琴生不等式1市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

琴生不等式琴生不等式1/8琴生不等式琴生不等式是由琴生發(fā)覺(jué)主要不等式，它在處理相關(guān)函數(shù)不等式方面問(wèn)題含有主要作用。它也有各種變通形式，利用時(shí)要依據(jù)詳細(xì)情況而定。琴生不等式與函數(shù)或曲線凹凸性相關(guān)，其判定有各種方法，主要是定義法和二階導(dǎo)數(shù)法。若為?(χ)下凸函數(shù)則(?(χ?)+?(χ?))?2≥?((χ?+χ?)?2)，類似有λ?(χ?)+(1-λ)?(χ?)≤?(λχ?+(1-λ)χ?)若為?(χ)上凸函數(shù)則(?(χ?)+?(χ?))?2≤?((χ?+χ?)?2)，類似有λ?(χ?)+(1-λ)?(χ?)≤?(λχ?+(1-λ)χ?)琴生不等式2/8琴生不等式函數(shù)凹凸性判定定理：設(shè)在?(χ)區(qū)間(a,b)內(nèi)含有二階導(dǎo)數(shù)，1若在區(qū)間(a,b)內(nèi)??(χ)>0（??(χ)為二階導(dǎo)數(shù)，下同），則函數(shù)?(χ)在(a,b)是下凸；2若在區(qū)間(a,b)內(nèi)??(χ)<0，則函數(shù)?(χ)(a,b)是上凸。這個(gè)定理高訴我們，要定出函數(shù)凹凸性，只要在函數(shù)考查內(nèi)，定出同號(hào)區(qū)間以及對(duì)應(yīng)符號(hào)。琴生不等式3/8試題分析一若?(χ)滿足λ?+λ?=1λ??(χ?)+λ??(χ?)≥?(λ?χ?+λ?χ?)1求證Σλ??(χ?)≥?(∑λ?χ?)，其中∑λ?=1,λ?>0。2求證?(m)+?(n)>?(p)+?(q)，其中m+n=p+q，m>p>q>n3求證∑?(χ?)?n≥?(∑χ?)?n。試題分析4/8試題分析在1問(wèn)中，怎樣利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證實(shí)是，而主要問(wèn)題也是集中在對(duì)第k→第k+1處理，而怎樣利用所假設(shè)更是成了重中之重，難中之難。在這問(wèn)中更是包括到了在數(shù)學(xué)歸納中對(duì)換元思想利用，這是在高中數(shù)學(xué)比較少見(jiàn)，表達(dá)著數(shù)學(xué)歸納中蘊(yùn)涵著有限與無(wú)限思維方式。在2問(wèn)中宜直接對(duì)提設(shè)不等式進(jìn)行變換，有點(diǎn)定比分點(diǎn)味道。在3問(wèn)中是1問(wèn)特例。試題分析5/8高考中考查05年全國(guó)卷（22）1?(χ)=χ㏒?χ+(1-χ)㏒?(1-χ)，求其最小值。2若p?滿足∑p?(1~2?)=1,p?>0。求證∑p?㏒?p?≥-n。1問(wèn)借助導(dǎo)函數(shù)很輕易判定。2問(wèn)要用數(shù)學(xué)歸納原理，有一定難度，實(shí)際上就是琴生不等式一個(gè)形式。08年江西卷（22）簡(jiǎn)化高考中的考查6/8高考中考查若x,y,z>0,且xyz=8。求證1?√(1+x)+1?√(1+y)+1?√(1+z)<2。作為壓軸型難題，其思維方式也大為迥異。對(duì)考生思維能力有很高要求。我們?cè)賮?lái)看一道相類似試題。基于此，我們不難發(fā)覺(jué)高考與競(jìng)賽之間有著緊密聯(lián)絡(luò)。這也就提醒著我們同學(xué)在平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中要對(duì)競(jìng)賽類試題也要有所接觸，但不宜鉆過(guò)深。造成基礎(chǔ)不扎實(shí)，影響整體水平發(fā)揮。只需要對(duì)競(jìng)賽類試題處理方法有一定了解，掌握這類試題分析和討論切入點(diǎn)，以提升本身應(yīng)變能力。因?yàn)榇蠖鄶?shù)競(jìng)賽試題在思維上，還是在創(chuàng)新上，都有著一定技巧。高考中的考查7/8高考中考查05年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題1求證1?√(1+λp)+1?√(1+λq)+1?√(1+λr)≤3?√（1+λ2），其中0<λ≤3?2，p,q,r>0。2求證1?√(1+λp)+1?√(1+λq)+1?√(1+λr)）<2，其中p,q,r>0，λ>3?2。在集訓(xùn)隊(duì)解釋中，其結(jié)構(gòu)了函數(shù)?(χ)=1?