專(zhuān)題04 數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專(zhuān)題04數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：隔項(xiàng)等差數(shù)列 2題型二：隔項(xiàng)等比數(shù)列 3三、專(zhuān)題04數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 5一、必備秘籍1、隔項(xiàng)等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；2、隔項(xiàng)等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；二、典型題型題型一：隔項(xiàng)等差數(shù)列例題1．（2023春·江蘇南京·高二校考期中）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的前100項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)10000(2)an＝2n－1【詳解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10000.（2）an＋1＋an＝4n，①an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，綜上所述，.例題2．（2020·高二單元測(cè)試）數(shù)列滿足，，求.【答案】為奇數(shù)，為偶數(shù)【詳解】由，得，兩式作差得，即又∴數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.∴.為奇數(shù)，為偶數(shù)例題3．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，，，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，累加得：，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，則此時(shí)，綜上可得所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和題型二：隔項(xiàng)等比數(shù)列例題1．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1），，兩式相比得．，．?dāng)?shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．．綜上，的通項(xiàng)公式為．例題2．（2023春·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項(xiàng)和，，．(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)是等比數(shù)列，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.例題3．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，，且．(1)證明：，都是等比數(shù)列．(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，且，所以，．因?yàn)?，故，所以，，則，都是公比為16的等比數(shù)列．（2）由（1）知，都是公比為16的等比數(shù)列，所以，，故對(duì)任意的三、專(zhuān)題04數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，且，所以，即，當(dāng)且時(shí)，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則；當(dāng)且時(shí)，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則；.故選：B二、多選題2．（2023春·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．是的前項(xiàng)和，則C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí) D．的通項(xiàng)公式是【答案】AD【詳解】數(shù)列滿足，，因?yàn)?，，所以，，B錯(cuò)；由題意，①，②，由②①得，，由，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，綜上所述，對(duì)任意的，，C錯(cuò)D對(duì)；，A對(duì).故選：AD.三、解答題3．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)證明：．(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，而，則，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，又，滿足上式，所以當(dāng)時(shí)，．（2），因此的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，于是，所以的通項(xiàng)公式是．4．（2023春·四川德陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列對(duì)任意的均滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相除得，所以，又，則，所以（舍去），所以；5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【詳解】在數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相除得：，因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足：，求通項(xiàng).【答案】【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，，7．（2023春·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：由，當(dāng)時(shí)，，∴，又，，∴。當(dāng)時(shí)，，∴為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴為偶數(shù)時(shí)，∴；8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列中的第10項(xiàng)；(2)是否存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求出值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知，所以，相除得；又，所以，所以.（2）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，由得，由，得，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，即，下面證明時(shí)數(shù)列是等比數(shù)列，由（1）知數(shù)列和都是公比是的等比數(shù)列，所以，；所以為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，所以對(duì)一切正整數(shù)，都有，所以，所以存在正數(shù)使得數(shù)列是等比數(shù)列.9．（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校校考期末）在數(shù)列中，已知，．(1)求證：是等比數(shù)列．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由，得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.10．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)【詳解】（1）解:由題知①,因?yàn)?所以,解得,當(dāng)時(shí),②,①-②可得:,所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,,,以上式子相加可得:,化簡(jiǎn)可得,滿足上式，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,,,以上式子相加可得:,化簡(jiǎn)可得,滿足上式，綜上:;11．（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列對(duì)任意的滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為q，則有，兩式相除化簡(jiǎn)得，解得，又，可得.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式.12．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)四中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列，且滿足，有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【答案】(1)【詳解】（1）由題設(shè)知，且，易得，所以.因?yàn)椋偎裕?/p>