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文檔簡介

上海市徐匯區(qū)南洋模范中學2023-2024學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種2.已知點在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知復數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.5.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50506.是拋物線上一點,是圓關(guān)于直線的對稱圓上的一點,則最小值是()A. B. C. D.7.已知角的頂點為坐標原點,始邊與軸的非負半軸重合,終邊上有一點,則().A. B. C. D.8.()A. B. C. D.9.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)10.相傳黃帝時代,在制定樂律時,用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計算過程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.11.已知實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,若線段AB的中點M的縱坐標為1,則p=()A.1 B. C.2 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,且,則______.14.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)的和為________15.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)16.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是_______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實數(shù)的值.(2)若,,求正實數(shù)的取值范圍.18.(12分)設函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)若的解集為,,求證:.19.(12分)已知函數(shù)(1)當時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的值域為A,且,求a的取值范圍.20.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點,,且,證明.22.(10分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)若點在直線上,求直線的極坐標方程;(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用,其中解答中認真審題,根據(jù)題設條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.2、C【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長,進而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線的半實軸,所以,得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念,屬于基礎題.3、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復數(shù)的運算;2、復數(shù)的模.4、D【解析】

由得,分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,由圖可知,.5、C【解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學生邏輯推理,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.6、C【解析】

求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標,進而可得出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設點關(guān)于直線的對稱點為點,則,整理得,解得,即點,所以,圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為,設點,則,當時,取最小值,因此,.故選:C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算,同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應用,考查計算能力,屬于中等題.7、B【解析】

根據(jù)角終邊上的點坐標,求得,代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點,所以,故選:B【點睛】此題考查二倍角公式,熟練記憶公式即可解決,屬于簡單題目.8、D【解析】

利用,根據(jù)誘導公式進行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎題.9、D【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.10、B【解析】

根據(jù)循環(huán)語句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結(jié)果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結(jié)果.故選:【點睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖,求輸出的結(jié)果,解答此類題目時結(jié)合循環(huán)的條件進行計算,需要注意跳出循環(huán)的判定語句,本題較為基礎.11、B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點到原點距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值,此時,點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值,此時.所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點間距離公式等基礎知識;考查運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應用意識.12、C【解析】

設直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點M的縱坐標為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式,化簡后求得,利用等差數(shù)列前公式化簡,由此求得表達式的值.【詳解】因為,所以.故填:.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和,考查運算求解能力,屬于基礎題.14、1【解析】

設,令,的值即為所有項的系數(shù)之和?!驹斀狻吭O,令,所有項的系數(shù)的和為?!军c睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地,對于,展開式各項系數(shù)之和為,注意與“二項式系數(shù)之和”區(qū)分。15、【解析】

根據(jù)組合的知識,結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項來源可以是:(1)取1個,4個(2)取2個,3個的系數(shù)為:故答案為:【點睛】本題主要考查組合的知識,熟悉二項式定理展開式中每一項的來源,實質(zhì)上每個因式中各取一項的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識,屬中檔題.16、【解析】

畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個交點時的的值,然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因為方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個交點即可,當過點時兩個函數(shù)有一個交點,即時,與函數(shù)有一個交點,由圖象可知,直線向下平移后有兩個交點,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1(2)【解析】

(1)求得和,由,,得,令,令導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因為,所以在單調(diào)遞增,又,所以當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;所以,當且僅當時等號成立.故方程①有且僅有唯一解,實數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時,,在單調(diào)遞增,所以,滿足題意.(ii)若時,,滿足題意.(iii)若時,,在單調(diào)遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時,,所以當時,.又由上式得,當時,,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時,當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;故.(ii)若時,,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當時,此時,,,則需由(*)知,,(當且僅當時等號成立),所以.②當時,此時,,則當時,(由(*)知);當時,(由(*)知).故對于任意,.綜上述:.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力,對于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)當時,將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進而可證得結(jié)論.【詳解】(1)當時,不等式為,且.當時,由得,解得,此時;當時,由得,該不等式不成立,此時;當時,由得,解得,此時.綜上所述,不等式的解集為;(2)由,得,即或,不等式的解集為,故,解得,,,,,當且僅當,時取等號,.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.19、(1)或(2)【解析】

(1)分類討論去絕對值即可;(2)根據(jù)條件分a<﹣3和a≥﹣3兩種情況,由[﹣2,1]?A建立關(guān)于a的不等式,然后求出a的取值范圍.【詳解】(1)當a=﹣1時,f(x)=|x+1|.∵f(x)≤|2x+1|﹣1,∴當x≤﹣1時,原不等式可化為﹣x﹣1≤﹣2x﹣2,∴x≤﹣1;當時,原不等式可化為x+1≤﹣2x﹣2,∴x≤﹣1,此時不等式無解;當時,原不等式可化為x+1≤2x,∴x≥1,綜上,原不等式的解集為{x|x≤﹣1或x≥1}.(2)當a<﹣3時,,∴函數(shù)g(x)的值域A={x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2,1]?A,∴,∴a≤﹣5;當a≥﹣3時,,∴函數(shù)g(x)的值域A={x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2,1]?A,∴,∴a≥﹣1,綜上,a的取值范圍為(﹣∞,﹣5]∪[﹣1,+∞).【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法和利用集合間的關(guān)于求參數(shù)的取值范圍,考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因為,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點睛】本題主要

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