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文檔簡介
揚州市揚州中學2024年高三下第一次測試數(shù)學試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計樣本在、內的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.2.設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是A.α內有無數(shù)條直線與β平行B.α內有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面3.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.2404.已知角的終邊經過點,則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或5.若復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.7.為得到y(tǒng)=sin(2x-πA.向左平移π3個單位B.向左平移πC.向右平移π3個單位D.向右平移π8.已知函數(shù)且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.設數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個數(shù)列的前7項和等于()A.12 B.21 C.24 D.3610.已知集合,集合,則()A. B. C. D.11.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.312.已知點是雙曲線上一點,若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的定義域為R,導函數(shù)為,若,且,則滿足的x的取值范圍為______.14.某次足球比賽中,,,,四支球隊進入了半決賽.半決賽中,對陣,對陣,獲勝的兩隊進入決賽爭奪冠軍,失利的兩隊爭奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.獲勝概率—0.40.30.8獲勝概率0.6—0.70.5獲勝概率0.70.3—0.3獲勝概率0.20.50.7—則隊獲得冠軍的概率為______.15.已知的終邊過點,若,則__________.16.設,滿足約束條件,若的最大值是10,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在矩形中,,,點是邊上一點,且,點是的中點,將沿著折起,使點運動到點處,且滿足.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)分別求數(shù)列,的前項和,.19.(12分)在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大??;(2)若,的平分線與交于點D,與的外接圓交于點E(異于點A),,求的值.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.21.(12分)已知分別是的內角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.22.(10分)如圖,四棱錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點,且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關系,考查計算能力,屬于基礎題.2、B【解析】
本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質定理知,若,則內任意一條直線都與平行,所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯誤.3、A【解析】
利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當“樂”排在第一節(jié)有(種),當“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),當“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【點睛】本題考查排列、組合的應用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結論.【詳解】由題意得點與原點間的距離.①當時,,∴,∴.②當時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x,縱坐標y,該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.5、B【解析】
復數(shù),在復平面內對應的點在第二象限,可得關于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復平面對應的點在第二象限,得,則.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.6、C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值,計算程序框圖的運行結果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結構,屬于簡單題.7、D【解析】試題分析:因為,所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象,只需要將考點:三角函數(shù)的圖像變換.8、B【解析】
構造函數(shù),判斷出的單調性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù),由解得,所以的定義域為,且,所以為奇函數(shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.9、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質可得,由等差數(shù)列求和公式可得結果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,性質,等差數(shù)列的和,屬于中檔題.10、C【解析】
求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.11、A【解析】
將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎題.12、A【解析】
設點的坐標為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結合,可得到的齊次方程,進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,構造的齊次方程是解決本題的關鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
構造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調遞減,最后利用單調性以及奇偶性化簡不等式,解得結果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調性以及利用函數(shù)性質解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.14、0.18【解析】
根據(jù)表中信息,可得勝C的概率;分類討論B或D進入決賽,再計算A勝B或A勝C的概率即可求解.【詳解】由表中信息可知,勝C的概率為;若B進入決賽,B勝D的概率為,則A勝B的概率為;若D進入決賽,D勝B的概率為,則A勝D的概率為;由相應的概率公式知,則A獲得冠軍的概率為.故答案為:0.18【點睛】本題考查了獨立事件的概率應用,互斥事件的概率求法,屬于基礎題.15、【解析】
】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點,若,.即答案為-2.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導公式,屬基礎題.16、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結合即可容易求得結果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標函數(shù)可轉化為與直線平行,數(shù)形結合可知當且僅當目標函數(shù)過點,取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,,由,進而,由,得.進而平面,進而結論可得證(2)(方法一)過點作的平行線交于點,以點為坐標原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中點,上的點,使,連接,得,,得二面角的平面角為,再求解即可【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,由已知得,所以,又點是的中點,所以.因為,點是線段的中點,所以.又因為,所以,從而平面,所以,又,不平行,所以平面.(2)(方法一)由(1)知,過點作的平行線交于點,以點為坐標原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則點,,,,所以,,.設平面的法向量為,由,得,令,得.同理,設平面的法向量為,由,得,令,得.所以二面角的余弦值為.(方法二)取的中點,上的點,使,連接,易知,.由(1)得,所以平面,所以,又,所以平面,所以二面角的平面角為.又計算得,,,所以.【點睛】本題考查線面垂直的判定,考查空間向量求二面角,考查空間想象及計算能力,是中檔題18、(1)(2);【解析】
(1),,可得為公比為2的等比數(shù)列,可得為公差為1的等差數(shù)列,再算出,的通項公式,解方程組即可;(2)利用分組求和法解決.【詳解】(1)依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,為公差為1的等差數(shù)列,由,得解得故數(shù)列,的通項公式分別為.(2),.【點睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項和,考查學生的計算能力,是一道中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理轉化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結合,設,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因為,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設,O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,從而.所以.【點睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義,還考查了數(shù)形結合的方法,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導公式計算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因為所以,由得,又因為,故,所以,所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知結合正弦定理先進行代換,然后結合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因為,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.22、(1)見解析;(II).【解析】
試題分析:(1)取中點,連結,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設,由,得,求出平面的法向量和平
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