔+“巖'型不定式

義〔+明"型不定式

求

極階的比較（定義2.7）

限lim/（X）=/o/（x）=4+a（a為無窮小量）A=f（x0）

I連續(xù)

rf（x）在聞處連續(xù)o/（%）在與處既左連續(xù)又右連續(xù)

「在?點劭處連續(xù)定義2.9-2.C四則運算

I運算4復(fù)合運算初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)

I反函數(shù)的連續(xù)

V

連4在區(qū)間I上連續(xù)：VxG/,/（X）在X處連續(xù)=/（X）在/上連續(xù)

續(xù)最值性定理2.13

閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的性則有界性定理2.14

I介值性定理2.15二零點定理2.16（根的存在性）

侔義2」4

（間斷，[I類間斷點定義2.15

分類-

III類間斷點定義2.16

76

二一元函數(shù)與二元函數(shù)極限與連續(xù)的關(guān)系

分類一元函數(shù)二元函數(shù)

內(nèi)容'7y=f(x)Z=f(X,y)

設(shè)數(shù)集(二維)D非空，若有一規(guī)則f,

設(shè)數(shù)集D非空，VxeZ)，若有一規(guī)則/,

Vxj€有唯一的數(shù)z與之對應(yīng)，

定義有唯一的數(shù)y與之對應(yīng)，則稱/為定義

在D上的函數(shù)記為產(chǎn)/x)則稱/為定義在D上的函數(shù)，

記為產(chǎn)力'))

定義域X坐標(biāo)軸上的區(qū)間X。＞平面內(nèi)的區(qū)域

幾何意義xoy平面內(nèi)的一條曲線Oxyz平面內(nèi)的一張曲面

lim/,(x)=/o"￡—b"定義

XT%

極限limf(x,y)-Ao“￡一b”定義

［路徑：沿X軸pip。

以X—>x()'［方向：xTX。從左右兩個方向

J路徑:任意值線，曲線…)

討.方向：任意方向pfp

P(x,y)TP(x0,yn)limf(x)=/o0

A—

為例

limf(x)=limf(x)=A

lim/(x,y)=/(Xo/o)

lim/(x)=/Go)pfpii

連續(xù)

結(jié)論:二元初等函數(shù)在定義域內(nèi)都

結(jié)論：?元初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù)

連續(xù)

II解題方法

一.求極限(以一元函數(shù)為例研究)

求函數(shù)的極限，其難點在于求初等函數(shù)不定式的極限。本章涉及的不定式有：,七，0.OO,

00-00,r,0",8°型，其背后的初等函數(shù)都是多種多樣，解題方法更是千變?nèi)f化。可以說是一

個無限的范疇。但如果從基本初等函數(shù)的分類(五類)入手，就可以把無限轉(zhuǎn)化成有限。因為初等

函數(shù)(無限)是由基本初等函數(shù)(五類)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù)合得到的。從而可以窺其端倪，

找出一般規(guī)律。

1、含有“事函數(shù)”的不定式求極限

(1)、多項式函數(shù)/(x)-an+atx+...+anx"

1)lim/(x)=lim(a0+qx+…+=lim<70+lim(X+…+limanx"

X-￥XQXTX0X->X0XfX0X->XQ

n

=%+atx0+...+anxo=/(x())

2)limf(x)-oo

Xfco，

a+ax+...+ax"

(2)有理函數(shù)/(x)=0{n

m

Q,?Mbi)+b］x+...+bmx

77

黑4=/(x。)Q“,(x”0

0〃(Xo)

....a+ax+...+axn

1)lim/(x)=lim-0---x!---------n--=<00(Xo)=O,匕(%o)。。

mQm

xf。-x。b。+b[X+...+bx

m件(因式分解)Z(x°)=O，e(Xo)=O

*=/。0)n=m

bm

!

2)lim/(x)=lim---------------=<0

n，n<m

…fO4+哪+...+bmX

00n>m

(3)含“無理函數(shù)”的極限(分子或分母有理化)

例1求lim"/+1--1)

A->00

22

解lim(7x+l-7x-l)=lim/-t-------=0

…18&+1+&2一1

...._1.J1+X—1

例2求hm-7=——-=

2。萬工一百

J1+X—1(Vi+x-i)(Vi+x+i)(V3+x+V3)

解lim.=---產(chǎn)=lim

j3+x-V3(J3+x-V^)(J3+x+V3)(V1+x4-1)

=lim"/二/⑶=lim=V3

1。x(vl+x+1)1。Jl+x+1

2、含“三角函數(shù),反三角函數(shù)”的不定式求極限

sin

此類問題一般考慮用重要極限I：lim網(wǎng)土x=1,

?2°X

n*介4八*「sin1[.tanx〔..l-cosxI..arcsinx1

及推J公式：lim----=I;lim-----=I；lim-----——=—；lim------=1.

口->0x-?0xxfO工~2-v->0%

”14.tanx-sinx

例3求hm-----；----

xfOx

sinx(1-1)

tanx-sinxAcosx..sinx(l-cosx)

解hm----------=hm-----筆江——=hm-------------

XXf°X10-COSX

sinx1-cosx11

=lim------------------=—

I。xxcosx2

3含“指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，器指函數(shù)”的不定式求極限

此類問題?般考慮用重要極限II：lim(l+—)v=e;lim(l+x)(

X->8Xx->0

及推廣公式：lim(l+)=e;lim(l+-)=e;lim+=1;lim-----=1;

口一>o口TOOx->oxXTOx

78

1

a-1

lim=Ino(Q>0,Qw1).

x->0x

I

例4求lim(cosVx)Y.

XTO+

分析此題是含有三角函數(shù)，但屬于10°型基指函數(shù)求極限的問題，應(yīng)考慮用重要極限Iio

￡1]cos4x-1

解lim(cos4K=lim[l+(cos77-1)];=lim[l+(cosVx-l)]cos^-'

xW

C-24

-2sin——

_______2_

=lim[l+(cos6—x

x->0+

.\!x

sin—

cos守

=lim[l+(cosVx-1)]2

10+

.y/x

sin——

5可以提到指數(shù)上去。^4

注2)2]

4x2

2

ax+bx+cxL

例5求lim(—)x(a,b,c>0)

x->03

3/、+於+，、-3

rv

+cy+〃-3xxx

解a+b'=lim[1^a+b+c-33x

3XTO3

3Iax+bx+cx-\

+"+…一3

-lim[l3

x->03

i(lna+lnZ>+lnc)

e3

、、「1Q*+b-1,ax-l+6v-l+cx-l

汪lim-------------------------=-lim-----------------------------

-03x37x

=-=-(lna+ln6+lnc)

3—°xxx3

4利用等價無窮小求極限

利用等價無窮小求極限時.，一定要熟記一些結(jié)論。如當(dāng)x-?0時，sinx~x,l-cosx--x2

2

e"-1~x,ln(l+x)~x,Jl+x—1?1-萬工等。

79

ln(l+4x)

例6求lim

x->0e~2x-1

解因為ln(l+4x)~4x,e—1~—lx

ln(l+4x)=lim^-=-2

所以四

-1-0-2x

利用等價無窮小求極限時，若分子，分母含有加、減運算，不能作個別代換，一定要分子，分

母整體代換；或把分子，分母化成乘積形式后，再作代換。

sinx-tanx

例7求lim

x->0x3

錯誤解法因為sinx~x,tanx-x(x->0)

sinx-tanx[.x-x

所以物=lim——=0

3

XXT。X3

sinx-tanxsinx(l一表)sinx(cosx-1)

正確解法lim=lim=lim

x->0X3A->0X3x->0x3C0SX

?(―打)_1

=lim-(sinx~x,cosx-1——x2)

3

XTOX'COSX22

注對用等價無窮小求極限，若不十分熟練，建議一般不要采用此方法。

5利用“洛必達(dá)法則（^Hospital）”求極限

洛必達(dá)法則（定理內(nèi)容參看教材P87頁）是求函數(shù)不定式極限的一種通用方法.它雖然只針對兩種

2

藝型不定式情形給出了結(jié)論，但其它不定式0-8,00-00,r,0,°,00°型則可以通過適當(dāng)

0GO

的恒等變形，化成9,2型，從而求出極限。

000

,、000000

如(J-00=—=或（）?00=—一,具體化成哪種情形，視問題而定，-?般把對數(shù)函

1

0100

oo0

數(shù)放到分子的位置。

0

1I0-8InI0

OOj-00?=e

1IJ___L0r

°°|O02OOjoo2

0/2,8°同理可行。

在具體運用“洛必達(dá)法則”求極限時，還應(yīng)注意四點:

1洛必達(dá)法則只適用9,方型不定式求極限；

0GO

2洛必達(dá)法則求導(dǎo)運算，是分子，分母分別求導(dǎo)，

limZW=lim￡W=limrM=...=limk,

g(x)g'(x)g”(x)g⑺(x)

/"(x)g(x)二g，(x)/(x)

不要與商的導(dǎo)數(shù)分式］混為?談;

g(x)一g2(X)

3每一次運用洛必達(dá)法則之前，都需先化簡;

80

4在運用洛必達(dá)法則的過程中，可以用“提取極限”的方法，使問題簡單化。

例8求1叫（十一七）

解！吧（土一士）（叫-82）

xTTnx

=limInx-(x-l)

XTl

1-1

X（化簡）

日

lnx+X

x-l

=limInx+x-1)

XTlx

=lim------------=—

“riInx+1+12

生「sinx-xcosx0

例9求hm----------------(z-

J。sinx0

sinx-xcosx、

解lim(/一0)

XTOsin3x0

xsinx

=lim（提取lim」一=1）

x->03sin2xcosxI。COSX

xsinx（）

=lim2

x->03sin2xo

..sinx+xcosx

=lim----------------(提取lim」一=1)

XT。6sinxcosx10COSX

「sinx+xcosx,0、

=lim----------------(一)

XT。6sinx0

..2cosx-xsinx1

=lim------------------=—

XT。6cosx3

雖然洛必達(dá)法則是求極限的一種通法，但有時會失效。

00、

例10求lim--------(―)

xx

XT+8e+e~00

00

解(—)

lim—*XX

Z+8C_|_e-00

..e+e00、

=hm---------(—)

xf+oo000

=lim—出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，洛必達(dá)法則失效!

XX

XT+ooe+e-

改用傳統(tǒng)方法

..e2x_]l-e-2x

lim=lim—lim1

XT+00XT+<?.XT+coe-2x+1

洛必達(dá)法則在解決特殊問題時:未必簡單。

81

3020

(2X-1)(5X+2)00

例11求(―)

X照(3X+1)2°(7X+3)3000

分析本題若用洛必達(dá)法則，將會使問題變得非常復(fù)雜，因為每一次運用洛必達(dá)法則，都會使

分母的項數(shù)成幾何倍數(shù)增加，所以運用法則不會得出結(jié)果。

改用傳統(tǒng)方法

解破.-1)；*+2)：=］而(2-?：(5+?：

(分子，分母同除以/°)

2020

…抬(3x+1)(lx+3)3°(3+1)(7+?)3°

230.520

二地了。T。

6二元函數(shù)的極限

二元函數(shù)的極限，limf(x,y)^A,因為p(x,y)->小。。)。)時，方向任意，路線任意的特

PTPo

點，而使二元函數(shù)求極限已變得不可能。除非極特殊的二元函數(shù)，如limSin(j+?)令/+/=〃

斌x+y=—^

tin

lim--=1。此類問題已無太大意義。但同樣利用p->Po的特點，可以說明二元函數(shù)的極限不

"T°U

存在。

2a2/+/=0

例12證明/(x,y)=，x2+V當(dāng)Mx,y)-p0(0,0)時的極限不存在。

0x?+//o

分析p(x,y)-?%(0,0)是p(x,y)沿著任意路線由任意方向趨近于Po(O,O)時，/(xj)的

極限都存在并且相等。但如果選擇p(x))->Po(O,O)兩條不同的路線，/(xj)的極限不相等，從

而可以說明/(x,y)當(dāng)p(x,y)-?po(O,O)時極限不存在。

證明①沿》軸0=0),p(x,y)->/?o(O,O)

x-0

limf(x,y)=limy-0lim-----=0

22

x->0x->0x+yXTOJT+0'

v->0y->0

②沿直線y=2x,p(x,y)->p0(0,0)

x-lx2

limf(x,y)=lim孫y=2xlim-------

27?

xfO.10x+yio+(2x)-5

y->0j->0

因此,p(x,y)->Po(O,O)時/(x,y)無極限。

二連續(xù)函數(shù)

函數(shù)在一點的連續(xù)是極限的特殊情況，即lim/(x)=/(x0)。此定義包含三層意思:

280

82

1/(x)在/處有定義；2存在；3lim/(x)=/(x。)。三條全部滿足，/(x)在

x->x0x-?x0

/處連續(xù)。若三條至少有?條不滿足，則/(X)在X。處間斷。

間斷點的分類也是由極限來區(qū)分的：1若lim/(x)與lim/(x)都存在，則X。是/(x)的I類

XT匯X->XQ

間斷點(若limf(x)—lim/(x)，/是fix')的可去間斷點)。2若lim/(x)與lim/(x)至少

XTXQXT環(huán)X->XQXTX：

有一個不存在，則/是/(x)的II類間斷點。

連續(xù)函數(shù)的問題，大致有三類：

1利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

因為初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù),所以求初等函數(shù)在定義域內(nèi)的極限，就等于求函數(shù)值，例題略。

2求函數(shù)y=.f(x)的間斷點，并判斷其類型。(或求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間)

此類問題又分兩種情況：?種是y=/(x)為初等函數(shù)，間斷點一般在函數(shù)/(x)無定義的點考

慮；另一種是歹=/'(x)為分段函數(shù)，間斷點在/(X)的分界點考慮(注：分界點不一定是間斷點！)。

例13求f(x)=3的間斷點，并指出其類型。

sinx

解因為x=0,x=k7r(左=±1,±2…)使/(x)無定義。

X

①當(dāng)x=0時，lim——=1,x=0為/(X)的I類(可去)間斷點。

xfosinx

x

②當(dāng)》=左乃(左=±1,±2…)時'lim——'=8,x=k兀(左=±1,±2…)為/'(x)的

x->sinx

n類間斷點。

例14求=-7<x<l的間斷點，并指出其類型。

(x-l)sin^-1cx

解x=-7,x=l為/(x)的分界點，

①limf(x)=lim-—=oo,

lim/(x)=limx=-7,x=—7為/(x)的II類間斷點，

x->-7+x->-7+

②lim/(x)=limx=1

x^-rx^-v

limf(x)=lim(x-1)sin--=0,x=1為/(x)的I類間斷點。

X--1+x->-l+

連續(xù)區(qū)間為(-00,-7)U(-7,1)U(l,+oo)。

83

3利用零點定理判斷根的存在性

例15證明方程/+/+/=—1在（-1,1）內(nèi)有唯一實根.

證明構(gòu)造函數(shù)/(x)=/+/+》+1j(x)在(一口)內(nèi)連續(xù),

/(-I)=-2<0,/(1)=4>0,/(-1)./(I)<0

方程/+/+x=一1在（一1,1）內(nèi)至少有一個實根.

又在（-1,1）內(nèi)，/口）=5/+3/+1>0,/（幻在（//）內(nèi)單增,

所以/+x3+x=—1在（一1』）內(nèi)有唯一實根。

III學(xué)習(xí)開拓

一數(shù)列的無限項和求極限

例16求1加士(/+2?+...+〃2)

H—>00n

解1加±(『+22+...+W2)=lim4=lim=-

"TOOnW—>conNT86"3

例17求limJL啦?啦…亞

“Too

!!!L1/+1++-L

解limV2-V2-V2---^2=lim25-2*-2??--2F=lim25zV"F

n—>oon—>oon—>oo

撲g)"l

lim"-(；尸】

2

=lim22=2…=2

”->00

二利用兩邊夾法則求極限

例18求lim(1^=+/1+...+/1=)

…J/+iJ/+2J〃2+〃

解設(shè)Cn=;-H1+...H—

yin24-1yjn2+2J/+〃

n

?！?lt;3+4+.-+上=

+1+1n2+77

n

于是I--)---------<cn〃

yjn~+n

84

1

而右rlim,n--=hVm—=lim.n==lim.—=1

〃一>8

〃2+〃"T8+1"T8J/+1"T8Jl+3

所以lim(-/H.r+,..4.r)=1

"T8J/+1J/+2J/+〃

三利用變上限函數(shù)求極限

「e”

例19求lim包-----

72x

ferdte-1

解lim—------=lim——=—

.\—o2X1。22

四利用定積分定義求極限

例20求lim

①式的和是函數(shù)/（》）=?在［0,1］上的特殊和，它是把［0,等分，媒?。坨鄱?,勺的右端

nn

lrIT「

點。（即4=—,f（短）=J—）構(gòu)成的積分和。因為函數(shù)/（x）=&在［0,1］上可積，由定積分

nV〃

五利用級數(shù)斂散性求極限

2”?m

例21求lim-------

解構(gòu)造級數(shù)￡?二2"■?m巴，設(shè)乙=2乙"?巴m，由比值判別法

〃=i砂屋

n]

lim如=lim2向?(”+1)!/2"?〃!

(〃+1嚴(yán)/n"=lim2?(-----)"=2lim(l--------)〃2<1

〃〃—>8〃->877+18〃+1

工2"?"2”?印

級數(shù)￡二■生收斂，由收斂的必要條件lim—^=O.

念nn…nn

六其它

85

例22設(shè)/(x)=x+[x]，求/(1+。)，/(l-o)o

解/(I+。)=lim/(x)=lim(x+[x])=2

/(l-o)=lim/(x)=lim(x+[x])=1

x->rx->r

IV錯誤辨析

86

I2Yl

1錯lim(——H——+...4——)析因為數(shù)列極限的四則運算只適用有限項

isnnn

1v2..n

-lvim--~~Flim—■—+…+lim——本題為無限項求和，/而不能進(jìn)入無限

/Z—>00W—>Q0M—

—0+0+…+0—0項求和運算

2錯limxsin一析因為函數(shù)極限的四則運算要求每一個函

x->0x

數(shù)的極限都存在，本題limsin」不存

=limx-limsin—

x->0x-0%XTOX

=0-limsin一=0在，所以/而不能進(jìn)入乘法運算。

XT。X

3錯有界數(shù)列一定收斂析a”=(-1)”為有界數(shù)列,但析m(-l)"

M->00

在1與一1擺動，所以無極限。

sinx八

----xw0

4錯分段函數(shù)的分界點一定是間斷點。析/(x)=<x,x=0

1x=0

winY

為分界點，lim/(x)=lim業(yè)■=1

x—0x->0%

/(O)=1所以/(x)在x=0處連續(xù)。

5錯單調(diào)的數(shù)列?定收斂.析4=單調(diào)，但]im/=oo發(fā)散.

“T8

皿1+(T)"5.

6錯收斂的數(shù)列一定單調(diào).析%=——一收斂f，

n

但｛%｝：0,30,；廣?不單調(diào).

11

7錯lime*=oo析limex=oo,limex=0.

XTOXTO+XT(T

8錯兩發(fā)散數(shù)列之和一定發(fā)散.析4=〃2發(fā)散，2=]_〃2發(fā)散,但

an+/>,；=1收斂.

sinx八

----xw0

9錯若/(X)在X。處間斷，析/(x)=<X在x=0

0x=0

g(x)在x0處連續(xù)，處間斷，8(》)=0在8=0處連續(xù),

則/(x)g(x)在/處間斷./(%應(yīng)。)=0在》=0處連續(xù).

87

88

第二篇導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用

I主要知識內(nèi)容

——元函數(shù)導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò)

「Ax,緲定義形式「（x0）=lim/一―一）二/四0）

AJOAX

r定義

一左右導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)存在的充要條件

幾何意義

導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系

r定義求導(dǎo)（左、右導(dǎo)數(shù)）

四則運算:基本公式

導(dǎo)數(shù)

求導(dǎo)方法反函數(shù)求導(dǎo)

/復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

對數(shù)求導(dǎo)法

隱函數(shù)求導(dǎo)

＜參數(shù)方程求導(dǎo)

r定義

V高階導(dǎo)數(shù)

兀I求高階導(dǎo)數(shù)方法

函

數(shù)《

工定義(4y=/(Xo+Ax)—/(Xo)=〃At+o(Ar)(Ax->0))

微）

\導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系dy=f'(x0)dx

分

學(xué)

r羅爾定理

＜中值定理J拉格朗日定理（兩個重要推論）

L柯西定理

c單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

單調(diào)性與極值-J極值的第一、二判別法

L凸凹性判別及拐點

i應(yīng)用《

”利用微分中值定理

證明不等式＜利用函數(shù)單調(diào)性

、利用極（最）值

連續(xù)函數(shù)介值定理｝判斷根存在性

羅爾定理

、方程根的討論

函數(shù)的單調(diào)性\判斷根的個數(shù)

極值與最值

89

二多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò)

r定義

幾何意義

用定義求偏導(dǎo)

(偏導(dǎo)數(shù)＜

I求偏導(dǎo)方法＜多元復(fù)合函數(shù)微分法

多元隱函數(shù)微分法

多

C定義

元.高階偏導(dǎo)＜'

函L求高階偏導(dǎo)方法

數(shù)

微'

"定義dy^fdx+fdy

分xy

學(xué)全微分＜求全微分方法

、可微與偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)的關(guān)系

‘曲面的切平面與法線方程

I應(yīng)用，空間曲線的切線與法平面

、極值與條件極值

II解題方法

-用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)

適用：(1)函數(shù)在個別點的函數(shù)值單獨定義，其余點的函數(shù)值用統(tǒng)一解析式定義

(2)分段函數(shù)的分段點

方法：先求山，再求lim電，在求lim電時要分左導(dǎo)與右導(dǎo)，有時可以不分。下

-Ax-TOAX

面舉例說明。

x2sin]xw0

例1求函數(shù)/(x)=＜x在x=O處的導(dǎo)數(shù)。

0x=O

1

解：Ay=/(0+Ax)-/(0)=(Ax*9*)sin——

Ax

2

A(Ax)sin^-.

AyAy-1xM

...vlim——=lvim---------=hmZ(AAx?sin——)=0

Av->0Ax->0AX°Ax

90

即函數(shù)/(x)在x=0處可導(dǎo)，且/'(0)=0。

例2設(shè)函數(shù)/(x)=(x