2022-2023學年高二物理競賽課件：布洛赫定理和布洛赫函數

布洛赫定理和布洛赫函數

布洛赫證明：滿足(8)、(9)方程的波函數的解，必具備如下形式：（10）其中:（11）即滿足方程(8)的波函數必擁有(10)形式的解，該結論叫布洛赫定理。具有方程(10)形式的波函數成為布洛赫函數。布洛赫定理和布洛赫函數布洛赫函數的意義a.晶體中電子的波函數與自由電子的波函數形式相似。反映出了晶體中電子的波函數實際上相當于一被調幅的自由電子波。且uk(x)＝uk(x+a)

b.在空間某點找到電子的概率與波函數的強度成比例。在晶體中找到電子的概率是周期性變化的。反映出電子共有化運動的特征。

|Ψ|2=ΨkΨk*=uk(x)uk*(x)c.與自由電子中的波函數一樣，波矢k描述晶體中電子的共有化運動狀態(tài)。注意：晶體中電子波函數K取值非連續(xù).只要晶體邊界確定，電子波函數的k值即可被確定，與其它參量無關。能帶形成的另一種情況硅、鍺外殼層有4個價電子，形成晶體時，產生SP雜化軌道。原子間可能先進行軌道雜化（形成成鍵態(tài)和反鍵態(tài)），再分裂成能帶。原子能級

反成鍵態(tài)

成鍵態(tài)

當原子數很大時，導帶、價帶內能級密度很大，可以認為能級準連續(xù)。

存在軌道雜化，失去能帶與孤立原子能級的對應關系。雜化后能帶重新分開為上能帶和下能帶，上能帶稱為導帶，下能帶稱為價帶。

低溫下，價帶填滿電子，導帶全空，高溫下價帶中的一部分電子躍遷到導帶，使晶體呈現弱導電性。

導帶與價帶間的能隙（Energygap）稱為禁帶（forbiddenband）.禁帶寬度取決于晶體種類、晶體結構及溫度。電子先填充低能級，下面一個能帶填滿了(滿帶)，再填上面的能帶。下面一個能帶稱為滿帶。上面的帶通常是空的，稱為導帶。價電子形成的能帶為上、下兩個能帶，中間為禁帶。上、下兩個能帶分別包含2n個狀態(tài)，可容納4n個電子。上述分析優(yōu)點：注意到孤立原子和晶體內原子的相同之處，可用于定性分析能帶的形成原因。上述分析不足：忽略了兩者最重要區(qū)別：前者電子是在單勢場中的運動；后者是在周期性勢場中的運動。晶體中運動的電子：在周期性勢場中運動自由電子：處于零勢場中運動。運動具有相似之處。差別：自由電子的勢場為零。本節(jié)從薛定諤方程出發(fā)，可獲得它們E(k)~k關系圖，并作簡單比較。單電子近似模型：晶體中的某個電子在周期性排列的且固定不動、以及其他大量電子的平均勢場中運動。周期與晶格周期相同。

自由電子具有波粒二象性。假設某電子質量為m0，速度為v，則：

1.粒子性的描述(經典物理學)：

自由電子的能帶特點：能量連續(xù)變化動量方程：p=m0v（1）能量方程：E=?|p|2/m0

（2）總能量：動能＋勢能2.波動性的描述

特點：能量不連續(xù)變化其中k

為波矢，大小等于波長倒數1/λ

，方向與波面法線平行，即波的傳播方向。得能量：E=hν

（4）動量：p=hk（5）

德布羅依波函數的基本形式Ψ(r,t)=Aexp[i2π(k·r–vt)](3)由于無邊界條件限制，故k取值可連續(xù)變化。即：與經典物理（粒子性）得出相同結論。(6)對自由電子，勢能為零，故薛定諤方程為：將方程(6)代入(1)、(2)得v=hk/m0(5)

E=h2k2/2m0

(6)自由電子能帶圖特點：a.自由電子E(k)和k之間呈拋物線變化關系；b.K與E存在一一對應關系。c.K取值無限制，可連續(xù)變化，從0到無窮大的值都可以，因此自由電子的能譜是連續(xù)能譜。波動性與粒子性描述的對應關系：自由電子的E與K關系晶體中的電子狀態(tài)1.晶體中電子的薛定諤方程

a、晶體中存在有周期性勢場：

V(x)=