解密01 函數(shù)及其性質(zhì)（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練（新高考專用）

解密01函數(shù)及其性質(zhì)內(nèi)容索引核心考點(diǎn)1分段函數(shù)問(wèn)題圖像問(wèn)題核心考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性與周期問(wèn)題核心考點(diǎn)3函數(shù)圖形交點(diǎn)問(wèn)題高考考點(diǎn)命題趨勢(shì)高考考點(diǎn)考查頻率函數(shù)的定義域與值域從近三年高考情況來(lái)看，本節(jié)內(nèi)容是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，常以基本初等函數(shù)為載體，與其他知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行考查，其中函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和值域(最值)問(wèn)題依然是命題的重點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容在高考中往往是以選擇題、填空題的形式考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合以解答題的形式考查函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于奇偶性與函數(shù)的周期性相結(jié)合。.分段函數(shù)函數(shù)的圖象2019課標(biāo)全國(guó)III72018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ3★★★函數(shù)的性質(zhì)2021年新課標(biāo)II82020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ132020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ122020課標(biāo)全國(guó)Ⅱ92020課標(biāo)全國(guó)Ⅲ122019課標(biāo)全國(guó)II14★★★★★核心考點(diǎn)一函數(shù)的定義域與值域題組一求函數(shù)的定義域☆技巧點(diǎn)撥☆求函數(shù)的定義域求解函數(shù)的定義域時(shí)要注意三式——分式、根式、對(duì)數(shù)式，分式中的分母不為零，偶次方根中的被開方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確列出不等式(或不等式組)，求解即可．確定條件時(shí)應(yīng)先看整體，后看部分，約束條件一個(gè)也不能少．對(duì)于抽象函數(shù)，（1）若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．（2）若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．例題11．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】A：因?yàn)?，所以，解得或，即函?shù)的定義域?yàn)楣蔬x：A例題2已知函數(shù)的定義域?yàn)?－2,0)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．【答案】C【分析】由題設(shè)，若，則，∴對(duì)于有，故其定義域?yàn)?故選：C例題3．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B由，得，所以，所以．故選：B．例題4．已知，且的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)椋瑒t（）A． B．， C．， D．，【答案】C因?yàn)?，且的定義域?yàn)椋?，值域?yàn)?，，則的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，由得，所以的定義域?yàn)椋?，值域?yàn)?，，則，，，，所以.故選：C.核心考點(diǎn)二求函數(shù)的值域☆技巧點(diǎn)撥☆求函數(shù)值域的常用方法求函數(shù)的值域，應(yīng)根據(jù)各個(gè)式子的不同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇不同的方法：①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其值域可通過(guò)觀察得到；②③分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域.分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”，變換后x僅出現(xiàn)在分母上，這樣x對(duì)函數(shù)的影響就比較清晰了；④換元法：對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)(如)，通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域；⑤利用常見(jiàn)函數(shù)的值域；⑥數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，找出自變量對(duì)應(yīng)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找出值域；⑦單調(diào)性法；⑧基本不等式法；⑨判別式法；⑩導(dǎo)數(shù)法.例題1．函數(shù)的最大值是___．【答案】由題意，函數(shù)，令，則，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的最大值為.故答案為：.例題2．若函數(shù)的值域?yàn)?，則的值為__________.【答案】關(guān)于的方程在上有解，若，可得，則；若，則，即，由題意可知，關(guān)于的二次方程的兩根為、，由韋達(dá)定理可得，解得.綜上所述，.故答案為：.例題3．函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】令，則，故，由于，∴，，∴，即函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?核心考點(diǎn)三分段函數(shù)☆技巧點(diǎn)撥☆解決分段函數(shù)問(wèn)題的注意事項(xiàng)分段函數(shù)易被誤認(rèn)為是多個(gè)函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)楦鞫蔚牟⒓渥钪凳歉鞫魏瘮?shù)最值中的最大者與最小者，處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間，再選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，離開分段區(qū)間討論分段函數(shù)是毫無(wú)意義的.例題1．函數(shù)，則的值為________.【答案】【分析】由題知，，則故答案為：27例題2．．已知函數(shù)，若，，，互不相等，且，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】由解析式知：在上遞減且值域?yàn)?，在上遞增且值域?yàn)椋谏线f減且值域?yàn)?，在上遞增且值域?yàn)?∴的草圖如下，令且，則，，，為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由圖知：，且，∴(注意基本不等式的等號(hào)不能取)，又，∴：由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上遞增，∴，即.綜上，的范圍為.故答案為：例題3．．已知函數(shù)，若單調(diào)遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】由題意可得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：例題4．．已知函數(shù)，則不等式的解集是__________．【答案】【分析】解：作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，則由式，得式，即，解得．∴不等式的解集是．故答案為：．函數(shù)的圖象應(yīng)用☆技巧點(diǎn)撥☆函數(shù)圖象的識(shí)別與判斷技巧1．方法1：特殊點(diǎn)法用特殊點(diǎn)法破解函數(shù)圖象問(wèn)題需尋找特殊的點(diǎn)，即根據(jù)已知函數(shù)的圖象或已知函數(shù)的解析式，取特殊點(diǎn)，判斷各選項(xiàng)的圖象是否經(jīng)過(guò)該特殊點(diǎn)，從而得正確的選項(xiàng)．在求函數(shù)值的過(guò)程中運(yùn)算一定要認(rèn)真，從而準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．2．方法2：性質(zhì)檢驗(yàn)法已知函數(shù)解析式，判斷其圖象的關(guān)鍵：由函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，根據(jù)這些性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行具體的分析和判斷，即可得出正確選項(xiàng)．若能熟記基本初等函數(shù)的性質(zhì)，則此類題就不攻自破．3．方法3：導(dǎo)數(shù)法判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選．要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的定義域會(huì)有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值．4．方法4：圖象變換法有關(guān)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝af(bx＋c)＋h的圖象問(wèn)題的判斷，熟練掌握?qǐng)D象的平移變換(左加右減，上加下減)、對(duì)稱變換、伸縮變換等，便可順利破解此類問(wèn)題．例題1當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B由于，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)，將其向右平移一個(gè)單位得的圖象，故函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，且為上的單調(diào)遞增函數(shù).為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)，將其向右平移一個(gè)單位得的圖象，故函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)，且為上的單調(diào)遞增函數(shù).故選：B．例題2．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖象可排除A，B，D，故選：C例題3．已知函數(shù)，則的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D化簡(jiǎn)原函數(shù)則函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，當(dāng)，排除選項(xiàng)B，當(dāng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：D.例題4．已知函數(shù)，它們的零點(diǎn)的大小順序?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】，，，，，，作出函數(shù)，，的圖象及直線，由圖象可得，，，所以．故選：B．核心考點(diǎn)四函數(shù)的奇偶性周期性☆技巧點(diǎn)撥☆將函數(shù)的周期性與奇偶性、單調(diào)性綜合在一起考查逐漸成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題需掌握：1．判斷函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律對(duì)于選擇、填空題，若能畫出圖象一般用數(shù)形結(jié)合法；而對(duì)于由基本初等函數(shù)通過(guò)加、減運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而成的函數(shù)常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問(wèn)題；對(duì)于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法；對(duì)于抽象函數(shù)，一般用定義法．2．函數(shù)的奇偶性(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．3．記住幾個(gè)周期性結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，則f(x)為周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期．(2)若函數(shù)f(x)滿足(a＞0)，則f(x)為周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期．例題1已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.例題2．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，若當(dāng)時(shí)，，則______．【答案】【分析】為奇函數(shù)，，解得：；，，是周期為的周期函數(shù)，.故答案為：.例題3．已知函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)之和為____________．【答案】6原問(wèn)題等價(jià)于求解函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.因?yàn)椋院瘮?shù)的周期為2，時(shí)，，圖像關(guān)于直線對(duì)稱，利用周期性，對(duì)稱性，作出與在的圖象，由圖象可知與關(guān)于中心對(duì)稱，且與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，故零點(diǎn)之和為6.

例題4．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系是________.【答案】【分析】：由題得，所以，所以，所以函數(shù)的最小正周期為4.所以，，.所以.故答案為：考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的應(yīng)用☆技巧點(diǎn)撥☆1．利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?）底數(shù)相同、指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；底數(shù)相同、真數(shù)不同的對(duì)數(shù)值用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．（2）底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個(gè)數(shù)，可以引入中間量或結(jié)合圖象進(jìn)行比較．2．對(duì)于含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，在應(yīng)用單調(diào)性時(shí)，要注意對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論，解決對(duì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要考慮定義域，其次利用性質(zhì)求解．例題1三個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)锳．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．