電氣自動控制原理與系統(tǒng)第三版

第四章自動控制系統(tǒng)的頻域分析法第一節(jié)頻率特性的基本概念第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的博德圖第三節(jié)控制系統(tǒng)開環(huán)博德圖的繪制第四節(jié)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕量第五節(jié)典型系統(tǒng)的開環(huán)博德圖與頻域指標(biāo)第六節(jié)開環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)之間的關(guān)系本章小結(jié)主要內(nèi)容電氣自動控制原理與系統(tǒng)第3版書名：電氣自動控制原理與系統(tǒng)第3版書號：978-7-111-52245-4作者：陳渝光出版社：機(jī)械工業(yè)出版社第一節(jié)

頻率特性的基本概念

工程實踐中，主要關(guān)心控制系統(tǒng)主要性能指標(biāo)與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的聯(lián)系。目前廣泛采用的有頻率分析法（頻域分析法）、根軌跡法等。本書僅介紹工程上廣泛使用的頻率分析法。頻率分析法又稱為頻率響應(yīng)法，它是元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性。應(yīng)用頻率分析法來分析、研究控制系統(tǒng)的方法稱為頻率特性法。第一節(jié)

頻率特性的基本概念

頻率特性法突出優(yōu)點：系統(tǒng)的頻率指標(biāo)與時域指標(biāo)存在著一定的對應(yīng)關(guān)系。頻率特性很容易和它的結(jié)構(gòu)、參數(shù)聯(lián)系起來。應(yīng)用頻率特性法可以方便地得到系統(tǒng)定性和定量的結(jié)論。根據(jù)頻率特性曲線的形狀，提出改進(jìn)系統(tǒng)性能的方向，選擇系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。頻率特性不但很容易由傳遞函數(shù)求得，而且它還可以方便地通過實驗方法直接求得。頻率特性法分析系統(tǒng)時所使用的曲線、圖表及經(jīng)驗公式使得控制系統(tǒng)的分析更為方便、簡潔。頻率特性和頻域分析如圖4-1所示的線性定常系統(tǒng)：令，即則：（4-1）頻率特性和頻域分析圖4-1線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率特性和頻域分析由拉氏反變換得：

等式第一部分為暫態(tài)分量。其中第一項對應(yīng)特征方程的根為單根時的響應(yīng)，第二項對應(yīng)k重根時的響應(yīng)。等式第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它主要取決于輸入函數(shù)。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根si的實部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為：（4-3）（4-2）頻率特性和頻域分析

式中B、可用待定系數(shù)法求得：G（jω）為復(fù)數(shù)變量，它可以通過模頻率特性和頻域分析及幅角

來表示，即：

將B、代入式（4-3）中，應(yīng)用歐拉公式可得：式中A（ω）─輸出穩(wěn)態(tài)分量的振幅，φ（ω）─輸出穩(wěn)態(tài)分量的初相角，（4-4）頻率特性和頻域分析由上式可以得到：

1)在正弦信號

的作用下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量css(t)是與輸入信號同頻率的正弦信號。

2)輸出量與輸入量幅值之比A(ω)/1=│G(jω)│=

A(ω)描述系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大（或衰減）特性，稱為幅頻特性。3)輸出穩(wěn)態(tài)分量相對于正弦輸入信號的相位差φ(ω)＝∠G(jω)描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出時對不同正弦輸入信號在相位上產(chǎn)生的相角遲后（或超前）的特性，稱為相頻特性。頻率特性和頻域分析4)幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性，記為：

（4-5）

5)頻率特性適用于線性定常系統(tǒng)或元件。

6)由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s=σ+jω。當(dāng)σ=0時，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時的G（s），即幅頻域與頻域的關(guān)系為：（4-6）單位脈沖函數(shù)沒有頻率特性。

頻率特性的性質(zhì)包含了系統(tǒng)或元件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，和微分方程、傳遞函數(shù)一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。頻率特性是系統(tǒng)在頻域中的數(shù)學(xué)模型。為使用實驗法求取未知系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型提供了切實可行的辦法。頻率特性的推導(dǎo)是在系統(tǒng)穩(wěn)定前提下進(jìn)行的。不論系統(tǒng)穩(wěn)定與否，穩(wěn)態(tài)分量總是可以從系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)中分離出來。所以頻率特性的定義可以推廣為：線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)比。頻率特性的性質(zhì)輸入信號可以分解為一系列不同頻率諧波的疊加。根據(jù)頻率特性的物理意義，G（jω）相當(dāng)于一個廣義的濾波器，它對一些頻率的信號進(jìn)行放大和相應(yīng)的相移處理，對另一些頻率的信號進(jìn)行衰減和相應(yīng)的相移處理。頻率特性不同，則具體放大或衰減的倍數(shù)、超前或遲后的相角不同。因此，控制系統(tǒng)的輸出就是通過這一廣義濾波器的各次諧波之疊加。使用頻域法校正控制系統(tǒng)，就是將系統(tǒng)設(shè)計成為合理地放大有用信號、衰減無用信號，并按要求進(jìn)行相移的廣義濾波器。

第二節(jié)

典型環(huán)節(jié)的波德圖

波德圖（Bode圖）通過對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖來表示系統(tǒng)的頻率特性。對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖畫在一張半對數(shù)坐標(biāo)紙上。橫坐標(biāo)ω是以對數(shù)分度值表示的角頻率ω。角頻率ω變化倍數(shù)用頻程表示。頻程是指高頻與低頻頻率的對數(shù)比（以10為底）。因此，角頻率ω變化10倍，在橫坐標(biāo)上距離的變化為一個單位，即lg10=1，稱為一個“10倍頻程”，記為dec。零頻（ω=0）不可能在橫坐標(biāo)上表達(dá)出來。橫坐標(biāo)的最低頻率，一般以感興趣的頻率范圍來決定。波德圖圖4-2波德圖坐標(biāo)系波德圖

對數(shù)幅頻特性L（ω）定義為：對數(shù)幅頻特性圖縱坐標(biāo)以L（ω）的值表示，單位為分貝（dB），按線性均勻分度。對數(shù)相頻特性圖縱坐標(biāo)以φ（ω）的值表示，單位為度，也是按線性均勻分度的。比例環(huán)節(jié)的波德圖1．傳遞函數(shù)G（s）=K2．頻率特性G（jω）=K

3．對數(shù)頻率特性

L（ω）=20lgK

φ（ω）=04．Bode圖（1）對數(shù)幅頻特性比例環(huán)節(jié)的增益為常數(shù)，其對數(shù)幅頻特性曲線L（ω）是一條通過縱軸的水平直線，高度為20lgK（dB）。若K＞1，則L（ω）為正值，特性曲線位于橫軸上方；若K＜1，則L（ω）為負(fù)值，特性曲線位于橫軸下方；若K=0，則L（ω）=0，特性曲線與橫軸重合。（4-7）（4-8）（4-9）比例環(huán)節(jié)的波德圖（2）對數(shù)相頻特性

由于φ（ω）=0，因此其對數(shù)相頻特性曲線是一條與橫軸重合的水平線。圖4-3比例環(huán)節(jié)的Bode圖積分環(huán)節(jié)的波德圖1．傳遞函數(shù)

2．頻率特性

3．對數(shù)頻率特性

4．Bode圖(4-11)(4-10)(4-12)積分環(huán)節(jié)的波德圖（1）對數(shù)幅頻特性

由于對數(shù)幅頻特性L（ω）為一條斜率為每十倍頻程下降20dB（-20dB/dec）的直線。當(dāng)τi=1（稱τi=1時的積分環(huán)節(jié)為理想積分環(huán)節(jié)）時，該直線通過橫軸ω=1處；當(dāng)τi≠1時，該直線通過橫軸ω=1/τi處。（2）對數(shù)相頻特性

由于對數(shù)相頻特性φ（ω）=-π/2，因此其對數(shù)相頻特性曲線是一條通過縱軸φ（ω）=-π/2處、與橫軸平行的直線。圖4-4積分環(huán)節(jié)的Bode圖微分環(huán)節(jié)的波德圖1.傳遞函數(shù)

2.頻率特性

3.對數(shù)頻率特性

4.Bode圖

(4-13)(4-14)(4-15)微分環(huán)節(jié)的波德圖對比積分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性公式可知，它們之間僅差一個負(fù)號，因此它們的Bode圖對稱于橫軸。即對數(shù)幅頻特性L（ω）為一條斜率為20dB/dec的直線。當(dāng)τd=1時（理想微分環(huán)節(jié)），該直線通過橫軸ω=1處。當(dāng)τd≠1時，該直線通過橫軸ω=1/τd處。由于對數(shù)相頻特性φ（ω）=π/2，因此對數(shù)相頻特性曲線是一條通過縱軸φ（ω）=π/2處、與橫軸平行的直線。圖4-5微分環(huán)節(jié)的Bode圖慣性環(huán)節(jié)的波德圖1.傳遞函數(shù)

2.頻率特性

3.對數(shù)頻率特性

(4-16)(4-18)(4-17)慣性環(huán)節(jié)的波德圖4.Bode圖

（1）對數(shù)幅頻特性時，（dB）,即在低頻區(qū)（），對數(shù)幅頻特性曲線為一條與橫軸重合的直線；時，，即在高頻區(qū)（），對數(shù)幅頻特性曲線為一條在ω=1/τ處穿越橫軸、且斜率為-20dB/dec的直線。對數(shù)幅頻特性曲線可近似地用上述兩條直線表示，且它們相交于ω=1/τ（轉(zhuǎn)折頻率）處。稱為漸近對數(shù)幅頻特性曲線，或折線對數(shù)幅頻特性曲線。慣性環(huán)節(jié)的波德圖慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性誤差修正表以橫軸ω=1/τ處為中心，相對于橫軸幾何尺寸對稱處的誤差值相同，且最大誤差值只有3dB。為簡化對數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計階段）。如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個十倍頻程范圍內(nèi)對漸近對數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。τω0.10.250.40.51.02.02.54.010.0誤差/dB-0.04-0.32-0.65-1.0-3.0-1.0-0.65-0.32-0.04慣性環(huán)節(jié)的波德圖（2）對數(shù)相頻特性

：ω=0時，φ（ω）=0；ω=1/τ時，φ（ω）=-45°；ω→∞時，φ（ω）→-90°。由于慣性環(huán)節(jié)的相移與頻率呈反正切函數(shù)關(guān)系，所以，對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/τ及φ（ω）=-45°這一點斜對稱。

圖4-6慣性環(huán)節(jié)的Bode圖慣性環(huán)節(jié)的波德圖慣性環(huán)節(jié)相移計算表

（3）慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)τ改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/τ將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。

ωτ0.10.250.40.51.02.02.54.010.0相移/（°）-5.7-14.1-21.8-26.6-45-63.4-68.2-75.9-84.3比例微分環(huán)節(jié)的波德圖1.傳遞函數(shù)

2.頻率特性

3.對數(shù)頻率特性

4.Bode圖比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖對稱于橫軸。微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)τd改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/τd將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。(4-19)(4-20)(4-21)圖4-7比例微分環(huán)節(jié)的Bode圖振蕩環(huán)節(jié)的波德圖1.傳遞函數(shù)

2.頻率特性

3.對數(shù)頻率特性

(4-22)(4-24)(4-23)

4．Bode圖（1）對數(shù)幅頻特性

當(dāng)時，,即低頻區(qū)，對數(shù)幅頻特性曲線為與橫軸重合的直線；當(dāng)時,，即高頻區(qū),對數(shù)幅頻特性曲線為一條在ω=1/τ處穿越橫軸、且斜率為-40dB/dec的直線。對數(shù)幅頻特性曲線可近似用上述兩條直線表示（漸近對數(shù)幅頻特性曲線），且它們相交于ω=1/τ處。ω=1/τ處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是無阻尼自然角頻率ωn。圖4-8振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖振蕩環(huán)節(jié)的波德圖當(dāng)ω=1/τ，漸近對數(shù)幅頻特性曲線與實際曲線的誤差為：振蕩環(huán)節(jié)漸近對數(shù)幅頻特性曲線與實際曲線的誤差與ω和ζ有關(guān)。對于不同ζ值，上述誤差值列于下表。0.4≤ζ≤0.7時，誤差小于3分貝，可不對漸近線修正；當(dāng)ζ<0.4或ζ>0.7，誤差很大，應(yīng)對漸近線修正。

ζ0.10.150.20.250.30.40.50.60.70.81.0誤差/dB14.010.48.06.04.42.00-1.6-3.0-4.0-6.0振蕩環(huán)節(jié)的波德圖當(dāng)ζ<0.707時，對數(shù)幅頻特性在處，A（ω）最大。我們稱這時的A（ω）值為諧振峰值Mr，ωr稱為諧振角頻率。ζ減小，Mr上升，ζ趨于零時，Mr趨于無窮大；當(dāng)ζ=0.5時，存在諧振峰，轉(zhuǎn)折頻率處的誤差為零；當(dāng)ζ>0.707時，不存在諧振峰。（2）對數(shù)相頻特性

當(dāng)ω=0時，φ（ω）=0；ω=1/τ時，φ（ω）=-90°；ω→∞時，φ（ω）→-180°。對數(shù)相頻特性曲線對應(yīng)于ω=1/τ及φ（ω）=-90°這一點斜對稱。(4-25)振蕩環(huán)節(jié)的波德圖振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性既是ω的函數(shù)，又是ζ的函數(shù)。隨阻尼比ζ不同，對數(shù)相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度也不同。ζ越小，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度越大，而在遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)折頻率處的變化速度越小。（3）τ改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/τ將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。延遲環(huán)節(jié)的波德圖1．傳遞函數(shù)

2．頻率特性

3．對數(shù)頻率特性

（°）

4．Bode圖（1）對數(shù)幅頻特性L（ω）為一條與橫軸重合的直線。（2）對數(shù)相頻特性φ（ω）為一條隨ω增加而增加的滯后的相頻特性曲線。當(dāng)τD很小時，延遲環(huán)節(jié)可近似為一個慣性環(huán)節(jié)。(4-26)(4-28)(4-27)圖4-9延遲環(huán)節(jié)的波德圖圖4-9延遲環(huán)節(jié)的Bode圖

最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母中無正實根且無延遲環(huán)節(jié)時，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。延遲環(huán)節(jié)按冪級數(shù)分解之后，其各項系數(shù)有正負(fù)，因而必定有正實根，所以延遲環(huán)節(jié)屬于非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性是一一對應(yīng)的，知道對數(shù)幅頻特性，也就知道其對數(shù)相頻特性。利用Bode圖對最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時，往往只分析對數(shù)幅頻特性。

圖4-10最小相位系統(tǒng)第三節(jié)

控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

對數(shù)幅頻特性是組成系統(tǒng)各典型環(huán)節(jié)開環(huán)對數(shù)幅頻特性之和。對數(shù)相頻特性也是組成系統(tǒng)各典型環(huán)節(jié)開環(huán)對數(shù)相頻特性之和。Bode圖中，比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)互為鏡像關(guān)系。繪制控制系統(tǒng)Bode圖的一般步驟為：

1）按系統(tǒng)各坐標(biāo)軸常用的比例尺，自己動手制作一些典型環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線（如慣性環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)等）的模型板。第三節(jié)

控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

2）將控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)的乘積，整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。

3）選定Bode圖頻率范圍。一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。4）在對數(shù)幅頻特性圖上，找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK點，過該點作斜率為20νdB/dec的斜線。其中ν為系統(tǒng)中理想積分環(huán)節(jié)和理想微分環(huán)節(jié)數(shù)的代數(shù)和，理想積分環(huán)節(jié)數(shù)的符號取負(fù)，理想微分環(huán)節(jié)數(shù)的符號取正值?？刂葡到y(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制5）計算出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，將它們按由小到大的次序排列。在對數(shù)幅頻特性圖上，按下述原則依次改變系統(tǒng)L（ω）的斜率：若過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率減去20dB/dec；若過比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率加上20dB/dec；若過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率減去40dB/dec；若過二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率加上40dB/dec；控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制6）如有必要，可對對數(shù)漸進(jìn)幅頻特性進(jìn)行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性。

7）在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（慣性環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線用模型板畫更方便）。將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制例系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性及其標(biāo)準(zhǔn)形式分別為：圖4-11系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制第四節(jié)

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕量

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是建立在Nyquist圖基礎(chǔ)之上的，又稱為Nyquist穩(wěn)定判據(jù)