湖南省益陽市楊林中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省益陽市楊林中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足x,對(duì)任意的正數(shù)a.b若a<b,則必有

（

） A.af(a)bf(b) B.af(a)bf(b)C.af(b)bf(a)

D.af(b)bf(a)

參考答案：C略2.如圖，在正方體中，P是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（

）A.直線

B.圓

C.雙曲線

D.拋物線參考答案：D3.若a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：D4.清代著名數(shù)學(xué)家梅彀成在他的《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一歌謠：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”其譯文為：“遠(yuǎn)遠(yuǎn)望見7層高的古塔，每層塔點(diǎn)著的燈數(shù)，下層比上層成倍地增加，一共有381盞，請(qǐng)問塔尖幾盞燈？”則按此塔各層燈盞的設(shè)置規(guī)律，從上往下數(shù)第4層的燈盞數(shù)應(yīng)為（

）A．3

B．12

C.24

D．36參考答案：C5.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（

）A.

B.

C.3

D.5參考答案：A略6.右圖程序流程圖描述的算法的運(yùn)行結(jié)果是

A．-l

B．-2

C．-5

D．5參考答案：C7.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足，則a6=(

)A．2 B．±2 C．±4 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題設(shè)知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，推出數(shù)列{an2}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，求出公差d，由此能求出a6．【解答】解：∵正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，∴數(shù)列{an2}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差d=a22﹣a12=3，∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴a62=3×6﹣2=16，∴a6=4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用．9.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4，AA1=6．若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，且BE=B1E，C1F=CC1則異面直線A1E與AF所成角的余弦值為（）A．B．C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得與所成角的余弦值，即可得到異面直線A1E與AF所成角的余弦值．【解答】解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵AB=4，AA1=6，且，∴A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，6），E（0，2，3），F(xiàn)（﹣2，0，4），∴，．則cos＜＞==．∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為．故選：D．10.已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】判充要條件就是看誰能推出誰．由m⊥β，m為平面α內(nèi)的一條直線，可得α⊥β；反之，α⊥β時(shí)，若m平行于α和β的交線，則m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面α內(nèi)的一條直線，且m⊥β，則α⊥β，反之，α⊥β時(shí)，若m平行于α和β的交線，則m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直、面面垂直問題以及充要條件問題，屬基本題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)（a，b）在直線x＋3y＝1上，則的最小值為

參考答案：12.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．參考答案：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，∴①，（對(duì)稱點(diǎn)與該點(diǎn)的連線垂直于直線）對(duì)稱點(diǎn)與該點(diǎn)所成線段的中點(diǎn)為在直線上，∴②，聯(lián)立①②解出對(duì)稱點(diǎn)為．13.命題“?x∈R，x2＋1>0”的否定是__

_參考答案：?x∈R，x2＋1≤014.已知橢圓C:與動(dòng)直線相交于A,B兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___▲___；設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為___▲___.參考答案：15.已知函數(shù)f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）=1+cosx，則函數(shù)f（x）的解析式可以為．（只須寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)解析式即可）參考答案：f（x）=x+sinx【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵x′=1，（sinx′）=cosx，∴當(dāng)f（x）=x+sinx時(shí)，滿足f′（x）=1+cosx，故答案為：x+sinx．（答案可有多種形式）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，比較基礎(chǔ)．16.在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，則∠B=．參考答案：30°【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】先根據(jù)正弦定理利用題設(shè)條件求得sinC，進(jìn)而求得C，最后利用三角形內(nèi)角和求得B．【解答】解：由正弦定理可知=∴sinC=c?=2×=∴C=30°∴∠B=180°﹣120°﹣30°=30°故答案為：30°17.如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝________.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三個(gè)點(diǎn)處，且AB=AC=13千米，BC＝10千米。今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院。為同時(shí)方便三個(gè)城鎮(zhèn)，需要將醫(yī)院建在BC的垂直平分線上的點(diǎn)P處。若希望點(diǎn)P到三個(gè)城鎮(zhèn)距離的平方和最小，點(diǎn)P應(yīng)該位于何處？參考答案：解析：以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，則B(-5,0),C(5,0)，A(012)，設(shè)P(0,y)∴PA2+PB2+PC2＝2（25＋y2）+(12-y)2=3(y-4)2+146∴y＝4時(shí)取最小值146，此時(shí)P的坐標(biāo)為（0，4）。19.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）由于長方體中，因此只要證，這由中位線定理可得，從而可得線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)可得．【詳解】（1）證明：連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴∵長方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在長方體中，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則同樣可求出平面的一個(gè)法向量∴∴二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查用空間向量法求二面角．本題屬于基礎(chǔ)題型．20.21．（本小題滿分12分）若，，.⑴求⑵猜想與的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案：21.解：（1），

，

………2分（2）猜想：

即：（n∈N*）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①

n=1時(shí)，已證S1=T1

………………6分②

假設(shè)n=k時(shí)，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：…8分則

所以命題成立.

……………11分由①，②可知，對(duì)任意，都成立.

…………12分略21.設(shè),分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列。（Ⅰ）求；（Ⅱ）若直線的斜率為1，求b的值。參考答案：（1）由橢圓定義知。又

（2）L的方程式為y=x+c,其中

設(shè),則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

化簡得則因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以

即

.則

解得

.

略22.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P，．（1）求橢圓C1的方程；（2）若過點(diǎn)A（﹣1，0）的直線與橢圓C1相交于M、N兩點(diǎn)，求使成立的動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程；（3）若點(diǎn)R滿足條件（2），點(diǎn)T是圓（x﹣1）2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求|RT|的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線的軌跡問題．【分析】（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=﹣1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），依據(jù)拋物線的定義，由，可求x0．由點(diǎn)P在拋物線C2上，且在第一象限可求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由點(diǎn)P在橢圓上及c=1，a2=b2+c2=b2+1，可求a，b，從而可求橢圓的方程（2）設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），則由，可得x1+x2﹣2=x﹣1，y1+y2=y．利用設(shè)而不求的方法可得設(shè)FR的中點(diǎn)為Q，由M、N、Q、A四點(diǎn)共線可得=，從而可得動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程；（3）確定橢圓的左頂點(diǎn)，圓與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求|RT|的最大值．【解答】解：（1）拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=﹣1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），依據(jù)拋物線的定義，由，得1+x0=，解得x0=．∵點(diǎn)P在拋物線C2上，且在第一象限，∴=4x0=4×，解得y0=．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．∵點(diǎn)P在橢圓上，∴．又c=1，且a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3．∴橢圓C1的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），則=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），=（x﹣1，y）．∴+=（x1+x2﹣2，y1+y2）．∵+=，∴x1+x2﹣2=x﹣1，y1+y2=y．①∵M(jìn)、N在橢圓C1上，∴，．上面兩式相減，把①式代入得．當(dāng)x1≠x2時(shí)，得．②設(shè)FR的中點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為（，）．∵M(jìn)、N、Q、A四點(diǎn)共線，∴kMN