網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與效應(yīng)原理：第18章 冪律與富者更富及其與長尾、齊普夫定律等的關(guān)系

冪律與富者更富

及其與長尾、齊普夫定律等的關(guān)系（基于第18章）PowerLaw,ScaleFree,Richgetsricher

LongTail,Zipf’sLaw，2/8Law流行性（popularity）同一類事物的不同實(shí)例被關(guān)注、認(rèn)知、或偏愛的程度人（明星），書籍，歌曲，某一類產(chǎn)品（例如軟飲料），某一類服務(wù)（例如提供同一種服務(wù)的網(wǎng)站），微博主為什么會(huì)有差別？這種差別有沒有什么規(guī)律？有沒有辦法增進(jìn)某些實(shí)例在這種差別中的優(yōu)勢(shì)？流行性的定量觀察給定一個(gè)國家（地區(qū)）的網(wǎng)頁集合（S），其中一個(gè)網(wǎng)頁的入向鏈接數(shù)為k的概率f(k)是多少？考慮在卓越和當(dāng)當(dāng)上銷售的書籍集合（S），在其中發(fā)現(xiàn)銷量為k的書的概率f(k)是多少？它們的概率函數(shù)是否有相似之處，是否反映了一種規(guī)律，普適于其他具有流行現(xiàn)象的事物？如果體現(xiàn)了反映流行現(xiàn)象的一種規(guī)律，為什么會(huì)有這規(guī)律？以回答第一個(gè)問題為例給定一個(gè)國家（地區(qū)）的網(wǎng)頁集合（S），發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)網(wǎng)頁的入向鏈接數(shù)為k的概率f(k)是多少？n是網(wǎng)頁總數(shù)pi表示xi的入向鏈接數(shù)什么性質(zhì)？曲線是什么形狀？為什么不是正態(tài)分布？概率密度函數(shù)μ:均值；σ2:方差；σ:標(biāo)準(zhǔn)差中心極限定理：大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和（均值）是正態(tài)分布的隨機(jī)變量；與原始分布是什么無關(guān)。網(wǎng)頁入向鏈接的個(gè)數(shù)（隨機(jī)量）應(yīng)該是什么分布？如果想象：網(wǎng)頁A是否給網(wǎng)頁B鏈接是一個(gè)隨機(jī)變量；那么，B得到的入鏈個(gè)數(shù)就是大量隨機(jī)變量之和。于是，正態(tài)分布？數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)表明：大量各種不同的數(shù)據(jù)集都顯現(xiàn)出這種性態(tài)因此，我們說這就是反映網(wǎng)頁入度分布的規(guī)律，由于是冪函數(shù)，俗稱“冪律”kf(k)=1/k**2g(k)=1/2**k110.520.250.2530.1111111110.12540.06250.062550.040.0312560.0277777780.01562570.0204081630.007812580.0156250.0039062590.0123456790.001953125100.010.000976563冪率的習(xí)慣（圖形）表示log(f(k))是關(guān)于log(k)的線性函數(shù)以log(k)為橫軸，log(f(k))為縱軸的圖像是一條直線這等價(jià)于說在對(duì)數(shù)坐標(biāo)（橫和縱）下，函數(shù)的圖像是一條直線log(k)1234…k101102103104…因此，給定一組原始數(shù)據(jù)k:1,2,3,…f(k):…為查看f(k)是否冪律，一種做法就是取log(k)和對(duì)應(yīng)的log(f(k))，然后用得到的數(shù)據(jù)值在常規(guī)坐標(biāo)下繪制曲線圖形，觀察結(jié)果看起來像不像一條直線。在數(shù)據(jù)量很大的時(shí)候（流行度數(shù)據(jù)常常如此），這種方式很有效。許多繪圖工具直接支持對(duì)數(shù)坐標(biāo)。冪律：流行度的一種主導(dǎo)規(guī)律網(wǎng)頁（網(wǎng)站）的入度，網(wǎng)站的出度網(wǎng)站的規(guī)模（其中網(wǎng)頁的數(shù)量）每天能接到k個(gè)電話的電話書籍的銷量…但不是100％普適的規(guī)律。對(duì)數(shù)正態(tài)分布（lognormal）也反映某些事物流行的現(xiàn)象。冪律的基本特性Scalefree（不受尺度影響的）Scalefree函數(shù)隱含著自相似（selfsimilarity）平均行為不反映典型行為“典型行為”－經(jīng)常遇到的；“平均行為”－總和／個(gè)數(shù)正態(tài)分布的“平均行為”反映“典型行為”典型看到“中等個(gè)子”，大個(gè)子很稀少ScaleFree=“無標(biāo)度”？一個(gè)事物從不同的尺度看，具有相同的性質(zhì)F(ax),F(x)F(ax)=bF(x)冪函數(shù)就具有這種性質(zhì)！冪律的基本特性Scalefree（不受尺度影響的）Scalefree函數(shù)隱含著自相似（selfsimilarity）平均行為不反映典型行為“典型行為”－經(jīng)常遇到的；“平均行為”－總和／個(gè)數(shù)正態(tài)分布的“平均行為”反映“典型行為”典型看到“中等個(gè)子”，特別矮，特別高的都很稀少冪律分布比較容易看到“個(gè)大的”中國人均住房面積：符合冪律分布取值范圍

n=1,...,100

均值＝4.65，相對(duì)比較小

意味著：看到比均值大的對(duì)象的可能性很高

具體算出來，看到較大對(duì)象的概率約為0.2

最后這個(gè)計(jì)算表明看到比均值大一倍對(duì)象的概率約為0.1體會(huì)“典型”不同于“平均”的算例冪律的成因（“富者更富”模型）網(wǎng)頁按照順序創(chuàng)建：1，2，3，…，j，…當(dāng)創(chuàng)建網(wǎng)頁j時(shí)，以概率p或1-p選擇如下(a)或(b)執(zhí)行（a）以概率

p，均勻地、隨機(jī)地選擇一個(gè)早先創(chuàng)建的網(wǎng)頁

i，建立一個(gè)從

j到i的鏈接（b）以1-p的概率，均勻地、隨機(jī)地選擇一個(gè)早先創(chuàng)建的網(wǎng)頁

i，建立一個(gè)從

j到

i

所指向的網(wǎng)頁的鏈接。。。。。。。j此模型產(chǎn)生冪律ak-c，其中的指數(shù)c取決于概率p為什么說這體現(xiàn)了“富者更富”網(wǎng)頁按照順序創(chuàng)建：1，2，3，…，j，…當(dāng)創(chuàng)建網(wǎng)頁j時(shí)，以概率p或1-p選擇如下(a)或(b)執(zhí)行（a）以概率

p，均勻地、隨機(jī)地選擇一個(gè)早先創(chuàng)建的網(wǎng)頁

i，建立一個(gè)從

j到i的鏈接（b）以1-p的概率，均勻地、隨機(jī)地選擇一個(gè)早先創(chuàng)建的網(wǎng)頁

i，建立一個(gè)從

j到

i

所指向的網(wǎng)頁的鏈接。等價(jià)于說：……（b）以1-p的概率，按照與已有入度成比例的概率，選擇一個(gè)早先創(chuàng)建的網(wǎng)頁

i，建立一個(gè)從

j到

i

的鏈接。富者更富效應(yīng)的不可預(yù)測(cè)性“富者更富”也具有級(jí)聯(lián)的意味，現(xiàn)實(shí)生活中有不少體現(xiàn)這種情形的現(xiàn)象最初階段充滿不確定性，“富”到一定程度后就開始“起飛”與《哈利波特》同樣質(zhì)量的小說在同一時(shí)期其實(shí)很多，但真正流行起來的很少同樣水平的歌星在同一時(shí)期其實(shí)很多，但真正出名的很少一類事物流行史的細(xì)節(jié)不可能重演，但歷史的結(jié)果宏觀上總是如此（流行的分布）歷史平行演化的一次模擬實(shí)驗(yàn)建一個(gè)音樂下載網(wǎng)站，向網(wǎng)民提供48首人們不太熟悉的歌曲的下載該網(wǎng)站也公布每首歌曲的“已下載次數(shù)”，后面上來的人能夠看到（從而就有一種促進(jìn)富者更富的功效）觀察一段時(shí)間后那些歌曲下載量的分布實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的妙處在：人們不知道他們被隨機(jī)分到8個(gè)類似的網(wǎng)站之一（歌曲相同，初始狀態(tài)相同）！于是：研究人員看到了8段平行發(fā)展的歷史。與“長尾”（longtail）的關(guān)系一類產(chǎn)品（例如書籍，個(gè)人音樂專輯）各個(gè)品種的銷售量（流行度）常符合冪律商業(yè)上人們更方便直接談銷量（而不是概率），設(shè)該類產(chǎn)品的品種總數(shù)為n，于是即銷量為x的品種的個(gè)數(shù)發(fā)現(xiàn)銷量為x的品種的概率“長尾”（進(jìn)一步）關(guān)心“銷量至少為k的品種數(shù)”也是冪函數(shù)（但冪次變了）長尾的典型圖示。由于降了一個(gè)冪次，尾巴顯得更加明顯齊普夫定律（Zipf’sLaw）

－－另一個(gè)視角看“長尾”橫軸此時(shí)可看成“銷量排名位次”，縱軸則是對(duì)應(yīng)位次的銷量。從函數(shù)關(guān)系看：銷量至少為k的品種數(shù)“向左翻轉(zhuǎn)”“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”也是冪函數(shù)，尾巴更粗長尾效應(yīng)與營銷策略銷量位次對(duì)應(yīng)概率意義冪律中的冪次3對(duì)應(yīng)概率意義冪律中的冪次2結(jié)論是：如果一類商品的品種流行性分布為冪律，且品種足夠多（即max很大），經(jīng)營利基產(chǎn)品也能獲得很大利益但有兩個(gè)前提＊降低庫存成本＊讓顧客容易發(fā)現(xiàn)那些產(chǎn)品考慮top-100之后Zipf形式的表達(dá)“長尾”－“2／8律”“銷量排前20%的書的銷量之和占總銷量的80%”，“少數(shù)人的財(cái)富之和占所有人財(cái)富之和的大部分”，…設(shè)共有1000種書，銷量滿足齊普夫律，y=b/x我們來看看排名前20％的銷量之和占總銷量的百分比，也就是總銷量為b*ln(1000)=6.9b有5.3/6.9=0.77=77%銷售排行版、推薦、搜索是促進(jìn)“暢銷產(chǎn)品”還是促進(jìn)“利基產(chǎn)品”的銷售？排行版：推動(dòng)富者更富推薦（相關(guān)推薦）取決于“相關(guān)”的含義，若是“買了這產(chǎn)品的其他人通常也買了…”，則傾向于是富者更富；