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2024屆河北省承德市隆化縣存瑞中學(xué)高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.2.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.3.已知雙曲線的右焦點為,過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,延長交右支于點,若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.4.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.5.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)6.某地區(qū)高考改革,實行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種7.已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,若、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.8.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.9.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個零點,則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.已知集合,則元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.411.已知實數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.12.已知函數(shù)f(x)=eb﹣x﹣ex﹣b+c(b,c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(2,1)對稱,則f(5)+f(﹣1)=()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則滿足的的取值范圍為_______.14.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動,服務(wù)活動共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個項目,每人限報其中一項,記事件為“4名同學(xué)所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報走進(jìn)社區(qū)項目”,則的值為______.15.若,則的最小值為________.16.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列,的各項都是正數(shù),為數(shù)列的前n項和,且對任意,都有,,,(e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.18.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)19.(12分)已知數(shù)列中,,前項和為,若對任意的,均有(是常數(shù),且)成立,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的前項和;(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,且為整數(shù),試問:是否存在數(shù)列,使得對任意,成立?如果存在,求出這樣數(shù)列的的所有可能值,如果不存在,請說明理由.20.(12分)已知數(shù)列的通項,數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個內(nèi)角,若,求的值;22.(10分)已知點,且,滿足條件的點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)是否存在過點的直線,直線與曲線相交于兩點,直線與軸分別交于兩點,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
利用的前項和求出數(shù)列的通項公式,可計算出,然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時,;當(dāng)時,由,可得,兩式相減,可得,故,因為也適合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點睛】本題考查利用求,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于中等題.2、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時,數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個,解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時,,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時,作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時,實數(shù)的取值范圍是.故選D.3、D【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,,,設(shè),則,,,和中,利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,,,設(shè),則,,,,根據(jù)對稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.4、B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因為,所以,又因為,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.5、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】
分兩類進(jìn)行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理,熟記其計數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于??碱}型.7、B【解析】
利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值.【詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,、滿足,由等比數(shù)列的通項公式得,即,,可得,且、都是正整數(shù),求的最小值即求在,且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值,討論、取值.當(dāng)且時,的最小值為.故選:B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)學(xué)運算求解能力和分類討論思想,是中等題.8、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當(dāng)r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.9、B【解析】
對函數(shù)化簡可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性及平移變換,對四個命題逐個分析,可選出答案.【詳解】因為,所以周期.對于①,因為,所以,即,故①錯誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯誤;對于③,令,可得,則,因為,所以在上第1個零點,且,所以第7個零點,若存在第8個零點,則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因為,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性,考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力,屬于中檔題.10、B【解析】
作出兩集合所表示的點的圖象,可得選項.【詳解】由題意得,集合A表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點,作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示,得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B,所以兩個集合有兩個公共元素,所以元素個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查集合的交集運算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點的圖象,再運用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時,x在點B處取得最大值,即,得;當(dāng)時,z在點C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12、C【解析】
根據(jù)對稱性即可求出答案.【詳解】解:∵點(5,f(5))與點(﹣1,f(﹣1))滿足(5﹣1)÷2=2,故它們關(guān)于點(2,1)對稱,所以f(5)+f(﹣1)=2,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.14、【解析】
根據(jù)條件概率的求法,分別求得,再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為:【點睛】本題主要考查條件概率的求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號取得的條件?!驹斀狻坑深}意,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以當(dāng)時,取得最小值.【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件:①各項都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號取得的條件。16、80211【解析】
由,利用二項式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】
(1)當(dāng)時,,與作差可得,即可得到數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,即可求解;對取自然對數(shù),則,即是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,即可求解;(2)由(1)可得,再利用錯位相減法求解即可.【詳解】解:(1)因為,,①當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,有,②由①②得,,又,所以,即數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,故,又因為,且,取自然對數(shù)得,所以,又因為,所以是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,所以,即(2)由(1)知,,所以,③,④③減去④得:,所以【點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項公式,考查錯位相減法求數(shù)列的和.18、(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進(jìn)行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎勵的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷,另外,離散型隨機變量的分布列,在求解的過程中,注意變量的取值以及對應(yīng)的概率要計算正確,注意離散型隨機變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.19、(1)(2)存在,【解析】
由數(shù)列為“數(shù)列”可得,,,兩式相減得,又,利用等比數(shù)列通項公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得,,,兩式相減得,,據(jù)此可得,當(dāng)時,,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合,得到關(guān)于的不等式,再由時,且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數(shù)列為“數(shù)列”,所以,故,兩式相減得,在中令,則可得,故所以,所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,所以,因為,所以.(2)由題意得,故,兩式相減得所以,當(dāng)時,又因為所以當(dāng)時,所以成立,所以當(dāng)時,數(shù)列是常數(shù)列,所以因為當(dāng)時,成立,所以,所以在中令,因為,所以可得,所以,由時,且為整數(shù),可得,把分別代入不等式可得,,所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力和對新定義的理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.20、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù),,成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列,通過直接對進(jìn)行賦值計算出的首項和公比,即可求解出的通項公式;(2)的通項公式符合等差乘以等比的形式,采用錯位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為,,,解得(2),,,,.【點睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適
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