專題11 四邊形壓軸題綜合（原卷版）

2/2專題11四邊形壓軸題綜合目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換 1題型02三角形與翻折變換 5題型03三角形類比探究問題 8中考練場(chǎng) 10題型01四邊形與旋轉(zhuǎn)變換【解題策略】三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法?！镜淅治觥坷?（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對(duì)稱，線段交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點(diǎn)，.記四邊形的面積為，的面積為.當(dāng)時(shí)，求的值．【變式演練】1．（2023·遼寧盤錦·二模）如圖，已知正方形和正方形．(1)在圖1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊，，上，求出的值．(2)將正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接，，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證明；(3)如果正方形的邊長(zhǎng)為5，正方形的邊長(zhǎng)為3．當(dāng)正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．2．（2023·遼寧阜新·一模）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，且，交于點(diǎn)A，正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)如圖1，求證：，；(2)如圖2，將繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．①求證：四邊形是平行四邊形；②連接，若，，直接寫出在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長(zhǎng)度的最大值．3．（2023廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【綜合探究】在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，興趣小組的同學(xué)用兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形紙片展開探究活動(dòng)，這兩張長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為．(1)【實(shí)踐探究】小紅將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形紙片和擺成圖1的形狀，點(diǎn)A與點(diǎn)重合，邊與邊重合，邊，在同一直線上．請(qǐng)判斷：的形狀為_____________；(2)【解決問題】如圖2，在（1）的條件下，小明將長(zhǎng)方形繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度小于），即，邊與邊交于點(diǎn)，連接，平分，交于點(diǎn)，，求的度數(shù)；(3)【拓展研究】從圖2開始，小亮將長(zhǎng)方形繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，若邊所在的直線恰好經(jīng)過線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，，請(qǐng)直接寫出的面積．題型02四邊形與翻折變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．（2023·湖南·中考真題）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長(zhǎng)向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長(zhǎng)與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明理由．【變式演練】1.（2023·浙江金華·三模）如圖，平行四邊形中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)稱軸作的軸對(duì)稱圖形．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)正好落在邊上時(shí)，判斷四邊形的形狀并說明理由；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)且時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，恰有，求的長(zhǎng)．2．（2023·貴州銅仁·三模）閱讀材料：如圖，在矩形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)M，連接．【發(fā)現(xiàn)問題】（1）如圖①，判斷的形狀是________三角形．【探究發(fā)現(xiàn)】（2）如圖②，當(dāng)E、F、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求證：M為邊中點(diǎn)【拓展遷移】（3）如圖③，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)N，當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．3．（2023·河南洛陽·二模）綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，折痕為，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使與重合，折痕為，請(qǐng)寫出圖中的一個(gè)角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)N處，連接交于點(diǎn)P．①______度；②若，求線段的長(zhǎng)．(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．題型03類比探究問題【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論?！镜淅治觥坷?023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？請(qǐng)說明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.【變式演練】1．（2023·海南?？凇ざ＃?）【證明推斷】如圖，在正方形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、D不重合），連接，過點(diǎn)E作，，分別交直線于點(diǎn)F、G．①求證：；②求的值；（2）【類比探究】如圖，將（1）中的“正方形”改為“矩形”，其他條件均不變．①若，，求的值；②若，直接寫出的值（用含m的代數(shù)式表示）；（3）【拓展運(yùn)用】如圖，在矩形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)（與點(diǎn)B、D不重合），連接，過點(diǎn)E作，，分別交直線于點(diǎn)F、G，連接，當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．2．（2023·山東泰安·三模）【例題探究】數(shù)學(xué)課上，老師給出一道例題，如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，若求證：；請(qǐng)用你所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行證明．【拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，若，，，則的值為______；（直接寫出）【知識(shí)遷移】將此模型遷移到平行四邊形中，如圖，在平行四邊形中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)若求證：．1．（2023·山西·中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

2．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．(1)如圖，求證：≌；(2)直線與相交于點(diǎn)．如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長(zhǎng)度的最小值．3．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．(1)操作判斷小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形不動(dòng)的條件下，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，．探究一：當(dāng)點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖③．求線段長(zhǎng)度的最大值和最小值．

4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．5．（2022·四川樂山·中考真題）華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．(2)【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．(3)【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．6．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，點(diǎn)M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題．

7．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)A重合），．(1)判斷的形狀，并說明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)M為邊中點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證：．(3)點(diǎn)Q在