新疆沙灣縣一中2024屆高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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新疆沙灣縣一中2024屆高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.給出以下四個(gè)命題:①依次首尾相接的四條線段必共面;②過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角必相等;④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.33.已知函數(shù),若所有點(diǎn),所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.4.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.6.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.7.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.記等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.若,,則()A. B. C. D.9.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.110.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.412.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________.14.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是____________.15.在編號(hào)為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中,一次隨機(jī)抽取其中的三張,則抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)的概率為________.16.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值;若不是,請(qǐng)說明理由.18.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說明理由.19.(12分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)已知直線與曲線交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.22.(10分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(萬臺(tái))2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)(百萬元)2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)(臺(tái))2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果:,,,,注:年返修率=(1)從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)(百萬元)關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(萬臺(tái))的線性回歸方程(精確到0.01).附:線性回歸方程中,,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷;根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷;根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷;根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①中,空間四邊形的四條線段不共面,故①錯(cuò)誤.②中,由公理2知道,過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,故②正確.③中,由空間角的定義知道,空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),故③錯(cuò)誤.④中,空間中,垂直于同一直線的兩條直線可相交,可平行,可異面,故④錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn),線,面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理,定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí);考查空間想象能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.3、D【解析】

依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域?yàn)椋^而可得,解之即可.【詳解】解:,因?yàn)?,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域?yàn)椋驗(yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍,然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交,則,解得.因此,所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng),即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、D【解析】

,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤,,當(dāng)時(shí),不妨取,,故時(shí),不成立,當(dāng)時(shí),不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.8、C【解析】

由,和,可求得,從而求得和,再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,還考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.10、A【解析】

用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項(xiàng);由于,所以,排除C選項(xiàng);由于當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可,在中,利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長(zhǎng)為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問題,考查學(xué)生的空間想象能力,是一道中檔題.14、【解析】

依題意,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點(diǎn)處切線的斜率,所以在點(diǎn)處的切線方程是,即.15、【解析】

先求出所有的基本事件個(gè)數(shù),再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張,所有基本事件為:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10個(gè),其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件,因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.16、-15【解析】

是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計(jì)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【解析】

(1)先求解導(dǎo)數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程;(2)先求解弦長(zhǎng),再分別求解點(diǎn)到直線的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】(1)設(shè),則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為,在點(diǎn)B處的切線方程為,因?yàn)閮汕芯€均過點(diǎn)G,所以,所以A,B兩點(diǎn)均在直線上,所以直線AB的方程為,又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(0,p),所以,即G點(diǎn)軌跡方程為;(2)設(shè)點(diǎn)G(,),由(1)可知,直線AB的方程為,即,將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,,整理得,所以,,解得,因?yàn)橹本€AB的斜率,所以,且,線段AB的中點(diǎn)為M,所以直線EM的方程為:,所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),直線AB的方程整理得,則G到AB的距離,則E到AB的距離,所以,設(shè),因?yàn)閜是質(zhì)數(shù),且為整數(shù),所以或,當(dāng)時(shí),,是無理數(shù),不符題意,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即是無理數(shù),所以不符題意,當(dāng)時(shí),是無理數(shù),不符題意,綜上,當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線中的切線問題通常借助導(dǎo)數(shù)來求解,四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問題,表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、(1)(2)是定值,詳見解析【解析】

(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測(cè)值,對(duì)照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對(duì)新高考了解的概率,中老年對(duì)新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年22830老年81220總計(jì)302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【點(diǎn)睛】本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對(duì)的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點(diǎn),則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡(jiǎn),從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時(shí),.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因?yàn)?,所以,所以,所?【點(diǎn)睛】(1)求函數(shù)中字母的范圍時(shí),常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí),需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.21、(1)(x-1)2+y2=4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0;(2)3.【解析】

(1)消參得到曲線

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