02 極值點偏移問題判定定理-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊極值點偏移專題

專題02極值點偏移問題判定定理一、極值點偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏.證明：（1）因為對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1.方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2.抽化模型答題模板：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計算時須細(xì)心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應(yīng)主動把該小問分解為三問逐步解題.三、對點詳析，利器顯鋒芒1.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）若，且，證明：.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)在處取得極大值，且；（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間以及極值（2）為極值點偏移問題，先構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，最后根據(jù)單調(diào)性得，即證得結(jié)論試題解析：（Ⅰ）由，易得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)在處取得極大值，且（Ⅱ）由，，不妨設(shè)，則必有，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，，且在上單調(diào)遞減，所以，即證.點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).2.函數(shù)與直線交于、兩點.證明：.【答案】證明見解析【解析】【分析】由已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，依題意可設(shè)，且，；然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明：，從而可證成立【詳解】設(shè)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，有，設(shè)，，故單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以當(dāng)時，，即時，，，又，，又函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，即.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的極值點偏移問題，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題3.已知函數(shù)，若，且，證明：.【答案】證明見解析【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到時，必有，得到，化簡，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，若，則必有，所以，而，令，則，所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4.已知函數(shù)有兩個零點.設(shè)，是的兩個零點，證明：.【答案】證明見解析【解析】【分析】先求導(dǎo),證明函數(shù)的單調(diào)性.由單調(diào)性可知等價于，即．設(shè)，則．則當(dāng)時，，而，故當(dāng)時，．從而，故．【詳解】解:因為．①設(shè)，則，只有一個零點．②設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個零點．③設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時，所以不存在兩個零點．若，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時，，所以不存在兩個零點．不妨設(shè)，由以上情況討論知，，在單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時，，而，故當(dāng)時，．從而，故．【點睛】本題考查解決函數(shù)不等式的證明問題,解題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.四、招式演練5.已知函數(shù)有兩個零點，.（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，求出的范圍即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，且，①當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不可能有兩個零點；②當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增.所以的最小值為，所以，即，解得.（2）由題意，要證，只要證，由（1）易知，即，而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以只要證明，因為，即證，設(shè)函數(shù)，而，當(dāng)時，，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，而，所以，即，所以.【點睛】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問題.要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意所給條件化簡這個不等式，可以轉(zhuǎn)化為，利用條件將不等式轉(zhuǎn)化為求證，設(shè)出新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.6.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個零點，且，證明：.【答案】（1）答案詳見解析；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）求出，分兩種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2），為函數(shù)零點，可得，要證，只需證，，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，所以在上無極值；當(dāng)時，若，，在上是減函數(shù).當(dāng)，，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時，在上的極小值為，無極大值.（2）當(dāng)時，，由（1）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，是極值點，又，為函數(shù)零點，所以，要證，只需證.∵，又∵，∴，令，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，∴，即得證.【點睛】本題是以導(dǎo)數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，7.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，正數(shù)，滿足，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，令，則，分和兩種情況分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解；（2）當(dāng)時，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，不妨設(shè)，得到，構(gòu)造函數(shù)﹐，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，可得，令，則.①當(dāng)時，，可得對恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.②當(dāng)或時，，令，得，（i）當(dāng)時，，所以對恒成立.則在區(qū)間上單調(diào)遞增.（ⅱ）當(dāng)時，.若，，函數(shù)單調(diào)遞增；若，，函數(shù)單調(diào)遞減；若，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在和，上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，函數(shù)，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又易知，且，不妨設(shè)，要證，只需證，只需證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)﹐，所以，，則，當(dāng)時，，所以函在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，則，所以得證，從而.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．8.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.【答案】（1）當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，分，，進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對求導(dǎo)，利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解：的定義域為，因為，所以，當(dāng)時，令，得，令，得；當(dāng)時，則，令，得，或，令，得；當(dāng)時，，當(dāng)時，則，令，得；綜上所述，當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，此時，設(shè)，又因為，則，設(shè)，則對于任意成立，所以在上是增函數(shù)，所以對于，有，即，有，因為，所以，即，又在遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合性大，屬于難題.9.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，如果方程有兩個不等實根，求實數(shù)t的取值范圍，并證明.【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關(guān)系，將，等價轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域為R，且.由，得；由，得.故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時，，且.當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，直線與的圖像有兩個交點，實數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個不等實根，，，，，，即.要證，只需證，即證，不妨設(shè).令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調(diào)遞增，.，在上單調(diào)遞增，，即成立，即成立..【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.10.已知函數(shù)（a為常數(shù)）.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求不等式的解集；（Ⅲ）若存在兩個不相等的整數(shù)，滿足，求證：.【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可；（Ⅲ）求出，不妨設(shè)，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，由，替換即可.【詳解】（Ⅰ）的定義域為，，（1）當(dāng)時，恒有，故在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時，由，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上（1）（2）可知：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）的定義域為，所以，且，而，；設(shè)，，且當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以在上單調(diào)遞增，又因為時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的解集為；（Ⅲ）由（Ⅰ）知時，在上單調(diào)遞增，若，則不合題意；故，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若存在兩個不相等的正數(shù)，滿足，則，必有一個在上，另一個在，不妨設(shè)，則，又由（Ⅱ）知時，，即，所以，因為，所以，又因為在上單調(diào)遞減，所以，即.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11.（1）試比較與的大?。?）若函數(shù)的兩個零點分別為，，①求的取值范圍；②證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可比較大??；（2）①利用導(dǎo)數(shù)可分析函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點存在條件即可求解的范圍；②由（1）的結(jié)論可得，，即，，由不等式的性質(zhì)即可得到證明．【詳解】（1）設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減．因為（1），所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．即當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．（2）①因為，所以，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因為有兩個零點，所以，即．因為，，所以當(dāng)有兩個零點時，的取值范圍為．②證明：因為，是的兩個零點，不妨設(shè)，則．因為，，所以，，即，，則，即，即．因為，所以，則，即．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值的大小，還考查了由零點存在的條件求解參數(shù)范圍及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題．12.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求的圖象在x=1處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若，滿足，求證：．【答案】（1）y＝（3e﹣3）x+2；（2）f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（﹣∞，0），極小值f（0）＝6，無極大值；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及極值存在條件即可求解；（3）要證x1+x2＜0，等價于證明f（x2）＝f（x1）＜f（﹣x1），結(jié)合函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性即可證明．【詳解】（1）∵f'（x）＝3x2ex﹣3x2＝3x2（ex﹣1），∴f'（1）＝3（e﹣1），即在x＝1處的切線斜率為k＝3（e﹣1）．又∵f（1）＝3e﹣1，∴函數(shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為y﹣（3e﹣1）＝3（e﹣1）（x﹣1），整理得y＝（3e﹣3）x+2．（2）∵f'（x）＝3x2ex﹣3x2＝3x2（ex﹣1），∴當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0；當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0．則f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（﹣∞，0），所以f（x）在x＝0處取得極小值f（0）＝6，無極大值．（3）∵f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，由（1）可知x1，x2異號．不妨設(shè)x1＜0，x2＞0，則﹣x1＞0．令g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝（3x2﹣6x+6）ex﹣（3x2+6x+6）e﹣x﹣2x3，則g'（x）＝3x2ex+3x2e﹣x﹣6x2＝3x2（ex+e﹣x﹣2）≥0，所以g（x）在R上是增函數(shù)．又g（x1）＝f（x1）﹣f（﹣x1）＜g（0）＝0，∴f（x2）＝f（x1）＜f（﹣x1），又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴x2＜﹣x1，即x1+x2＜0．【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及單調(diào)性，極值關(guān)系的綜合應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題．13.設(shè)函數(shù).（1）證明:，；（2）令①求的最大值；②如果，且，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）①的最大值為；②證明見解析．【解析】【分析】（1）令，則，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可證明結(jié)論；（2）由題意得，，①利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值與最值；②由題意不妨設(shè)，又，可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可推出，結(jié)合條件可得，易得，從而借助函數(shù)在上單調(diào)遞增即可證明．【詳解】（1）證明：令，則，由得，由得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，∴，即，；（2）解：，，①由得，由得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，∴的最大值；②由，不妨設(shè)，又，∵當(dāng)時，，且，∴，令，，則，∵，∴，，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時，，即，則，又，則，∵，∴，即，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查計算能力與推理能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題．14.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)是的兩個零點，證明：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，對參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論，令得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，分離參數(shù)得，令，研究函數(shù)的性質(zhì)，可將證明轉(zhuǎn)化為證明，即證明成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，可得，問題得證.詳解：（1），當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：由得，設(shè)，則．由，得；由，得．故的最小值．當(dāng)時，，當(dāng)時，，不妨設(shè)，則，等價于，且在上單調(diào)遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設(shè)，則，令，則，，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，從而得證．點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第一問屬于易得分題，只需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，再分別令，即可求解函數(shù)的增、減區(qū)間，進(jìn)而判斷其單調(diào)性；第二問解題時，首先對進(jìn)行參數(shù)分離，再構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而再利用導(dǎo)數(shù)證明.15.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)的值；（3）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求證：．【答案】（1）答案不唯一，詳見解析；（2）3；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出；（2）由（1）可得，若函數(shù)有兩個零點，則，且的最小值，即．可化為．利用單調(diào)性判斷其零點所處的最小區(qū)間即可得出；（3）由，是方程得兩個不等實數(shù)根，由（1）可知：．不妨設(shè)．則，．兩式相減得，化為．由，當(dāng)時，，當(dāng)時，．故只要證明即可，即證明，令換元，再利用導(dǎo)數(shù)即可證明．【詳解】（1）．．當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)時，由得；由，解得．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得，若函數(shù)有兩個零點，則，且的最小值，即．，．令，可知在上為增函數(shù)，且（2），（3），所以存在零點，，當(dāng)時，（a）；當(dāng)時，（a）．所以滿足條件的最小正整數(shù)．又當(dāng)時，（3），（1），時，由兩個零點．綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)的值為3．（3），是方程得兩個不等實數(shù)根，由（1）可知：．不妨設(shè)．則，．兩式相減得，化為．，當(dāng)時，，當(dāng)時，．故只要證明即可，即證明，即證明，設(shè)，令，則．，．在上是增函數(shù)，又在處連續(xù)且（1），當(dāng)時，總成立．故命題得證．【點評】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等基礎(chǔ)知識，及其分類討論思想方法、等價轉(zhuǎn)化方法、換元法等基本技能與方法．16.已知函數(shù)在上有個零點、．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）令可得，將問題等價于直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可知，且有，可得，于是可將所證不等式等價于證明不等式，令，即證，令，利用導(dǎo)數(shù)證明出即可.【詳解】（1），等價于，設(shè)，則，令得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.而且時，時，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）知，當(dāng)函數(shù)有個零點時，一定有，且，兩邊取對數(shù)得，所以．要證明的不等式等價于．等價于，等價于證明，令，等價于證明，其中，設(shè)函數(shù)，則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立，所以原不等式成立．【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，同時也考查了極值點偏移問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查計算能力與推理能力，屬于較難題.17.已知(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)，為函數(shù)的兩個零點，求證：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【詳解】分析：（1）由函數(shù)，求得，通過討論實數(shù)的取值范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點的橫坐標(biāo)為，問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可作出證明.詳解：（1）∵，∴當(dāng)時，∴，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，∴，由，得，時，，時，，∴時，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，不妨設(shè)，由條件知，即構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點的橫坐標(biāo)為由可得而，∴知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知欲證，只需證，即證，考慮到在上遞增，只需證由知，只需證令，則，所以為增函數(shù)，又，結(jié)合知，即成立，即成立.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.18.已知函數(shù)，(a，b∈R)（1）當(dāng)a=﹣1，b=0時，求曲線y=f(x)﹣g(x)在x=1處的切線方程；（2）當(dāng)b=0時，若對任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=0，b>0時，若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實數(shù)解x1，x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，然后用一般式寫出切線的方程；（2）對，，都成立，則對，，，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最大值可得的范圍；（3）由，得，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可．【詳解】（1）當(dāng)時，時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，曲線在處的切線方程為；（2）當(dāng)時，對，，都成立，則對，，恒成立，令，則．令，則，當(dāng)，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，，，的取值范圍為；（3）當(dāng)，時，由，得，方程有兩個不同的實數(shù)解，，令，則，，令，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，，，又，（1），，，只要證明，就能得到，即只要證明，令，則，在上單調(diào)遞減，則，，，，，即，證畢．【點睛】本題主要考查求曲線的切線方程，不等式恒成立問題和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)思想和分類討論思想，屬難題．19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若函數(shù)恰有兩個零點，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）求出，設(shè)，求出，得到，記函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：因為恰有兩個零點，所以，