廣東省潮州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

廣東省潮州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i2．復(fù)數(shù)的模為（）．A． B．1 C．2 D．3．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．4．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．5．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點(diǎn)；④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④6．設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．7．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．8．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．9．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．10．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或11．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，如果函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________14．設(shè)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.15．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則______．16．集合，，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過的直線與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）若的斜率為2，求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）求的值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)，為曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求面積的最大值.19．（12分）對(duì)于很多人來說，提前消費(fèi)的認(rèn)識(shí)首先是源于信用卡，在那個(gè)工資不高的年代，信用卡絕對(duì)是神器，稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現(xiàn)在銀行貸款也是很風(fēng)靡的，從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸．信用卡“忽如一夜春風(fēng)來”，遍布了各大小城市的大街小巷．為了解信用卡在市的使用情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計(jì)40歲及以下15355040歲以上203050合計(jì)3565100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)？（2）①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中，按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機(jī)選出4人贈(zèng)送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；②將頻率視為概率，從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；⑶若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.22．（10分）已知中，內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設(shè)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

先計(jì)算，然后將進(jìn)行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題。4、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.5、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào)②④故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、A【解析】

設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出，從而可利用表示出；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對(duì)稱故選：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.7、D【解析】

通過取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，排除B和C；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.8、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】由.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，排除C，D.又，，在必有零點(diǎn)，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.10、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般考慮拋物線的定義.11、C【解析】試題分析：通過對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn)：三視圖12、C【解析】略二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn)，兩側(cè)開方，可得，即有三個(gè)零點(diǎn)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即零點(diǎn)有，顯然，則有，可得，即有三個(gè)零點(diǎn)，不妨令，對(duì)于，函數(shù)單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解，對(duì)于函數(shù)，，解得，，解得，，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有，綜上可知，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)拈_方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題，注意恰有三個(gè)零點(diǎn)條件的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍，屬于難題.14、【解析】

求函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，設(shè)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足或，利用一元二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，由得：，解得，由得：，解得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值，（e），當(dāng)，，當(dāng)，，作出函數(shù)的圖象如圖，設(shè)，由圖象知，當(dāng)或，方程有一個(gè)根，當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，則，等價(jià)為，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及．求的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．15、【解析】

先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，，.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

分析出集合A為奇數(shù)構(gòu)成的集合，即可求得交集.【詳解】因?yàn)楸硎緸槠鏀?shù)，故.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求集合的交集，根據(jù)已知集合求解，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：，：；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用，將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得的值.【詳解】（1）的直角坐標(biāo)方程為，即，則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為的傾斜角），代入曲線的普通方程，得.設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，所以，在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)，將圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用求得圓的極坐標(biāo)方程.（2）利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式，由此求得的面積的表達(dá)式，再由三角函數(shù)最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：，：因?yàn)榍€和相切，所以，即：；（2）設(shè)，所以所以當(dāng)時(shí)，面積最大值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，考查利用參數(shù)的方法求三角形面積的最值，屬于中檔題.19、（1）不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)；（2）①；②分布列見解析，，【解析】

(1)計(jì)算再對(duì)照表格分析即可.(2)①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計(jì)算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.②利用二項(xiàng)分布的特點(diǎn)求解變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】（1）由列聯(lián)表可知,,因?yàn)?所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān).（2）①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有（人）,偶爾或不用信用卡的有（人）.則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.②由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,,,.故隨機(jī)變量的分布列為：0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為,方差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)以及超幾何分布與二項(xiàng)分布的知識(shí)點(diǎn),包括分類討論以及二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式等.屬于中檔題.20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分離出參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.【詳解】（1）由得或①當(dāng)時(shí)，由，得.由，得或此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當(dāng)時(shí)，由，得由，得或此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）依題意，不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，可得，在上恒成立，設(shè)，則令，得，（舍）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，，∴.∴的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.21、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）(),所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析：（1）證明：若，則當(dāng)(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（），當(dāng)時(shí)，，即，得，①當(dāng)時(shí)，，即，得，②當(dāng)時(shí)，，即，得，③②①，得，③②